Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup, sudah dijelaskan mengenai definisi dan beberapa sifat serta contoh. Apakah untuk mengecek suatu subgrup atau bukan hanya melalui definisi ? Jawabannya TIDAK. Berikut diberikan beberapa karakteristik subgrup.
Teorema 1.
Diberikan grup dan
yang tak kosong. Maka
subgrup dari
jika dan hanya jika untuk setiap
berlaku
.
Bukti.
Diketahui subgrup dari
, ambil sebarang
. Karena
subgrup maka terdapat
. Berdasarkan sifat ketertutupan subgrup
maka
. Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkan
subgrup. Ekuivalen dengan menunjukkan terdapat identitas
dan untuk sebarang
memenuhi
(sifat tertutup subgrup) serta memiliki invers yaitu
sedemikian hingga
. Diketahui
,
dan
. Berdasarkan yang diketahui, pilih
sedemikian sehingga
. Ambil sebarang
. Berdasarkan yang sudah dibuktikan diperoleh
. Sesuai dengan yang diketahui
, akibatnya
. Jadi sifat tertutup terpenuhi. Karena
berakibat
. Jadi setiap
mempunyai invers di
. Sifat asosiatif sudah diturunkan dari sifat grup
. Jadi
merupakan subgrup.
Contoh 2.
Diberikan subgrup
dan misal
. Buktikan bahwa
merupakan subgrup
.
Ambil sebarang . Perhatikan,
,
berakibat . Ambil sebarang
. Perhatikan,
Jadi, subgrup
.
Akibat 3.
Misal grup dan
yang tak kosong dan berhingga. Maka
subgrup dari
jika dan hanya jika untuk setiap
berlaku
.
Bukti.
Misal subgrup, maka jelas untuk setiap
berlaku
. Sebaliknya misal diketahui untuk sebarang
berlaku
. Ambil sebarang
maka berlaku
sehingga
. Karena
berhingga maka tidak semua elemen di
berbeda. Oleh karena itu terdapat
dan
dengan
sedemikian sehingga
. Sehingga diperoleh
. Sekarang, misal
, diperoleh
berakibat
. Ambil sebarang
maka
dan berdasarkan hipotesis berlaku
. Berdasarkan Teorema 1, maka
subgrup.
Contoh 4.
Diberikan grup terhadap operasi penjumlahan
. Buktikan bahwa
merupakan subgrup
.
Perhatikan tabel cayley berikut,
|
[0] |
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[5] |
[6] |
[7] |
[0] |
[0] |
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[5] |
[6] |
[7] |
[1] |
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[5] |
[6] |
[7] |
[0] |
[2] |
[2] |
[3] |
[4] |
[5] |
[6] |
[7] |
[0] |
[1] |
[3] |
[3] |
[4] |
[5] |
[6] |
[7] |
[0] |
[1] |
[2] |
[4] |
[4] |
[5] |
[6] |
[7] |
[0] |
[1] |
[2] |
[3] |
[5] |
[5] |
[6] |
[7] |
[0] |
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[6] |
[6] |
[7] |
[0] |
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[5] |
[7] |
[7] |
[0] |
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[5] |
[6] |
Jika dilihat pada tabel cayley, didapat bahwa untuk setiap
(lihat yang warna merah). Sehingga, berdasarkan Akibat 3, dapat disimpulkan bahwa
merupakan subgrup
.
Teorema 5.
Diberikan ,
subgrup dari grup
jika dan hanya jika
1. tertutup dibawah operasi biner pada
2. Elemen identitas di juga merupakan identitas di
3. Untuk setiap maka berlaku
Bukti.
Diketahui subgrup
, maka jelas bahwa memenuhi kondisi 1, 2 dan 3. Sebaliknya jika diketahui
sedemikian sehingga kondisi 1, 2 dan 3 terpenuhi. Berdasarkan 2 maka jelas bahwa terdapat identitas di
sedemikian sehingga untuk setiap
berlaku
. Berdasarkan 3 maka jelas untuk setiap
maka terdapat
sedemikian sehingga
. Selanjutnya akan ditunjukkan sifat asosiatif. Ambil sebarang
, karena
dan
grup maka berlaku
. Jadi,
merupakan subgrup dari
.
Ping-balik: Subgrup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Gabungan, Irisan dan Perkalian Subgrup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful