Nov 14 2015

Karakteristik Subgrup

Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup, sudah dijelaskan mengenai definisi dan beberapa sifat serta contoh. Apakah untuk mengecek suatu subgrup atau bukan hanya melalui definisi ? Jawabannya TIDAK. Berikut diberikan beberapa karakteristik subgrup.

Teorema 1.

Diberikan $G$ grup dan $H \subseteq G$ yang tak kosong. Maka $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $ab^{-1} \in H$ .

Bukti.

Diketahui $H$ subgrup dari $G$ , ambil sebarang $a,b \in H$ . Karena $H$ subgrup maka terdapat $b^{-1} \in H$ . Berdasarkan sifat ketertutupan subgrup $H$ maka $ab^{-1} \in H$ . Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkan $H$ subgrup. Ekuivalen dengan menunjukkan terdapat identitas $e \in H$ dan untuk sebarang $a, b \in H$ memenuhi $ab\in H$ (sifat tertutup subgrup) serta memiliki invers yaitu $a^{-1}$ sedemikian hingga $aa^{-1}=e$ . Diketahui $H \neq \emptyset$ , $H \subseteq G$ dan $ab^{-1} \in H$ . Berdasarkan yang diketahui, pilih $a=b$ sedemikian sehingga $aa^{-1}=e \in H$ . Ambil sebarang $a,b \in H$ . Berdasarkan yang sudah dibuktikan diperoleh $e \in H$ . Sesuai dengan yang diketahui $b^{-1}=eb^{-1} \in H$ , akibatnya $ab=a(b^{-1})^{-1} \in H$ . Jadi sifat tertutup terpenuhi. Karena $e \in H$ berakibat $a^{-1}=ea^{-1} \in H$ . Jadi setiap $a \in H$ mempunyai invers di $H$ . Sifat asosiatif sudah diturunkan dari sifat grup $G$ . Jadi $H$ merupakan subgrup. $\blacksquare$

Contoh 2.

Diberikan $H$ subgrup $G$ dan misal $g \in G$ . Buktikan bahwa $gHg^{-1} =\{ ghg^{-1} ~|~ h \in H\}$ merupakan subgrup $G$ .

Ambil sebarang $g \in G$ . Perhatikan,

$e =geg^{-1} \in gHg^{-1}$ ,

berakibat $gHg^{-1} \neq\emptyset$ . Ambil sebarang $gh_1g^{-1},gh_2g^{-1} \in gHg^{-1}$ . Perhatikan,

$gh_1g^{-1} (gh_2g^{-1})^{-1} =gh_1g^{-1} (gh_2^{-1}g^{-1})$

$=gh_1(g^{-1}g)h_2^{-1}g^{-1}$

$=gh_1eh_2^{-1}g^{-1}$

$=g(h_1h_2^{-1})g^{-1}$

$\in~gHg^{-1}.$

Jadi, $gHg^{ -1 }$ subgrup $G$ . $\square$

Akibat 3.

Misal $G$ grup dan $H \subseteq G$ yang tak kosong dan berhingga. Maka $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $ab\in H$ .

Bukti.

Misal $H$ subgrup, maka jelas untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $ab\in H$ . Sebaliknya misal diketahui untuk sebarang $a, b\in H$ berlaku $ab\in H$ . Ambil sebarang $h\in H$ maka berlaku $h, h^2, h^3,\cdots, h^n, \cdots\in H$ sehingga $\{h, h^2, h^3,\cdots, h^n, \cdots \} \subseteq H$ . Karena $H$ berhingga maka tidak semua elemen di $H$ berbeda. Oleh karena itu terdapat $r$ dan $s$ dengan $0\leq r < s$ sedemikian sehingga $h^r =h^s$ . Sehingga diperoleh $e =h^{s-r} \in H$ . Sekarang, misal $s-r\geq 1$ , diperoleh $e =hh^{s-r-1}$ berakibat $h^{-1} =h^{s-r-1} \in H$ . Ambil sebarang $a,b \in H$ maka $a,b^{-1}\in H$ dan berdasarkan hipotesis berlaku $ab^{-1}\in H$ . Berdasarkan Teorema 1, maka $H$ subgrup. $\blacksquare$

Contoh 4.

Diberikan grup $\mathbb{Z}_{ 8 }$ terhadap operasi penjumlahan $+_{ 12 }$ . Buktikan bahwa $H =\{ [0], [2], [4], [6] \}$ merupakan subgrup $\mathbb{Z}_{ 12 }$ .

Perhatikan tabel cayley berikut,

$+_{ 12 }$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]
[0]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]
[1]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[0]
[2]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[0]	[1]
[3]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[0]	[1]	[2]
[4]	[4]	[5]	[6]	[7]	[0]	[1]	[2]	[3]
[5]	[5]	[6]	[7]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[6]	[6]	[7]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]
[7]	[7]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]

Jika dilihat pada tabel cayley, didapat bahwa $[a][b]\in H$ untuk setiap $[a],[b]\in H$ (lihat yang warna merah). Sehingga, berdasarkan Akibat 3, dapat disimpulkan bahwa $H$ merupakan subgrup $G$ . $\square$

Teorema 5.

Diberikan $H \subseteq G$ , $H$ subgrup dari grup $G$ jika dan hanya jika

1. $H$ tertutup dibawah operasi biner pada $G$

2. Elemen identitas di $G$ juga merupakan identitas di $H$

3. Untuk setiap $a \in H$ maka berlaku $a^{-1}\in H$

Bukti.

Diketahui $H$ subgrup $G$ , maka jelas bahwa memenuhi kondisi 1, 2 dan 3. Sebaliknya jika diketahui $H \subseteq G$ sedemikian sehingga kondisi 1, 2 dan 3 terpenuhi. Berdasarkan 2 maka jelas bahwa terdapat identitas di $H$ sedemikian sehingga untuk setiap $a \in H$ berlaku $ae =a = ea$ . Berdasarkan 3 maka jelas untuk setiap $a \in H$ maka terdapat $a^{-1}\in H$ sedemikian sehingga $aa^{-1} =e = a^{-1}a$ . Selanjutnya akan ditunjukkan sifat asosiatif. Ambil sebarang $a, b, c\in H$ , karena $H \subseteq G$ dan $G$ grup maka berlaku $(ab)c =a(bc)$ . Jadi, $H$ merupakan subgrup dari $G$ . $\blacksquare$

3 comments on “Karakteristik Subgrup”

Ping-balik: Subgrup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Gabungan, Irisan dan Perkalian Subgrup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	nenengwindi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Aleyn pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	Arif pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Justin pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…
	weina pada Pembahasan TPA Komparasi Sarin…
	ALFI HAFIFA CHANNEL pada Kumpulan Soal Test Matematika…
	masthuraaya9@gmail.c… pada Kumpulan Soal Test Matematika…
	tedjo pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Sukai ini:

Terkait

3 comments on “Karakteristik Subgrup”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan