Bebera bulan lalu, saya menulis tentang Grup, yaitu membahas tentang definisi dan beberapa contoh dari grup. Selanjutnya pada tulisan ini saya akan menulis beberapa sifat dari grup. Berikut sifat-sifatnya.
Jika diberikan grup dengan operasi biner
, pasti identitas dalam grup
adalah tunggal.
Teorema 1. (Ketunggalan elemen Identitas)
Elemen identitas pada suatu grup adalah tunggal.
Bukti.
Ambil sebarang grup dan misalkan ada dua elemen identitas yaitu
dan
. Pandang
sebagai elemen identitas, maka berlaku
. Di lain pihak, pandang juga
sebagai elemen identitas, maka belaku juga
. Dari dua pernyataan tersebut, diperoleh
. Berakibat,
. Jadi, elemen identitas grup
adalah tunggal.
Selain identitas, elemen invers dalam suatu grup juga tunggal. Berikut diberiken teorema.
Teorema 2.(Ketunggalan Invers)
Setiap elemen dari suatu grup memiliki invers yang tunggal.
Bukti.
Ambil sebarang grup dan
elemen identitas pada
. Ambil sebarang
. Misalkan
dan
merupakan invers dari $latexa$. Pandang
sebagai invers dari
, berlaku
. Di lain pihak, pandang
sebagai invers dari
, berlaku
. Dari kedua pernyataan tersebut diperoleh
. Berakibat
. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap
memiliki invers yang tunggal.
Sifat selanjutnya yang dimiliki oleh suatu grup adalah jika elemen invers diinverskan, hasilnya adalah elemen tersebut.
Teorema 3.
Diberikan grup . Untuk setiap
, berlaku
.
Bukti.
Misal grup dan
elemen identitas di
. Ambil sebarang
dan
merupakan invers dari
. Akan ditunjukkan
. Karena
merupakan invers dari
, maka dipunyai
Perhatikan,
Perhatikan juga,
Dari sini diperoleh .
Selanjutnya, jika diberikan suatu grup maka invers dari perkalian dua elemen di grup adalah kebalikan dari perkalian invers.
Teorema 4.
Diberikan grup. Untuk sebarang
, berlaku
Bukti.
Misal grup dan
elemen identitas di
. Ambil sebarang
serta
dan
berturut-turut invers dari
dan
. Akan ditunjukkan
. Dalam hal ini, ekuivalen menunjukkan bahwa
.
Perhatikan,
Perhatikan juga,
Jadi, . Dari sini, berdasarkan definisi invers suatu elemen, dapat disimpulkan bahwa
.
Teorema 5. (Hukum Kanselasi)
Diberikan grup dan untuk sebarang
. Jika
atau
maka
.
Bukti.
Ambil sebarang . Misal
, karena
dan setiap elemen
mempunyai invers yaitu
, diperoleh
Dengan cara yang sama untuk , diperoleh
.
Teorema 6.
Diberikan grup. Jika
dan
dua elemen pada grup
, maka persamaan
dan
mempunyai solusi tunggal di .
Bukti.
Misal grup. Dari Teorema 2 dan definisi grup diperoleh setiap elemen di grup
mempunyai ketunggalan invers dan perkalian dua elemen di
, hasilnya juga berada di
. Ambil sebarang
dan
, maka
. Klaim
, substitusikan
ke
Jadi, memenuhi
. Karena
maka
merupakan solusi dari
yang berada di
.
Selanjutnya akan ditunjukkan ketunggalan dari solusi . Misal dipunyai dua solusi yaitu
dan
. Sehingga dipunyai
dan
, dari kedua persamaan tersebut, diperoleh
. Berdasarkan sifat kanselasi kiri, diperoleh
. Jadi
mempunyai ketunggalan solusi.
Dengan cara yang sama, diperoleh dan terbukti bahwa
mempunyai solusi yang tunggal.