Sifat-Sifat Grup

Bebera bulan lalu, saya menulis tentang Grup, yaitu membahas tentang definisi dan beberapa contoh dari grup. Selanjutnya pada tulisan ini saya akan menulis beberapa sifat dari grup. Berikut sifat-sifatnya.

Jika diberikan grup $G$ dengan operasi biner $*$ , pasti identitas dalam grup $G$ adalah tunggal.

Teorema 1. (Ketunggalan elemen Identitas)

Elemen identitas pada suatu grup adalah tunggal.

Bukti.

Ambil sebarang grup $G$ dan misalkan ada dua elemen identitas yaitu $e$ dan $e'$ . Pandang $e$ sebagai elemen identitas, maka berlaku $ee'=e'e=e$ . Di lain pihak, pandang juga $e'$ sebagai elemen identitas, maka belaku juga $e'e=ee'=e'$ . Dari dua pernyataan tersebut, diperoleh $e=ee'=e'e=e'$ . Berakibat, $e'=e$ . Jadi, elemen identitas grup $G$ adalah tunggal. $\blacksquare$

Selain identitas, elemen invers dalam suatu grup juga tunggal. Berikut diberiken teorema.

Teorema 2.(Ketunggalan Invers)

Setiap elemen dari suatu grup memiliki invers yang tunggal.

Bukti.

Ambil sebarang grup $G$ dan $e$ elemen identitas pada $G$ . Ambil sebarang $a \in G$ . Misalkan $b$ dan $c$ merupakan invers dari $latexa$. Pandang $b$ sebagai invers dari $a$ , berlaku $ba=ab=e$ . Di lain pihak, pandang $c$ sebagai invers dari $a$ , berlaku $ca=ac=e$ . Dari kedua pernyataan tersebut diperoleh $b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c$ . Berakibat $b=c$ . Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap $a \in G$ memiliki invers yang tunggal. $\blacksquare$

Sifat selanjutnya yang dimiliki oleh suatu grup adalah jika elemen invers diinverskan, hasilnya adalah elemen tersebut.

Teorema 3.

Diberikan grup $G$ . Untuk setiap $a \in G$ , berlaku $(a^{-1})^{-1} = a$ .

Bukti.

Misal $G$ grup dan $e$ elemen identitas di $G$ . Ambil sebarang $a \in G$ dan $a^{-1}$ merupakan invers dari $a$ . Akan ditunjukkan $(a^{-1})^{-1}=a$ . Karena $a^{-1}$ merupakan invers dari $a$ , maka dipunyai

$a^{-1}a=aa^{-1}=e$

Perhatikan,

$a^{-1}a = e$

$\Leftrightarrow (a^{-1})^{-1}(a^{-1}a) = (a^{-1})^{-1}e$

$\Leftrightarrow ((a^{-1})^{-1}a^{-1})a = (a^{-1})^{-1}e$

$\Leftrightarrow ea = (a^{-1})^{-1}$

$\Leftrightarrow a = (a^{-1})^{-1}$

Perhatikan juga,

$a a^{-1} = e$

$\Leftrightarrow (aa^{-1})(a^{-1})^{-1} = e(a^{-1})^{-1}$

$\Leftrightarrow a(a^{-1}a^{-1})^{-1} = e(a^{-1})^{-1}$

$\Leftrightarrow ae = (a^{-1})^{-1}$

$\Leftrightarrow a = (a^{-1})^{-1}$

Dari sini diperoleh $(a^{-1})^{-1}= a$ . $\blacksquare$

Selanjutnya, jika diberikan suatu grup maka invers dari perkalian dua elemen di grup adalah kebalikan dari perkalian invers.

Teorema 4.

Diberikan $G$ grup. Untuk sebarang $a,b \in G$ , berlaku $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$

Bukti.

Misal $G$ grup dan $e$ elemen identitas di $G$ . Ambil sebarang $a,b \in G$ serta $a^{-1}$ dan $b^{-1}$ berturut-turut invers dari $a$ dan $b$ . Akan ditunjukkan $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ . Dalam hal ini, ekuivalen menunjukkan bahwa $(ab)(b^{-1}a^{-1})=(b^{-1}a^{-1})(ab)=e$ .

Perhatikan,

$(ab)(b^{-1}a^{-1}) = ((ab)b^{-1})a^{-1}$

$= (a(bb^{-1}))a^{-1}$

$= (ae)a^{-1}$

$= aa^{-1}$

$= e$

Perhatikan juga,

$(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}(ab))$

$= b^{-1}((a^{-1}a)b)$

$= b^{-1}(eb)$

$= b^{-1}b$

$= e$

Jadi, $(ab)(b^{-1}a^{-1})=(b^{-1}a^{-1})(ab)=e$ . Dari sini, berdasarkan definisi invers suatu elemen, dapat disimpulkan bahwa $ab = b^{-1}a^{-1}$ . $\blacksquare$

Teorema 5. (Hukum Kanselasi)

Diberikan $G$ grup dan untuk sebarang $a,b,c \in G$ . Jika $ac =bc$ atau $ca = cb$ maka $a=b$ .

Bukti.

Ambil sebarang $a,b,c \in G$ . Misal $ac = bc$ , karena $c \in G$ dan setiap elemen $G$ mempunyai invers yaitu $c^{-1}$ , diperoleh

$acc^{-1} = bcc^{-1} \Leftrightarrow a=b$

Dengan cara yang sama untuk $ca = cb$ , diperoleh $a=b$ . $\blacksquare$

Teorema 6.

Diberikan $G$ grup. Jika $a$ dan $b$ dua elemen pada grup $G$ , maka persamaan

$ax=b$ dan $ya=b$

mempunyai solusi tunggal di $G$ .

Bukti.

Misal $G$ grup. Dari Teorema 2 dan definisi grup diperoleh setiap elemen di grup $G$ mempunyai ketunggalan invers dan perkalian dua elemen di $G$ , hasilnya juga berada di $G$ . Ambil sebarang $a,b \in G$ dan $a^{-1}, b^{-1} \in G$ , maka $a^{-1}b \in G$ . Klaim $x=a^{-1}b$ , substitusikan $a^{-1}b$ ke $x$

$a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b$

$= eb$

$= b$

Jadi, $x=a^{-1}b$ memenuhi $ax=b$ . Karena $a^{-1}b \in G$ maka $x=a^{-1}b$ merupakan solusi dari $ax=b$ yang berada di $G$ .

Selanjutnya akan ditunjukkan ketunggalan dari solusi $ax=b$ . Misal dipunyai dua solusi yaitu $x=x_1$ dan $x=x_2$ . Sehingga dipunyai $ax_{1}=b$ dan $ax_{2}=b$ , dari kedua persamaan tersebut, diperoleh $ax_{1} = ax_{2}$ . Berdasarkan sifat kanselasi kiri, diperoleh $x_{1} = x_{2}$ . Jadi $ax=b$ mempunyai ketunggalan solusi.

Dengan cara yang sama, diperoleh $y=ba^{-1}$ dan terbukti bahwa $ay=b$ mempunyai solusi yang tunggal. $\blacksquare$

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Yuliana pada Deret MacLaurin
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	sarnis pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Pembahasan TKPA Matematika Das…
	Aaa pada Pembahasan TKPA Matematika Das…
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Pembahasan Latihan Soal TPA De…
	aim pada Pembahasan Soal Barisan dan De…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan