Pembahasan Matematika UN SMA 2015 (1)


1.  Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Saya bermain atau saya tidak gagal dalam ujian

Premis 2 : Saya gagal dalam ujian

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …

A. Saya tidak bermain dan saya gagal dalam ujian

B. Jika saya bermain, maka saya tidak gagal dalam ujian

C. Saya bermain

D. Saya belajar

E. Saya tidak bermain

Pembahasan

Misal : p = saya bermain, q = saya gagal dalam ujian.

INGAT : p \vee \sim q \equiv \sim p \Rightarrow \sim q

\sim p \Rightarrow \sim q

q

——————

\therefore p

Jadi, kesimpulannya adalah saya bermain

Jawaban : C

2.  Pernyataan yang setara dengan pernyataan “Jika semua siswa kelas XII Ujian Nasional maka semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah.” adalah …

A. Semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah dan siswa kelas XII Ujian Nasional.

B. Beberapa siswa kelas XII Ujian Nasional atau beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.

C. Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah.

D. Semua siswa kelas XII Ujian Nasional dan beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.

E. Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau beberapa siswa kelas X dan XI belajar di rumah.

Pembahasan

Misal :

p = Semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah

q = semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah

INGAT : p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q

Jadi, pernyataan di atas ekuivalen dengan “Beberapa siswa kelas XII tidak Ujian Nasional atau semua siswa kelas X dan XI belajar di rumah.”

Jawaban : C

3.  Bentuk sederhana dari \left( \dfrac{4x^{\frac{5}{2}} y^{-\frac{7}{3}} z^{-\frac{3}{4}} }{2x^{-\frac{3}{2}} y^{\frac{2}{3}} z^{\frac{5}{4}} } \right)^2 = \ldots

A. \dfrac{2x^4}{y^3z^2}

B. \dfrac{2x^4y}{z^2}

C. \dfrac{4x^8y^3}{z^2}

D. \dfrac{4x^4}{y^3z^2}

E. \dfrac{4x^8}{y^6z^4}

Pembahasan

\left( \dfrac{4x^{\frac{5}{2}} y^{-\frac{7}{3}} z^{-\frac{3}{4}} }{2x^{-\frac{3}{2}} y^{\frac{2}{3}} z^{\frac{5}{4}} } \right)^2 = \left( \dfrac{4x^{\frac{5}{2}} x^{\frac{3}{2}} }{2 y^{\frac{2}{3}} y^{\frac{7}{3}} z^{\frac{5}{4}} z^{\frac{3}{4}}} \right)^2

= \left( \dfrac{2x^{ \frac{5}{2}+\frac{3}{2}} }{ y^{ \frac{2}{3}+\frac{7}{3} } z^{ \frac{5}{4} + \frac{3}{4} } } \right)^2

= \left( \dfrac{ 2x^{4} }{ y^{3} z^{2} } \right)^2

= \dfrac{ 4x^{8} }{ y^{6} z^{4} }

Jawaban : E

4. Bentuk sederhana dari \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}) (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{3}+2} = \ldots

A. 4-2\sqrt{3}

B. 2-\sqrt{3}

C. -2+\sqrt{3}

D. -4+\sqrt{3}

E. -4-2\sqrt{3}

Pembahasan

\dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}) (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{3}+2} = \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}) (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{3}+2} \times \dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}

= \dfrac{(5-3) (\sqrt{3}-2)}{3-4}

= 4-2\sqrt{3}

Jawaban :A

5.  Hasil dari \dfrac{^9\log 8 \cdot ^{16}\log 27- ^{\sqrt{5}}\log 25}{^3\log 9 + ^3\log \dfrac{1}{27}} adalah …

A. \dfrac{25}{8}

B. \dfrac{23}{8}

C. \dfrac{7}{4}

D. -\dfrac{7}{4}

E. -\dfrac{23}{8}

Pembahasan

\dfrac{^9\log 8 \cdot ^{16}\log 27- ^{\sqrt{5}}\log 25}{^3\log 9 + ^3\log \dfrac{1}{27}} = \dfrac{^{3^2}\log 2^3 \cdot ^{2^4}\log 3^3- ^{5^{1/2}}\log 5^2}{^3\log 3^2 + ^3\log 3^{-3}}

= \dfrac{\dfrac{3}{2} ^3\log 2 \cdot \dfrac{3}{4} ^2\log 3- \dfrac{2}{1/2} ^5\log 5}{2 ^3\log 3 + (-3) ^3\log 3}

= \dfrac{\dfrac{9}{8}-4}{2-3}

= 4-\dfrac{9}{8}

= \dfrac{32}{8}-\dfrac{9}{8} = \dfrac{23}{8}

Jawaban : B

6.  Persamaan kuadrat x^2+6x-5=0 akar-akar \alpha dan \beta. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (\alpha+2) dan (\beta+2) adalah …

A. x^2+2x-13=0

B. x^2+2x+13=0

C. x^2-2x-13=0

D. x^2+2x-21=0

E. x^2-2x-21=0

Pembahasan

Persamaan Kuadrat : x^2+6x-5=0

\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a} = -6 dan \alpha \beta = \dfrac{c}{a} = -5

Bentuk Persamaan Kuadrat Baru : x^2-((\alpha+2)+(\beta+2))x + ((\alpha+2)(\beta+2)) = 0

x^2-(\alpha+\beta+4)x + (\alpha \beta + 2(\alpha + \beta) + 4) = 0

x^2- (-6+4)x + (-5+2(-6)+4) = 0

x^2 + 2x -13 = 0

Jawaban : A

7.  Agar persamaan kuadrat (m-5)x^2-4mx+m-2=0 mempunyai dua akar real, batas-batas nilai m yang memenuhi adalah …

A. m > \dfrac{10}{3} atau m < 1

B. m \geq \dfrac{10}{3} atau m \leq -1

C. m \geq 1 atau m \leq -\dfrac{10}{3}

D. m > \dfrac{10}{3} atau m < -1

E. m > 1 atau m < -\dfrac{10}{3}

Pembahasan.

