Pembahasan Matematika UN SMA 2015 (2)

1. Suku banyak $f(x) = 2x^3+ax^2+bx-5$ dibagi oleh $x^2-x-2$ bersisa $3x+2$ . Nilai $a+b$ adalah …

A. 6

B. 3

C. -3

D. -6

E. -12

Pembahasan

$f(x) = (x^2-x-2)H(x)+px+q$

$2x^3+ax^2+bx-5 = (x-2)(x+1)H(x)+(3x+2)$

Perhatikan bahwa

Untuk $x=2$ ,

Diperoleh sisanya = $3(2)+2 = 8$ . Dan

$f(2) = 2(2)^3+a(2)^2+b(2)-5$

$8 = 16 + 4a + 2b -5$

$4a + 2b = -3$ … (i)

Untuk $x=-1$ ,

Diperoleh sisanya = $3(-1)+2 = -1$ . Dan

$f(-1) = 2(-1)^3+a(-1)^2+b(-1)-5$

$-1 = -2 + a -b -5$

$a-b = 6$ … (ii)

Substitusi pers (ii) ke (i), diperoleh

$4(6+b) + 2b = -3$

$24+4b+2b = -3$

$6b=-27 \Rightarrow b=-\dfrac{9}{2}$

Substitusi $b=-\dfrac{9}{2}$ ke pers (ii), diperoleh $a+\dfrac{9}{2} = 6 \Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}$ . Jadi, $a+b = -3$ .

Jawaban : C

2. Salah satu faktor dari suku banyak $f(x)=2x^3+(2m-1)x^2-13x+6$ adalah $x-2$ . Faktor linear lain dari suku banyak tersebut adalah …

A. $x+2$

B. $x-3$

C. $x+3$

D. $2x+1$

E. $2x-3$

Pembahasan

Karena $x-2$ adalah faktor dari $f(x)=2x^3+(2m-1)x^2-13x+6$ , artinya apabila $x=2$ disubstitusi ke $f(x)$ akan menjadi $f(2)=0$

$2(2)^3+(2m-1)(2)^2-13(2)+6 = 0$

$16+8m-4-26+6 = 0$

$8m = -8 \Rightarrow m=-1$ .

Sehingga diperoleh $f(x)=2x^3+x^2-13x+6$ .

$\dfrac{2x^3+x^2-13x+6}{x-2} = 2x^2+5x-3$ .

$2x^2+5x-3 = (2x-1)(x+3)$

Jawaban : C

3. Diketahui fungsi $f(x)=x^2-4x+6$ dan $g(x)=2x+3$ . Fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = \ldots$

A. $2x^2-8x+12$

B. $2x^2-8x+15$

C. $4x^2+4x+3$

D. $4x^2+4x+15$

E. $4x^2+4x+27$

Pembahasan

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

$= f(2x+3)$

$= (2x+3)^2-4(2x+3)+6$

$= 4x^2+12x+9-8x-12+6$

$= 4x^2+4x+3$

Jawaban : C

4. Seorang pengusaha memiliki lahan tanah seluas 10.000 m² yang akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk membangun rumah tipe A diperlukan tanah seluas 100 m² dan rumah tipe B seluas 75 m². Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 125 unit. Jika pengusaha tersebut menjual dengan keuntungan rumah tipe A adalah Rp8.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp6.000.000,00 serta semua rumah terjual habis , maka keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha tersebut adalah …

A. Rp750.000.000,00

B. Rp800.000.000,00

C. Rp850.000.000,00

D. Rp900.000.000,00

E. Rp950.000.000,00

Pembahasan.

Model matematika

Misal : rumah tipe A = $x$ dan rumah tipe B = $y$

$100x+75y \leq 10.000$ … (i)

$x+y \leq 125$ … (ii)

Fungsi tujuan : $f(x,y) = 8.000.000x + 6.000.000y$ .

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

$100(125-y) + 75y = 10.000$

$\Leftrightarrow 25y = 2.500$

$\Leftrightarrow y = 100$

Sehingga didapat $x = 125-y = 25$

Diperoleh titik (0,0), (100,0), (0,125) dan (25,100). Substitusi ke fungsi tujuan,

$f(0,0) = 8.000.000(0) + 6.000.000(0) = 0$

$f(100,0) = 8.000.000(100) + 6.000.000(0) = 800.000.000$

$f(0,125) = 8.000.000(0) + 6.000.000(125) = 750.000.000$

$f(25,100) = 8.000.000(25) + 6.000.000(100) = 620.000.000$

Jawaban : B

5. Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} -2&x\\ 6&3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} -5&14\\ y&-2 \end{pmatrix}$ , dan $C = \begin{pmatrix} z&-1\\ 1&5 \end{pmatrix}$ . Jika $A-B=C$ , maka $x+y+z = \ldots$

A. 15

B. 21

C. 22

D. 27

E. 29

Pembahasan

$A-B=C$

$\begin{pmatrix} -2&x\\ 6&3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -5&14\\ y&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z&-1\\ 1&5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3&x-14\\ 6-y&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z&-1\\ 1&5 \end{pmatrix}$

Diperoleh,

$z = 3$

$x-14 = -1 \Leftrightarrow x=13$

$6-y = 1 \Leftrightarrow y=5$

Jadi, $x+y+z = 13+5+3 = 21$

Jawaban : B

6. Diketahui vektor $\vec{a} = 4i+2j-5k$ , $\vec{b} = i+3j+xk$ dan $\vec{c} = 6i+5j+2k$ . Jika vektor $\vec{a}$ tegak lurus terhadap $\vec{b}$ , hasil $2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}$ adalah …

