Pembahasan Matematika UN SMA 2015 (2)


1.  Suku banyak f(x) = 2x^3+ax^2+bx-5 dibagi oleh x^2-x-2 bersisa 3x+2. Nilai a+b adalah …

A. 6

B. 3

C. -3

D. -6

E. -12

Pembahasan

f(x) = (x^2-x-2)H(x)+px+q

2x^3+ax^2+bx-5 = (x-2)(x+1)H(x)+(3x+2)

Perhatikan bahwa

Untuk x=2,

Diperoleh sisanya = 3(2)+2 = 8. Dan

f(2) = 2(2)^3+a(2)^2+b(2)-5

8 = 16 + 4a + 2b -5

4a + 2b = -3 … (i)

Untuk x=-1,

Diperoleh sisanya = 3(-1)+2 = -1. Dan

f(-1) = 2(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)-5

-1 = -2 + a -b -5

a-b = 6 … (ii)

Substitusi pers (ii) ke (i), diperoleh

4(6+b) + 2b = -3

24+4b+2b = -3

6b=-27 \Rightarrow b=-\dfrac{9}{2}

Substitusi b=-\dfrac{9}{2} ke pers (ii), diperoleh a+\dfrac{9}{2} = 6 \Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}. Jadi, a+b = -3.

Jawaban : C

2.  Salah satu faktor dari suku banyak f(x)=2x^3+(2m-1)x^2-13x+6 adalah x-2. Faktor linear lain dari suku banyak tersebut adalah …

A. x+2

B. x-3

C. x+3

D. 2x+1

E. 2x-3

Pembahasan

Karena x-2 adalah faktor dari f(x)=2x^3+(2m-1)x^2-13x+6, artinya apabila x=2 disubstitusi ke f(x) akan menjadi f(2)=0

2(2)^3+(2m-1)(2)^2-13(2)+6 = 0

16+8m-4-26+6 = 0

8m = -8 \Rightarrow m=-1.

Sehingga diperoleh f(x)=2x^3+x^2-13x+6.

\dfrac{2x^3+x^2-13x+6}{x-2} = 2x^2+5x-3.

2x^2+5x-3 = (2x-1)(x+3)

Jawaban : C

3.  Diketahui fungsi f(x)=x^2-4x+6 dan g(x)=2x+3. Fungsi komposisi (f \circ g)(x) = \ldots

A. 2x^2-8x+12

B. 2x^2-8x+15

C. 4x^2+4x+3

D. 4x^2+4x+15

E. 4x^2+4x+27

Pembahasan

(f \circ g)(x) = f(g(x))

= f(2x+3)

= (2x+3)^2-4(2x+3)+6

= 4x^2+12x+9-8x-12+6

= 4x^2+4x+3

Jawaban : C

4.  Seorang pengusaha memiliki lahan tanah seluas 10.000 m2 yang akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk membangun rumah tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan rumah tipe B seluas 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 125 unit. Jika pengusaha tersebut menjual dengan keuntungan rumah tipe A adalah Rp8.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp6.000.000,00 serta semua rumah terjual habis , maka keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha tersebut adalah …

A. Rp750.000.000,00

B. Rp800.000.000,00

C. Rp850.000.000,00

D. Rp900.000.000,00

E. Rp950.000.000,00

Pembahasan.

Model matematika

Misal : rumah tipe A = x dan rumah tipe B = y

100x+75y \leq 10.000 … (i)

x+y \leq 125 … (ii)

Fungsi tujuan : f(x,y) = 8.000.000x + 6.000.000y.

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

100(125-y) + 75y = 10.000

\Leftrightarrow 25y = 2.500

\Leftrightarrow y = 100

Sehingga didapat x = 125-y = 25

Diperoleh titik (0,0), (100,0), (0,125) dan (25,100). Substitusi ke fungsi tujuan,

f(0,0) = 8.000.000(0) + 6.000.000(0) = 0

f(100,0) = 8.000.000(100) + 6.000.000(0) = 800.000.000

f(0,125) = 8.000.000(0) + 6.000.000(125) = 750.000.000

f(25,100) = 8.000.000(25) + 6.000.000(100) = 620.000.000

Jawaban : B

5.  Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} -2&x\\ 6&3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -5&14\\ y&-2 \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} z&-1\\ 1&5 \end{pmatrix}. Jika A-B=C, maka x+y+z = \ldots

A. 15

B. 21

C. 22

D. 27

E. 29

Pembahasan

A-B=C

\begin{pmatrix} -2&x\\ 6&3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -5&14\\ y&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z&-1\\ 1&5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3&x-14\\ 6-y&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z&-1\\ 1&5 \end{pmatrix}

