Pembahasan Matematika UN SMA 2013 (1)


1.  Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Jika harga BBM naik maka harga sembako naik

Premis 2 : Jika harga sembako naik maka tarif tol naik

Premis 3 : Tarif tol tidak naik

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah …

A. Jika harga BBM naik maka harga tarif tol naik

B. Jika harga sembako naik maka tarif tol naik

C. Harga BBM naik

D. Harga BBM tidak naik

E. Harga sembako tidak naik

Pembahasan

Misal : p = harga BBM, q = harga sembako, dan r = tarif tol.

p \Rightarrow q

q \Rightarrow r

——————

\therefore p \Rightarrow r

 

p \Rightarrow r

-r

——————

\therefore -p

Jadi, kesimpulannya adalah harga BBM tidak naik

Jawaban : D

2.  Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Ani tidak mengikuti pelajaran matematika atau Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.” adalah …

A. Jika Ani mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.

B. Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.

C. Jika Ani tidak mengikuti pelajaran matematika maka Ani tidak mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.

D. Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.

E. Ani tidak mengikuti pelajaran matematika dan Ani tidak mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.

Pembahasan

Misal :

p = Ani mengikuti pelajaran matematika

q = Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika

INGAT : p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q

Jadi, pernyataan di atas ekuivalen dengan “Jika Ani mengikuti pelajaran matematika maka Ani mendapat tugas menyelesaikan soal-soal matematika.”

Jawaban : A

3.  Bentuk sederhana dari \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4\sqrt{3}-3\sqrt{5}} = \ldots

A. \dfrac{\sqrt{12}+4\sqrt{15}}{3}

B. \dfrac{\sqrt{15}+4\sqrt{15}}{3}

C. \dfrac{\sqrt{27}+7\sqrt{15}}{3}

D. \dfrac{\sqrt{29}+9\sqrt{15}}{3}

E. \dfrac{\sqrt{33}+9\sqrt{15}}{3}

Pembahasan

\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4\sqrt{3}-3\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4\sqrt{3}-3\sqrt{5}} \times \dfrac{4\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{4\sqrt{3}-3\sqrt{5}}

= \dfrac{4.3+3\sqrt{15}+4\sqrt{15}+3.5}{16.3-9.5}

= \dfrac{27+7\sqrt{15}}{3}

Jawaban : C

4.  Diketahui ^3\log 5 = a dan ^2\log 3 = b. Nilai ^6\log 10 adalah …

A. \dfrac{ab+1}{ab}

B. \dfrac{a+1}{b+1}

C. \dfrac{b+1}{a+1}

D. \dfrac{ab+1}{b+1}

E. \dfrac{b+1}{ab+1}

Pembahasan

^6\log 10 = \dfrac{\log 10}{\log 6}

= \dfrac{\log (2.5)}{\log (2.3)}

= \dfrac{\log 2 + \log 5}{\log 2 + \log 3}

= \dfrac{^2\log 2 + ^2\log 5}{^2\log 2 + ^2\log 3}

= \dfrac{1 + \dfrac{\log 5}{\log 2}}{1 + b}

= \dfrac{1 + \dfrac{^3\log 5}{^3\log 2}}{1 + b}

= \dfrac{1 + \dfrac{a}{1/b}}{1 + b}

= \dfrac{1 + ab}{1 + b}

Jawaban : B

5.  Akar-akar persamaan x^2+(a-1)x+2=0 adalah \alpha dan \beta. Jika \alpha = 2\beta dan \alpha>0 maka nilai a = \ldots

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

E. 8

Pembahasan

Bentuk Persamaan Kuadrat : x^2-(\alpha+\beta)x + (\alpha \beta) = 0

Substitusi \alpha dan \beta dengan \alpha = 2\beta, diperoleh

x^2-(\alpha+\dfrac{1}{2}\alpha)x + (\alpha \dfrac{1}{2}\alpha) = 0

x^2-\dfrac{3}{2}\alpha x + \dfrac{1}{2}\alpha^2 = 0

Sehingga diperoleh

\dfrac{3}{2}\alpha = -(a-1) dan \dfrac{1}{2}\alpha^2 = 2

Perhatikan,

\dfrac{1}{2}\alpha^2 = 2

\alpha^2 = 4

\alpha = \pm 2

Untuk \alpha = 2

\dfrac{3}{2}\alpha = -(a-1)

