Sifat-Sifat Grup


Bebera bulan lalu, saya menulis tentang Grup, yaitu membahas tentang definisi dan beberapa contoh dari grup. Selanjutnya pada tulisan ini saya akan menulis beberapa sifat dari grup. Berikut sifat-sifatnya.

Jika diberikan grup G dengan operasi biner *, pasti identitas dalam grup G adalah tunggal.

Teorema 1. (Ketunggalan elemen Identitas)

Elemen identitas pada suatu grup adalah tunggal.

Bukti.

Ambil sebarang grup G dan misalkan ada dua elemen identitas yaitu e dan e'. Pandang e sebagai elemen identitas, maka berlaku ee'=e'e=e. Di lain pihak, pandang juga e' sebagai elemen identitas, maka belaku juga e'e=ee'=e'. Dari dua pernyataan tersebut, diperoleh e=ee'=e'e=e'. Berakibat, e'=e. Jadi, elemen identitas grup G adalah tunggal. \blacksquare

Selain identitas, elemen invers dalam suatu grup juga tunggal. Berikut diberiken teorema.

Teorema 2.(Ketunggalan Invers)

Setiap elemen dari suatu grup memiliki invers yang tunggal.

Bukti.

Ambil sebarang grup G dan e elemen identitas pada G. Ambil sebarang a \in G. Misalkan b dan c merupakan invers dari $latexa$. Pandang b sebagai invers dari a, berlaku ba=ab=e. Di lain pihak, pandang c sebagai invers dari a, berlaku ca=ac=e. Dari kedua pernyataan tersebut diperoleh b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c. Berakibat b=c. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap a \in G memiliki invers yang tunggal. \blacksquare

Sifat selanjutnya yang dimiliki oleh suatu grup adalah jika elemen invers diinverskan, hasilnya adalah elemen tersebut.

Teorema 3.

Diberikan grup G. Untuk setiap a \in G, berlaku (a^{-1})^{-1} = a.

Bukti.

Misal G grup dan e elemen identitas di G. Ambil sebarang a \in G dan a^{-1} merupakan invers dari a. Akan ditunjukkan (a^{-1})^{-1}=a. Karena a^{-1} merupakan invers dari a, maka dipunyai

a^{-1}a=aa^{-1}=e

Perhatikan,

a^{-1}a = e

\Leftrightarrow (a^{-1})^{-1}(a^{-1}a) = (a^{-1})^{-1}e

\Leftrightarrow ((a^{-1})^{-1}a^{-1})a = (a^{-1})^{-1}e

\Leftrightarrow ea = (a^{-1})^{-1}

\Leftrightarrow a = (a^{-1})^{-1}

Perhatikan juga,

a a^{-1} = e

\Leftrightarrow (aa^{-1})(a^{-1})^{-1} = e(a^{-1})^{-1}

\Leftrightarrow a(a^{-1}a^{-1})^{-1} = e(a^{-1})^{-1}

\Leftrightarrow ae = (a^{-1})^{-1}

\Leftrightarrow a = (a^{-1})^{-1}

Dari sini diperoleh (a^{-1})^{-1}= a. \blacksquare

Selanjutnya, jika diberikan suatu grup maka invers dari perkalian dua elemen di grup adalah kebalikan dari perkalian invers.

Teorema 4.

Diberikan G grup. Untuk sebarang a,b \in G, berlaku (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}

Bukti.

Misal G grup dan e elemen identitas di G. Ambil sebarang a,b \in G serta a^{-1} dan b^{-1} berturut-turut invers dari a dan b. Akan ditunjukkan (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. Dalam hal ini, ekuivalen menunjukkan bahwa (ab)(b^{-1}a^{-1})=(b^{-1}a^{-1})(ab)=e.

Perhatikan,

(ab)(b^{-1}a^{-1}) = ((ab)b^{-1})a^{-1}

= (a(bb^{-1}))a^{-1}

= (ae)a^{-1}

= aa^{-1}

= e

Perhatikan juga,

(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}(ab))

= b^{-1}((a^{-1}a)b)

= b^{-1}(eb)

= b^{-1}b

= e

Jadi, (ab)(b^{-1}a^{-1})=(b^{-1}a^{-1})(ab)=e. Dari sini, berdasarkan definisi invers suatu elemen, dapat disimpulkan bahwa ab = b^{-1}a^{-1}. \blacksquare

 

Teorema 5. (Hukum Kanselasi)

Diberikan G grup dan untuk sebarang a,b,c \in G. Jika ac =bc atau ca = cb maka a=b.

Bukti.

Ambil sebarang a,b,c \in G. Misal ac = bc, karena c \in G dan setiap elemen G mempunyai invers yaitu c^{-1}, diperoleh

acc^{-1} = bcc^{-1} \Leftrightarrow a=b

Dengan cara yang sama untuk ca = cb, diperoleh a=b. \blacksquare

 

Teorema 6.

Diberikan G grup. Jika a dan b dua elemen pada grup G, maka persamaan

ax=b dan ya=b

mempunyai solusi tunggal di G.

Bukti.

Misal G grup. Dari Teorema 2 dan definisi grup diperoleh setiap elemen di grup G mempunyai ketunggalan invers dan perkalian dua elemen di G, hasilnya juga berada di G. Ambil sebarang a,b \in G dan a^{-1}, b^{-1} \in G, maka a^{-1}b \in G. Klaim x=a^{-1}b, substitusikan a^{-1}b ke x

a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b

= eb

= b

Jadi, x=a^{-1}b memenuhi ax=b. Karena a^{-1}b \in G maka x=a^{-1}b merupakan solusi dari ax=b yang berada di G.

Selanjutnya akan ditunjukkan ketunggalan dari solusi ax=b. Misal dipunyai dua solusi yaitu x=x_1 dan x=x_2. Sehingga dipunyai ax_{1}=b dan ax_{2}=b, dari kedua persamaan tersebut, diperoleh ax_{1} = ax_{2}. Berdasarkan sifat kanselasi kiri, diperoleh x_{1} = x_{2}. Jadi ax=b mempunyai ketunggalan solusi.

Dengan cara yang sama, diperoleh y=ba^{-1} dan terbukti bahwa ay=b mempunyai solusi yang tunggal. \blacksquare

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s