Keterbagian


Pada kesempatan ini saya akan membahas materi tentang teori bilangan, khusunya tentang keterbagian. Seperti yang telah kita ketahui bahwa 13 dibagi 4 hasil baginya 3 dan sisanya 1 dan ditulis sebagai \frac{13}{4} = 3 + \frac {1}{4}  atau 13 = 2 \times 5 + 3. Secara umum, untuk sebarang bilangan bulat a dan b, terdapat tepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga

a = qb + r, ~~~ 0 \leq r < b

Dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r disebut sisa pembagian “a dibagi dengan b”. Jika r = 0 maka dikatakan a habis dibagi $atex b$ dan ditulis b|a. Jika a tidak habis dibagi b ditulis b \nmid a.

Sifat-Sifat Keterbagian

Untuk sebarang bilangan bulat a,b, dan c, berlaku

1.  a|0,1|a,a|a.

2.  a|1 jika dan hanya jika a = \pm 1.

3.  Jika a|b dan c|d maka ac|bd.

4.  Jika a|b dan b|c maka a|c.

5.  Jika ab|c maka a|c dan b|c.

6.  a|b dan b|a jika dan hanya jika a = \pm b.

7.  Jika a|b dan a|c maka a|(bx + cy) untuk sebarang bilangan bulat x dan y.

Bukti.

1.  Terdapat 0 \in \mathbb{Z} sedemikian hingga 0 = 0 \cdot a. Jadi, a|0.

Terdapat a \in \mathbb{Z} sedemikian hingga a = a \cdot 1. Jadi, 1|a.

Terdapat 1 \in \mathbb{Z} sedemikian hingga a = 1 \cdot a. Jadi, a|a.

2.  Andaikan a \neq \pm 1. Akan dicari m \in \mathbb{Z} sedemikian hingga 1 = ma. Karena a \neq \pm 1 dan a \in \mathbb{Z}, berakibat tidak ada m yang memenuhi sedemikian hingga 1 = ma. Jadi, haruslah a = \pm 1.

Diketahui a=\pm 1. Jelas bahwa a|1.

3.  Diketahui a|b dan c|d, artinya terdapat m,n \in \mathbb{Z} sedemikian hingga b = ma dan d = nc. Sehingga diperoleh bd = (ma)(nc) = (mn)(ac). Karena m,n \in \mathbb{Z} maka mn \in \mathbb{Z}, berakibat ac|bd.

4.  Diketahui a|b dan b|c, artinya terdapat m,n \in \mathbb{Z} sedemikian hingga b = ma dan c = nb. Sehingga diperoleh c = nb = n(ma) = (nm)a. Karena m,n \in \mathbb{Z} maka mn \in \mathbb{Z}, berakibat a|c.

5.  Diketahui ab|c, artinya terdapat m \in \mathbb{Z} sedemikian hingga c = m(ab). Akan dibuktikan terdapat r,s \in \mathbb{Z} sedemikian hingga hingga b = ra dan c = sb. Dari yang diketahui, pilih s=ma, berakibat c = (ma)b =sb. Jadi, b|c. Dilain pihak, pilih r = mb, berakibat c = m(ab) = m(ba) = (ma)b = rb. Jadi, a|c.

6.  Diketahui a|b dan b|a, artinya terdapat m,n \in \mathbb{Z} sedemikian hingga b = ma dan a = nb. Sehingga diperoleh b = ma = m(nb) = (mn)b. Berakibat (mn-1)b=0. Diperoleh mn = 1 dan m,n yang memenuhi adalah m,n = \pm 1. Jadi, a = \pm b.

7.  Ambil sebarang x,y \in \mathbb{Z}. Dari yang diketahui, terdapat p,q \in \mathbb{Z} sedemikian hingga b=pa dan c=qa. Karena x,y \in \mathbb{Z}, diperoleh bx=pax=(px)a dan cy=qay=(qy)a. Sehingga didapat bx+cy=(px)a+(qy)a = (px+qy)a dengan (px+qy) \in \mathbb{Z}. Jadi, a|(bx + cy).

