Pembahasan Matematika UN SMA 2015 (4)


1.  Icha akan meniup balon karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm3/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah …

A. \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}~cm

B. \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}~cm

C. \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}~cm

D. \dfrac{2}{3\sqrt{\pi}}~cm

E. \pi~cm

Pembahasan

Diketahui : \dfrac{dV}{St} = 40 dan \dfrac{dr}{dt}=20

V = \dfrac{4}{3} \pi r^3

\dfrac{dV}{dr} = 4 \pi r^2

Dilain pihan,

\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \dfrac{dr}{dt}

40 = (4 \pi r^2)20

r^2 = \dfrac{40}{4 \cdot 20 \pi} = \dfrac{1}{2\pi}

r = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}

Jawaban : B

2.  Hasil dari \int 4x(4x^2-3)^4~dx = \ldots

A. \dfrac{1}{10} (4x^2-3)^5 + C

B. \dfrac{1}{5} (4x^2-3)^5 + C

C. \dfrac{2}{5} (4x^2-3)^5 + C

D. (4x^2-3)^5 + C

E. 2(4x^2-3)^5 + C

Pembahasan

misal : u = 4x^2-3 \Rightarrow du = 8x dx

\int 4x(4x^2-3)^4~dx = \int (4x^2-3)^4 4x~dx

= u^4 \dfrac{1}{2} du

= \dfrac{1}{10} u^5 + C

= \dfrac{1}{10} (4x^2-3)^5 + C

Jawaban : A

3.  Nilai dari \int_1^{4} \left( 3\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right) dx = \ldots

A. 20

B. 12

C. 8

D. 4

E. 2

Pembahasan

\int_1^{4} \left( 3\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right) dx = \int_1^{4} \left( 3x^{1/2}-x^{-1/2} \right) dx

= \left( 2x^{3/2}-2x^{1/2} \right) |_1^4

= \left( 2(4)^{3/2}-2(4)^{1/2} \right)- \left( 2 (1)^{3/2}-2(1)^{1/2} \right)

= (16-4)-(2-2)

= 12

Jawaban : B

4.  Hasil dari \int 4 \sin 4x \cos 2x ~dx = \ldots

A. -\dfrac{1}{6} \cos 6x -\dfrac{1}{2} \cos 2x + C

B. -\dfrac{1}{3} \cos 6x -\cos 2x + C

C. \dfrac{1}{6} \cos 6x -\dfrac{1}{2} \cos 2x + C

D. \dfrac{1}{6} \cos 6x + \dfrac{1}{2} \cos 2x + C

E. \dfrac{1}{6} \cos 6x + \cos 2x + C

Pembahasan.

\int 4 \sin 4x \cos 2x ~dx = \int 2(2 \sin 4x \cos 2x) ~dx

= \int 2(\sin (4x+2x) + \sin (4x-2x)) ~dx

= \int 2 \sin 6x ~dx + \int 2 \sin 2x ~dx

= -\dfrac{1}{3} \cos 6x -\cos 2x + C

Jawaban : B

5.  Nilai \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos 2x-\sin 2x) dx adalah …

A. -1

B. -\dfrac{1}{2}

C. 0

D. \dfrac{1}{2}

E. 1

Pembahasan

\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos 2x-\sin 2x) dx = \dfrac{1}{2} \sin 2x + \dfrac{1}{2} \cos 2x |_0^{\frac{\pi}{4}}

= \left(\dfrac{1}{2} \sin 2(\frac{\pi}{4}) + \dfrac{1}{2} \cos 2(\frac{\pi}{4}) \right)- \left(\dfrac{1}{2} \sin 2(0) + \dfrac{1}{2} \cos 2(0) \right)

= \left(\dfrac{1}{2}(1)+ \dfrac{1}{2}(0) \right)- \left(\dfrac{1}{2}(0) + \dfrac{1}{2} (1) \right)

= \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{2} = 0

Jawaban : C

6.  Luas daerah antara kurva y = x^3-x^2-6x dan sumbu X adalah …

A. 23 \dfrac{5}{12} satuan luas

B. 23 \dfrac{1}{12} satuan luas

C. 22 \dfrac{3}{12} satuan luas

D. 21 \dfrac{5}{12} satuan luas

E. 21 \dfrac{1}{12} satuan luas

Pembahasan.

un_math_2015_36Menentukan batas-batas.

y = 0

0 = x^3-x^2-6x

0 = x(x^2-x-6)

0 = x(x-3)(x+2)

Batas-batasnya adalah x_1 = -2 dan x_2=0 serta x_2=0, dan x_4 = 3. Jadi,

L = \int_{-2}^0 (x^3-x^2-6x) ~dx + \int_{0}^3 (x^3-x^2-6x) ~dx

= \left( \dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{3}x^3-3x^2 \right) |_{-2}^0 + \left( \dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{3}x^3-3x^2 \right) |_{0}^3