Syarat mempunyai dua akar real : D \geq 0

b^2-4ac \geq 0

(-4m)^2-4(m-5)(m-2) \geq 0

16m^2-4(m^2-7m+10) \geq 0

16m^2-4m^2+28m-40 \geq 0

12m^2+28m-40 \geq 0

3m^2+7m-10 \geq 0

(3m+10)(m-1) \geq 0

m=-\dfrac{10}{3} atau m=1. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh m \geq 1 atau m \leq -\dfrac{10}{3}

Jawaban : C

8.  Di sebuah  toko  buah  Malik, Azis, Sulasmini, dan Ani berbelanja. Malik  membeli 2kg jeruk, 1\dfrac{1}{2} kg mangga, dan 1kg jambu seharga Rp 72.000,00. Azis membeli  3kg jeruk, \dfrac{1}{2} kg mangga, dan \dfrac{1}{2}kg jambu seharga Rp 61.000,00. Sulasmini membeli  1kg jeruk, 2kg mangga, dan 2kg jambu seharga Rp 79.000,00. Jika Ani membeli \dfrac{1}{2}kg jeruk, 1\dfrac{1}{2} kg mangga, dan 1kg jambu, maka ia harus membayar …

A. Rp49.500,00

B. Rp47.500,00

C. Rp35.000,00

D. Rp32.500,00

E. Rp29.500,00

Pembahasan

Misal : x = jeruk, y = mangga, z = jambu.

2x+1\dfrac{1}{2}y+z = 72.000

4x+3y+2z = 144.000 … (i)

3x+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{2}z = 61.000

6x+y+z = 122.000 … (ii)

x+2y+2z = 79.000 … (iii)

Elminasi pers (i) dan (ii), diperoleh

4x+3y+2z = 144.000

6x+y+z = 122.000

——————————   –

-2x+2y = 22.000 \Leftrightarrow -x+y = 11.000 … (iv)

Elminasi pers (ii) dan (iii), diperoleh

6x+y+z = 122.000 (x2)

x+2y+2z = 79.000 (x1)

—————————-   –

12x+2y+2z = 244.000

x+2y+2z = 79.000

—————————-   –

11z = 165.000 \Leftrightarrow z = 15.000

Selanjutnya substitusi z = 15.000 ke pers (iii), diperoleh

x+2y+2(15.000) = 79.000 \Rightarrow x+2y = 49.000 … (v)

Elminasi pers (iv) dan (v), diperoleh

-x+y = 11.000

x+2y = 49.000

————————-  +

3y = 60.000 \Rightarrow y=20.000

Selanjutnya diperoleh -x+20.000 = 11.000 \Rightarrow x=9.000

\dfrac{1}{2}x + 1\dfrac{1}{2}y + z = \dfrac{1}{2}9.000 + \dfrac{3}{2} 20.000 + 15.000

= 4.500 + 30.000 + 15.000

= 49.500

Jadi, membeli \dfrac{1}{2} kg jeruk, 1\dfrac{1}{2} kg mangga, dan 1kg jambu, Ani harus membayar Rp.49.500.

Jawaban : A

9.  Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1,2) dan menyinggung garis x+y+7=0 adalah …

A. x^2+y^2+2x+4y-27=0

B. x^2+y^2+2x-4y-27=0

C. x^2+y^2+2x-4y-32=0

D. x^2+y^2-4x-2y-32=0

E. x^2+y^2-4x+2y-7=0

Pembahasan

r = \left| \dfrac{Ax_1 + By_1 -C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right|

= \left| \dfrac{1(-1) + 1(2) -7}{\sqrt{1^2+2^2}} \right|

= \left| \dfrac{-1 + 2 -7}{\sqrt{2}} \right|

= \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}

Sehingga diperoleh

(x+1)^2+(y-2)^2=(3\sqrt{2})^2

x^2+2x+1+ y^2-4y+4 = 18

x^2+y^2+2x-6y-13=0

Jawaban :

10.Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+2x-6y-10=0 yang tegak lurus garis x+2y+1=0

A. y = 2x-14

B. y = 2x-11

C. y = 2x+5

D. y = 2x+9

E. y = 2x+15

Pembahasan

Persamaan Garis Singgung : y-b = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}

x^2+y^2+2x-6y-10=0

(x^2+2(x))+(y^2-2(3y))-10=0

(x^2+2x+1-1)+(y^2-6y+9-9)-10=0

(x+1)^2-1+(y-3)^2-9-10=0

(x+1)^2+(y-3)^2=20

Gradien Garis :

x+2y+1=0

\Leftrightarrow y = -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}

m_1 = -\dfrac{1}{2}

Tegak Lurus : m_1m_2 = -1

Jadi, diperoleh m_2 = 2

y-b = m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}

y-3 = 2(x+1) \pm \sqrt{20}\sqrt{1+2^2}

y-3 = 2x+2 \pm 2\sqrt{5}\sqrt{5}

y-3 = 2x+2 \pm 10

y-3 = 2x+2 + 10 \Rightarrow y = 2x+15

y-3 = 2x+2 -10 \Rightarrow y = 2x-5

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s