Komposisi Fungsi (2)


Misal diberikan fungsi g : A \rightarrow B dan f : B \rightarrow C dengan y = g(x) dan z = f(y) untuk setiap x \in A, y \in B. Agar dua fungsi (f dan g) dapat dikomposisi (f \circ g), maka harus memenuhi syarat, yaitu g(x) \subseteq B. Apa yang terjadi jika g(x) \nsubseteq B ? g(x) jika dipandang sebagai domain f tidak memenuhi syarat menjadi fungsi untuk f(g(x)).

Perhatikan bahwa, jika fungsi h merupakan komposisi fungsi dari f dan g yaitu pemetaan dari himpunan A ke himpunan A, maka fungsi h dapat ditulis sebagai h = (f \circ g) atau h(x) = (f \circ g)(x) untuk setiap x \in A

Berdasarkan deskripsi di atas, komposisi fungsi g dan fungsi g dapat didefinisikan sebagai berikut :

CONTOH 1.

Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai berikut f : R \rightarrow R dengan f(x) = 2x-1 dan g : R \rightarrow R dengan g(x) = 5-3x. Tentukan (f \circ g)(x) dan (g \circ f)(x)

Penyelesaian.

(f \circ g)(x) = f(g(x))

= f(5-3x)

= 2(5-3x)-1

= (10-6x)-1

= 9-6x

(g \circ f)(x) = g(f(x))

= g(2x-1)

= 5-3(2x-1)

= 5-(6x-3)

= 8-6x

CONTOH 2.

Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai berikut f : R \rightarrow R dengan f(x) = \dfrac{x}{x+1} dan g : R \rightarrow R dengan g(x) = \dfrac{1}{x-1}. Tentukan (f \circ g)(5).

Penyelesaian.

(f\circ g)(x) = f(g(x))

= f \left( \dfrac{x}{x-1} \right)

= \dfrac{\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}+1}

= \dfrac{\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{x-1}}

= \dfrac{\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{x}{x-1}}

= \dfrac{1}{x-1} \dfrac{x-1}{x}

= \dfrac{1}{x}

Jadi, (f \circ g)(5) = \dfrac{1}{5}.

Pada tulisan diatas telah dipelajari cara menentukan rumus fungsi komposisi, baik itu f \circ g maupun g \circ f. Sekarang, bagaiamana kalau jika fungsi komposisi diketahui (f \circ g atau g \circ f) dan salah fungsi juga diketahui (misal f), apakah bisa dicari fungsi lainnya (yaitu fungsi g) ? Atau jika diketahui fungsi g, apakah bisa dicari fungsi f ? Perhatikan contoh berikut.

CONTOH 3.

Diketahui fungsi komposisi (g \circ f)(x) = x^2-6x+3 dan fungsi g(x) = 2x-3. Tentukan f(x).

Penyelesaian.

(g \circ f)(x) = x^2-6x+3

g(f(x)) = x^2-6x+3

2f(x)-3 = x^2-6x+3

2f(x) = x^2-6x+6

f(x) = \dfrac{1}{2}x^2-3x+3

Pada umumnya, sifat dari operasi komposisi fungsi yaitu assosiatif tapi tidak komutatif, perhatikan pada CONTOH 1. Yaitu f \circ g (x) \neq g \circ f.

CONTOH 4.

Jika diketahui g(x) = x+1 dan (f \circ g)(x) = x^2+3x+1, maka f(x) sama dengan

Penyelesaian.

(f \circ g)(x) = x^2+3x+1

f(g(x)) = x^2+3x+1

f(x+1) = x^2+3x+1

Misal m = x+1, berakibat x=m-1. Diperoleh

f(x) = (m-1)^2+3(m-1)+1

= (m^2-2m+1)+(3m-3)+1

= m^2+m-1

Jadi, f(x) = x^2+m-1.

CONTOH 5.

Diketahui fungsi f, g, dan h yang didefinisikan sebagai berikut f : R \rightarrow R, g : R \rightarrow R, dan h : R \rightarrow R dengan f(x) = x-1, g(x) = 2x dan h(x) = x^2. Tentukan (f \circ (g \circ h))(x) dan ((f \circ g) \circ h)(x). Apakah (f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x) ?

Penylesaian.

(g \circ h)(x) = g(h(x))

= g(x^2)

= 2(x^2)

= 2x^2

(f \circ (g \circ h))(x) = f(g \circ h)(x)

= f(2x^2)

= 2x^2-1

(f \circ g)(x) = f(g(x))

= f(2x)

= 2x-1

((f \circ g) \circ h)(x) = (f\circ g)(h(x))

= (f\circ g)(x^2)

= 2x^2-1

Jadi, (f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x).

 

Dalam hal demikian, dikatakan operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif. Karena operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif, maka bentuk (f \circ (g \circ h))(x) maupun ((f \circ g) \circ h)(x) dapat dituliskan sebagai f \circ g \circ h.

CONTOH 6.

Diketahui fungsi-fungsi f : R \rightarrow R dan I : R \rightarrow R masing-masing ditentukan dengan rumus f(x) = x^2+4x-1 dan I(x) = x. Tentukan (f \circ I)(x) dan (I \circ f)(x). Apakah (f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x) ?

Penyelesaian.

(f \circ I)(x) = f(I(x))

= f(I(x))

= f(x)

= x^2+4x-1

= f(x)

(I \circ f)(x) = I(f(x))

= I(x^2+4x-1)

= x^2+4x-1

= f(x)

Jadi, (f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x).

Dalam hal ini, fungsi I(x) = x disebut fungsi identitas dalam operasi komposisi.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s