= \left( \dfrac{1}{4}0^4-\dfrac{1}{3}0^3-3(0)^2 \right)- \left( \dfrac{1}{4}(-2)^4-\dfrac{1}{3}(-2)^3-3(-2)^2 \right) + \left( \dfrac{1}{4}3^4-\dfrac{1}{3}3^3-3(3)^2 \right)- \left( \dfrac{1}{4}0^4-\dfrac{1}{3}0^3-3(0) \right)

= \left( 0 \right)- \left( 4+\dfrac{8}{3}-12 \right) + \left( \dfrac{81}{4}-9-27 \right)- \left( 0 \right)

= |-4-\dfrac{8}{3} + 12| + |\dfrac{81}{4}-9-27|

= |-\dfrac{32}{12} + 8| + |\dfrac{243}{12}-36|

= |-2\dfrac{8}{12} + 8| + |20\dfrac{3}{12}-36|

= 5\dfrac{4}{12}+15\dfrac{9}{12}-28

= 20\dfrac{13}{12}

= 21\dfrac{1}{12}

Jawaban : E

7.  Volume benda putar yang terjadi jika daerah antar kurva y = 2x-x^2 dan sumbu X, diputar mengelilingi sumbu X adalah …

A. 3\dfrac{1}{15} \pi satuan volume

B. 2\dfrac{4}{15} \pi satuan volume

C. 1\dfrac{1}{15} \pi satuan volume

D. \dfrac{6}{15} \pi satuan volume

E. \dfrac{4}{15} \pi satuan volume

Pembahasan.

un_math_2015_37Batas-batas : y = 0

2x-x^2 = 0

x(2-x) = 0

Jadi, batas-batasnya adalah x_1=0 dan x_2=2.

Volume = \pi \int_{0}^2 y_1^2 ~dx

= \pi \int_{0}^2 (2x-x^2)^2 ~dx

= \pi \int_{0}^2 (4x^2-4x^3+x^4) ~dx

= \pi \left( \dfrac{4}{3}x^3-x^4+\dfrac{1}{5}x^5 \right) |_{0}^2

= \pi \left( \dfrac{4}{3}2^3-2^4+\dfrac{1}{5}2^5 \right) -\left( \dfrac{4}{3}0^3-0^4+\dfrac{1}{5}0^5 \right)

= \left( \dfrac{32}{3}-16+\dfrac{32}{5} \right) \pi

= \left( \dfrac{160}{15}-16+\dfrac{96}{15} \right) \pi

= \left( 17\dfrac{1}{15}-16 \right) \pi

= 1\dfrac{1}{15} \pi

Jawaban : C

8.  Histogram berikut menunjukkan data umur penghuni rumah kontrakan milik Pak Achmad. Modus data tersebut adalah …un_math_2015_38

A. 29,5

B. 32,5

C. 33,5

D. 34,5

E. 35,5

Pembahasan.

Modus : Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p

Mo : modus

b : batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p : panjang kelas interval

b_1 : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b_2 : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

Letak Mo pada frekuensi = 14, yaitu pada kelas interval 49-54.

Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p

= 29,5 + \left( \dfrac{(12-9)}{(12-9)+(12-5)} \right)10

= 29,5 + \dfrac{3}{10} 10

= 29,5 + 3

= 32,5

Jawaban : B

9.  Suatu organisasi motor cross  ingin menentukan pengurus sehingga ketua, sekretaris, dan bendahara dari 20 anggota. Banyak cara susunan pengurus yang mungkin adalah …

A. 2.280

B. 6.840

C. 12.400

D. 13.400

E. 13.680

Pembahasan.

Untuk menyelesaiakan soal ini digunakan Permutasi, karena terdapat ”urutan” yaitu ketua, sekretaris, bendahara. Sehingga diperoleh

_nP_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}

_{20}P_{3} = \dfrac{20!}{(20-3)!} = \dfrac{17!.18.19.20}{17!} = 6.840

Jawaban : B

10.Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang \dfrac{3}{5}. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tanding . Peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan  penalti tersebut adalah …

A. \dfrac{180}{625}

B. \dfrac{612}{625}

C. \dfrac{216}{625}

D. \dfrac{228}{625}

E. \dfrac{230}{625}

Pembahasan

Dalam 5 kali tendangan, penjaga gawang tersebut mampu menahan tendangan sebanyak 3 kali, artinya _5C_3 = \dfrac{5!}{(5-3)!3!} = 10.

Selanjutnya, 3 kali tendangan dapat ditahan dengan peluang 3/5, artinya \left( \dfrac{3}{5} \right)^3 = \dfrac{27}{125}.

Itu artinya, terdapat 2 kali tendangan gagal ditahan dengan peluang 1-\dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}. Diperoleh \left( \dfrac{2}{5} \right)^2 = \dfrac{4}{25}.

Dengan demikian, peluang penjaga gawang tersebut mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah

_5C_3 \left( \dfrac{3}{5} \right)^3 \left( \dfrac{2}{5} \right)^2 = 10 \dfrac{27}{125} \dfrac{4}{25} = \dfrac{216}{125}

Jawaban : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s