 

Dalam beberapa soal, sering menemukan persoalan dalam menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi atau tidak oleh suatu bilangan berbentuk 2n dengan n \in \mathbb{Z}. Berikut ini adalah kaidah-kaidah menentukan keterbagian suatu bilangan yang cukup besar.

 

Keterbagian oleh 2n.

Suatu bilangan habis dibagi 2n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2n.

1.  Untuk n = 1, berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.

Contoh 1.

Tentukan apakah 1672 habis dibagi oleh 2.

Perhatikan digit terakhir dari bilangan tersebut, yaitu 2. Karena 2|2, maka dapat disimpulan bahwa 2|1672.

2.  Untuk n = 2, berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4.

Contoh 2.

Tentukan apakah 187324 habis dibagi oleh 4.

Perhatikan 2 digit terakhir dari bilangan tersebut, yaitu 24. Karena 2|24, maka dapat disimpulan bahwa 4|187324.

3.  Untuk n = 3, berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.

Contoh 3.

Tentukan apakah 173332 habis dibagi oleh 8.

Perhatikan 3 digit terakhir dari bilangan tersebut, yaitu 332. Karena 2 \nmid 332, maka dapat disimpulan bahwa 2 \nmid 173332.

 

Keterbagian 3, 9, dan 11.

Permasalahan selanjutnya adalah, bagaimana dengan kasus keterbagian oleh 3, 9 dan 11 ? Apakah ada cara menentukan apakah suatu bilangan tersebut habis dibagi oleh 3, 9 atau 11 tanpa menghitung secara keseluruhan dan manual ? Berikut sifat-sifat yang akan digunakan. Misal diberikan bilangan yang akan dibagi adalah a = a_n a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0.

1.  Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya yaitu a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0 habis dibagi 3.

Contoh 4.

Tentukan apakah 1815 habis dibagi 3.

Perhatikan : 1 + 8 + 1 + 5 = 15. Karena 3 | 15, maka 3 | 1815.

2.  Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya yaitu a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0 habis dibagi 9.

Contoh 5.

Tentukan apakah 27342 habis dibagi 9.

Perhatikan : 2 + 7 + 3 + 4 + 2 = 18. Karena 9 | 18, maka 9 | 27342.

3.  Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya yaitu a_n-a_{n-1} + a_{n-2}-a_{n-3}+ \ldots habis dibagi 11.

Contoh 6.

Tentukan apakah 35728 habis dibagi 11.

Perhatikan : 3 – 5 + 7 – 2 + 8 = 11. Karena 11 | 11, maka 11 | 35728.

 

Contoh 7.

Jika bilangan a1989b habis dibagi 72. Tentukan nilai a dan b.

Penyelesaian.

Karena 72 = 8 x 9, maka dalam mencari nilai a dan b dipecah menjadi 2, yaitu keterbagian oleh 8 dan 9. Berdasarkan Sifat Keterbagian no.5, karena 72 | a1989b berakibat 8 | a1989b dan 9 | a1989b.

Keterbagian oleh 8.

Diperoleh 89b habis dibagi oleh 8. Perhatikan bahwa89b bagi 8 hasilnya 110 dengan sisa 1b. Agar 1b habis dibagi oleh 8, maka kemungkinan nilai b-nya adalah 6.

Keterbagian oleh 9.

Perhatikan bahwa a + 1 + 9 + 8 + 9 + b = a + 27 + b habis dibagi oleh 9. Dari keterbagian 8, diperoleh b = 6, berakibat a + 33 habis dibagi oleh 9. Agar a + 33 habis dibagi oleh 9, maka nilai a yang mungkin adalah a = 3.

Jadi bilangan yang dimaksud adalah 319896.

 

Contoh 8.

Jika n bilangan asli, buktikan bahwa n^3+5n habis dibagi 6.

Bukti.

n^3+5n = n^3-n+6n

= n(n^2-1)+6n

= n(n+1)(n-1)+6n

= (n+1)n(n-1)+6n

Karena (n-1)n(n+1) merupakan 3 bilangan yang berurutan, berakibat (n-1)n(n+1) selalu habis dibagi 6. Jelas bahwa 6|6n. Jadi, dapat disimpulkan bahwa 6 | n^3+5n.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s