Diperoleh,

z = 3

x-14 = -1 \Leftrightarrow x=13

6-y = 1 \Leftrightarrow y=5

Jadi, x+y+z = 13+5+3 = 21

Jawaban : B

6.  Diketahui vektor \vec{a} = 4i+2j-5k, \vec{b} = i+3j+xk dan \vec{c} = 6i+5j+2k. Jika vektor \vec{a} tegak lurus terhadap \vec{b}, hasil 2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c} adalah …

A. 5i+8j+6k

B. 5i+8j-6k

C. 5i-8j+6k

D. 6i+5j-8k

E. 6i-5i+6k

Pembahasan

Vektor \vec{a} tegak lurus terhadap \vec{b}, artinya \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

\begin{pmatrix} 4\\2\\-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\3\\x \end{pmatrix} = 0

4+6-5x = 0 \Rightarrow x = 2

2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c} = 2 \begin{pmatrix} 4\\2\\-5 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 6\\5\\2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 8\\4\\-10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\9\\6 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 6\\5\\2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 5\\8\\-6 \end{pmatrix}

= 5i+8j-6k

Jawaban : B

7.  Diketahui vektor \vec{a} dan \vec{b} dengan |\vec{a}|=4, |\vec{b}|=3 dan |\vec{a}+\vec{b}|=5. Jika \theta adalah sudut antara \vec{a} dan \vec{b} , nilai \cos 2x adalah …

A. 1

B. \dfrac{4}{5}

C. 0

D. -\dfrac{1}{2}

E. -1

Pembahasan.

INGAT : \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta

|\vec{a}+\vec{b}|^2=5^2

\vec{a}^2+\vec{b}^2+2\vec{a}\vec{b} = 25

|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 25

4^2+3^2+2(4)(3) \cos \theta = 25

16+9+24 \cos \theta = 25

\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^0

Jadi, \cos 2\theta = \cos 180^0 = -1

Jawaban : E

8.  Diketahui vektor \vec{a} = 2i-pj+3k dan \vec{b} = i-2j+2k. Jika |\vec{c}| adalah panjang proyeksi vektor \vec{a} pada \vec{b} dan |\vec{c}| = 4, maka nilai p adalah …

A. -4

B. -2

C. 2

D. 4

E. 8

Pembahasan

Proy_a b = \dfrac{a \cdot b}{|b|^2}b

= \dfrac{(2,-p,3)(1,-2,2)}{(\sqrt{1^2+(-2)^2+(2)^2})^2}(1,-2,2)

= \dfrac{2-2p+6}{1+4+4}(1,-2,2)

= \dfrac{8-2p}{9}(1,-2,2)

|\vec{c}| = \sqrt{ \left( \dfrac{8-2p}{9} \right)^2 (1^2+(-2)^2+2^2)}

4^2 = \left( \dfrac{8-2p}{9} \right)^2 (9)

16 = \dfrac{(8-2p)^2}{9}

144 = 64-32p+4p^2

4p^2-32-80 = 0

p^2-8-20 = 0

(p-10)(p+2) = 0

p=10 atau p=-2

Jawaban : B

9.  Diketahui T_1 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y=x, dan transformasi T_2 adalah rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 90^0 dengan arah putar berlawanan jarum jam. Persamaan bayangan garis 2x-5y+3=0 oleh transformasi T_1 dilanjutkan dengan T_2 adalah …

A. 2x+5y-3=0

B. 2x-5y-3=0

C. 2x+5y+3=0

D. 5x-2y-3=0

E. 5x-2y+3=0

Pembahasan

Transformasi T_1

\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}

Transformasi T_1

\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 90^0 & -\sin 90^0\\ \sin 90^0 & \cos 90^0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix}

Hasil transformasi :

2x'-5y'+3

-2x-5y+3=0

2x+2y-3=0

Jawaban : A

10.Penyelesaian pertidaksamaan ^{\frac{1}{3}}\log (3x^2+x) < ^{\frac{1}{3}}\log (8-x)

A. \dfrac{4}{3}<x<8 atau x<-2

B. 0<x<8 atau x<-2

C. 0<x<8 atau -2<x<-\dfrac{1}{3}

D. x<8 atau x<-2

E. x>8 atau -2<x<-\dfrac{1}{3}

Pembahasan

^{\frac{1}{3}}\log (3x^2+x) < ^{\frac{1}{3}}\log (8-x)

3x^2+x < 8-x

3x^2+2x-8 < 0

(3x-4)(x+2) < 0

x = \dfrac{4}{3} atau x=-2

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh -2 < x < \dfrac{4}{3}.

Syarat 1 : 3x^2+x >0

 x=0 atau x=-\dfrac{1}{3}

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh x>0 atau x < -\dfrac{1}{3}

Syarat 1 : 8-x > 0

 -x>-8

 x < 8

Dengan mengirisikan ketiga hasil diatas, diperoleh -2<x<-\dfrac{1}{3} atau 0<x<\dfrac{4}{3}.

Jawaban :

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s