Apa itu Matriks Invers Tergeneralisasi ?


Rall(1973) menuliskan bahwa konsep invers tergeneralisasi pertama kali diperkenalkan pada tahun 1903 oleh Ivar Fredholm. Pada saat itu diperkenalkan pseudoinverse untuk operator integral linear. Selanjutnya mulai tahun 1906 diperkenalkan invers tergeneralisasi operator-operator integral.

Matriks invers tergeneralisasi mulai diperkenalkan pada tahun 1902 oleh E.H. Moore (Ben-Israel & Greville, 1974) dalam suatu pertemuan “the American Mathematical Society“. Pada pertemuan tersebut disampaikan konsep invers matriks singular. Moore mendefinisikan invers suatu matriks A setara (equivalent) dengan eksistensi suatu matriks G sehingga AG=P_A; ~ GA=P_G dengan P_X adalah operator proyeksi onto M(X)= ruang yang dibangun oleh kolom-kolom matriks X.

Pada tahun 1955 Penrose (Rao & Mitra, 1971) mendefinisikan invers A sebagai berikut : matriks G dikatakan invers matriks A jika memenuhi syarat AGA=A, GAG=G, (AG)^*=AG dan (GA)^*=GA dengan A^* menyatakan transpos-konjugat.

Kemudian Penrose dalam teoremanya juga menyebutkan bahwa prinsip penerapan (1)-invers adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, dengan invers-invers tersebut banyak digunakan dengan cara yang sama seperti pada invers-invers biasa dalam kasus tidak tunggal. Pada tahun 1971 Rao dan Mitra membahas penyelesaian beberapa macam sistem persamaan linear matriks dengan menggunkaan invers tergeneralisasi matriks.

Suatu matriks A yang berukuran n \times n dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika matriks tersebut nonsingular atau determinan dari matriks tersebut tidak nol. Lebih jauh, matriks A mempunyai invers yang tunggal dan biasa dinotasikan dengan A^{-1} dengan sifat A^{-1}A = AA^{-1} =I dengan I adalah matriks identitas. Tapi bagaimana dengan matriks yang bukan persegi, misal matriks A yang berukuran m \times n, bagaimana invers matriks tersebut ? Dari sifat-sifat matriks yang dipunyai, dapat digenerelasasi dalam sebuah definisi sebagai berikut :

Definisi 1 :

Diberikan matriks A_{m \times n},

  1. AXA = A
  2. XAX = X
  3. (XA)^*= XA
  4. (AX)^* = AX

Dengan A^* artinya matriks A yang di konjugat dan transpose.

Keterangan :

  1. Suatu matriks X yang memenuhi Definisi 1 bagian 1, disebut invers tergeneralisasi (generalized inverse) dari matriks A dengan simbol A^g.
  2. Suatu matriks X yang memenuhi Definisi 1 bagian 1 dan 2, disebut invers tergeneralisasi refleksif (reflexive generalized inverse) dari matriks A dengan simbol A^r.
  3. Suatu matriks X yang memenuhi Definisi 1 bagian 1, 2 dan 3, disebut invers tergeneralisasi lemah kiri (left weak generalized inverse) dari matriks A dengan simbol A^w.
  4. Suatu matriks X yang memenuhi Definisi 1 bagian 1, 2 dan 4, disebut invers tergeneralisasi lemah kanan (right weak generalized inverse) dari matriks A dengan simbol A^n.
  5. Suatu matriks X yang memenuhi Definisi 1 bagian 1,2,3 dan 4 disebut matriks invers semu (pseudo inverse / Moore-Penrose inverse) dari matriks A dengan simbol A^+.

Setelah diberikan difinisi diatas, yang jadi masalah selanjutnya adalah bagaimana cara mencari ?

  1. Invers tergeneralisasi
  2. Invers tergeneralisasi refleksif
  3. Invers tergeneralisasi lemah kiri
  4. Invers tergeneralisasi lemah kanan
  5. Invers semu

 Masalah diatas akan dibahas pada tulisan selanjutnya.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s