\dfrac{3}{2}2 = -(a-1)

3 = -(a-1)

a = -2 (tidak mungkin karena a>0)

Untuk \alpha = -2

\dfrac{3}{2}\alpha = -(a-1)

\dfrac{3}{2}(-2) = -(a-1)

-3 = -(a-1)

a = 2

Jawaban : A

6.  Fungsi f(x) = 2x^2-ax+2 akan menjadi fungsi definit positif bila nilai a berada pada interval …

A. a>-4

B. a>4

C. -4<a<4

D. 4<a<6

E. -6<a<4

Pembahasan.

Syarat definit positif : D > 0

b^2-4ac > 0

(-a)^2-4(2)(2) > 0

a^2-16

a = \pm 4

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh a<-4 atau a > 4

Jawaban : B

7.  Diketahui persamaan kuadrat mx^2-(2m-3)x+(m-1)=0. Nilai m yang menyebabkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut real dan berbeda …

A. m > \dfrac{13}{12}, m \neq 0

B. m < \dfrac{9}{8}, m \neq 0

C. m > \dfrac{9}{8}, m \neq 0

D. m < \dfrac{9}{4}, m \neq 0

E. m > \dfrac{9}{4}, m \neq 0

Pembahasan.

Akar-akar real dan berbeda, artinya D>0

b^2-4ac > 0

(-(2m-3))^2-4(m)(m-1) > 0

(4m^2-12m+9)-4m^2+4m > 0

-8m+9 >0

8m-9 < 0

m < \dfrac{9}{8}

Jawaban : B

8.  Lima tahun yang akan datang, jumlah umur kakak dan adik adalah 6 kali selisihnya. Sekarang, umur kakak 6 tahun lebih dari umur adik. Umur kakak sekarang adalah …

A. 21 tahun

B. 16 tahun

C. 15 tahun

D. 10 tahun

E. 6 tahun

Pembahasan.

Misal : K = kakak dan A = adik

(K + 5) + (A + 5)  = 6((K + 5) – (A + 5))

K + A + 10 = 6K – 6A

5K – 7A = 10 … (i)

K = 6 + A … (ii)

Subtitusi pers (ii) ke pers (ii), diperoleh

5(6 + A) – 7A = 10

30 + 5A – 7A = 10

30 – 2A = 10

20 = 2A

A = 10

Sehingga diperoleh K = 6 + A = 6 + 10 = 16 tahun.

Jawaban : B

9.  Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,-3) dan berdiameter 4\sqrt{17} adalah …

A. x^2+y^2-8x+6y-57=0

B. x^2+y^2-8x+6y-43=0

C. x^2+y^2-8x-6y-43=0

D. x^2+y^2+8x-6y-15=0

E. x^2+y^2+8x-6y-11=0

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a,b)dan berjari-jari r adalah

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Sehingga diperoleh

(x-4)^2+(y+3)^2=(2\sqrt{17})^2

x^2-8x+16 + y^2+6y+9 = 4 \cdot 17

x^2+y^2-8x+6y+25-68=0

x^2+y^2-8x+6y-43=0

Jawaban : B

10.Diketahui salah satu faktor linear dari suku banyak f(x)=2x^3-3x^2+(p-15)x+6 adalah (2x-1). Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah …

A. x-5

B. x-2

C. x+1

D. x+2

E. x+3

Pembahasan

Karena (2x-1) adalah faktor dari f(x)=2x^3-3x^2+(p-15)x+6, artinya apabila x=\dfrac{1}{2} disubstitusi ke f(x) akan menjadi f\left( \dfrac{1}{2} \right)=0

2\left( \dfrac{1}{2} \right)^3-3 \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + (p-15)\dfrac{1}{2}+6 = 0

\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}p -\dfrac{15}{2}+6 = 0

-\dfrac{1}{2} -\dfrac{15}{2} +\dfrac{1}{2}p + 6 = 0

-8+\dfrac{1}{2}p+6 = 0

p=4

Jadi, f(x)=2x^3-3x^2-11x+6

\dfrac{2x^3-3x^2-11x+6}{2x-1} = x^2-x-6

Sehingga diperoleh x^2-x-6 = (x-3)(x+2)

Jawaban : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s