A. $5i+8j+6k$

B. $5i+8j-6k$

C. $5i-8j+6k$

D. $6i+5j-8k$

E. $6i-5i+6k$

Pembahasan

Vektor $\vec{a}$ tegak lurus terhadap $\vec{b}$ , artinya $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\begin{pmatrix} 4\\2\\-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\3\\x \end{pmatrix} = 0$

$4+6-5x = 0 \Rightarrow x = 2$

$2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c} = 2 \begin{pmatrix} 4\\2\\-5 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 6\\5\\2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 8\\4\\-10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\9\\6 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 6\\5\\2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 5\\8\\-6 \end{pmatrix}$

$= 5i+8j-6k$

Jawaban : B

7. Diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ dengan $|\vec{a}|=4$ , $|\vec{b}|=3$ dan $|\vec{a}+\vec{b}|=5$ . Jika $\theta$ adalah sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ , nilai $\cos 2x$ adalah …

A. $1$

B. $\dfrac{4}{5}$

C. $0$

D. $-\dfrac{1}{2}$

E. $-1$

Pembahasan.

INGAT : $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2=5^2$

$\vec{a}^2+\vec{b}^2+2\vec{a}\vec{b} = 25$

$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 25$

$4^2+3^2+2(4)(3) \cos \theta = 25$

$16+9+24 \cos \theta = 25$

$\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^0$

Jadi, $\cos 2\theta = \cos 180^0 = -1$

Jawaban : E

8. Diketahui vektor $\vec{a} = 2i-pj+3k$ dan $\vec{b} = i-2j+2k$ . Jika $|\vec{c}|$ adalah panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ dan $|\vec{c}| = 4$ , maka nilai $p$ adalah …

A. -4

B. -2

C. 2

D. 4

E. 8

Pembahasan

$Proy_a b = \dfrac{a \cdot b}{|b|^2}b$

$= \dfrac{(2,-p,3)(1,-2,2)}{(\sqrt{1^2+(-2)^2+(2)^2})^2}(1,-2,2)$

$= \dfrac{2-2p+6}{1+4+4}(1,-2,2)$

$= \dfrac{8-2p}{9}(1,-2,2)$

$|\vec{c}| = \sqrt{ \left( \dfrac{8-2p}{9} \right)^2 (1^2+(-2)^2+2^2)}$

$4^2 = \left( \dfrac{8-2p}{9} \right)^2 (9)$

$16 = \dfrac{(8-2p)^2}{9}$

$144 = 64-32p+4p^2$

$4p^2-32-80 = 0$

$p^2-8-20 = 0$

$(p-10)(p+2) = 0$

$p=10$ atau $p=-2$

Jawaban : B

9. Diketahui $T_1$ adalah transformasi pencerminan terhadap garis $y=x$ , dan transformasi $T_2$ adalah rotasi dengan pusat $O (0,0)$ sejauh $90^0$ dengan arah putar berlawanan jarum jam. Persamaan bayangan garis $2x-5y+3=0$ oleh transformasi $T_1$ dilanjutkan dengan $T_2$ adalah …

A. $2x+5y-3=0$

B. $2x-5y-3=0$

C. $2x+5y+3=0$

D. $5x-2y-3=0$

E. $5x-2y+3=0$

Pembahasan

Transformasi $T_1$

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}$

Transformasi $T_1$

$\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 90^0 & -\sin 90^0\\ \sin 90^0 & \cos 90^0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix}$

Hasil transformasi :

$2x'-5y'+3$

$-2x-5y+3=0$

$2x+2y-3=0$

Jawaban : A

10.Penyelesaian pertidaksamaan $^{\frac{1}{3}}\log (3x^2+x) < ^{\frac{1}{3}}\log (8-x)$

A. $\dfrac{4}{3}<x<8$ atau $x<-2$

B. $0<x<8$ atau $x<-2$

C. $0<x<8$ atau $-2<x<-\dfrac{1}{3}$

D. $x<8$ atau $x<-2$

E. $x>8$ atau $-2<x<-\dfrac{1}{3}$

Pembahasan

$^{\frac{1}{3}}\log (3x^2+x) < ^{\frac{1}{3}}\log (8-x)$

$3x^2+x < 8-x$

$3x^2+2x-8 < 0$

$(3x-4)(x+2) < 0$

$x = \dfrac{4}{3}$ atau $x=-2$

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh $-2 < x < \dfrac{4}{3}$ .

Syarat 1 : $3x^2+x >0$

$x=0$ atau $x=-\dfrac{1}{3}$

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh $x>0$ atau $x < -\dfrac{1}{3}$

Syarat 1 : $8-x > 0$

$-x>-8$

$x < 8$

Dengan mengirisikan ketiga hasil diatas, diperoleh $-2<x<-\dfrac{1}{3}$ atau $0<x<\dfrac{4}{3}$ .

Jawaban :

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Elda di Koleksi Buku
	Yuli di Koleksi Buku
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Interpolasi Lagrange
	sarah di Tanya Jawab MATEMATIKA
	sarah di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Putri Rizki Neranyra… di Tanya Jawab MATEMATIKA
	edwin suryaputra di Interpolasi Lagrange
	aim di Problem (15) : Menyelesaikan T…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan