Karakteristik Subgrup


Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup, sudah dijelaskan mengenai definisi dan beberapa sifat serta contoh. Apakah untuk mengecek suatu subgrup atau bukan hanya melalui definisi ?  Jawabannya TIDAK. Berikut diberikan beberapa karakteristik subgrup.

Teorema 1.

Diberikan G grup dan H \subseteq G yang tak kosong. Maka H subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a, b \in H berlaku ab^{-1} \in H.

Bukti.

Diketahui H subgrup dari G, ambil sebarang a,b \in H. Karena H subgrup maka terdapat b^{-1} \in H. Berdasarkan sifat ketertutupan subgrup H maka ab^{-1} \in H. Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkan H subgrup. Ekuivalen dengan menunjukkan terdapat identitas e \in H dan untuk sebarang a, b \in H memenuhi ab\in H (sifat tertutup subgrup) serta memiliki invers yaitu a^{-1} sedemikian hingga aa^{-1}=e. Diketahui H \neq \emptyset, H \subseteq G dan ab^{-1} \in H. Berdasarkan yang diketahui, pilih a=b sedemikian sehingga aa^{-1}=e \in H. Ambil sebarang a,b \in H. Berdasarkan yang sudah dibuktikan diperoleh e \in H. Sesuai dengan yang diketahui b^{-1}=eb^{-1} \in H, akibatnya ab=a(b^{-1})^{-1} \in H. Jadi sifat tertutup terpenuhi. Karena e \in H berakibat a^{-1}=ea^{-1} \in H. Jadi setiap a \in H mempunyai invers di H. Sifat asosiatif sudah diturunkan dari sifat grup G. Jadi H merupakan subgrup. \blacksquare

Contoh 2.

Diberikan H subgrup G dan misal g \in G. Buktikan bahwa gHg^{-1} =\{ ghg^{-1} ~|~ h \in H\} merupakan subgrup G.

Ambil sebarang g \in G. Perhatikan,

e =geg^{-1} \in gHg^{-1},

berakibat gHg^{-1} \neq\emptyset. Ambil sebarang gh_1g^{-1},gh_2g^{-1} \in gHg^{-1}. Perhatikan,

gh_1g^{-1} (gh_2g^{-1})^{-1} =gh_1g^{-1} (gh_2^{-1}g^{-1})

=gh_1(g^{-1}g)h_2^{-1}g^{-1}

=gh_1eh_2^{-1}g^{-1}

=g(h_1h_2^{-1})g^{-1}

\in~gHg^{-1}.

Jadi, gHg^{ -1 } subgrup G. \square

Akibat 3.

Misal G grup dan H \subseteq G yang tak kosong dan berhingga. Maka H subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a, b \in H berlaku ab\in H.

Bukti.

Misal H subgrup, maka jelas untuk setiap a, b \in H berlaku ab\in H. Sebaliknya misal diketahui untuk sebarang a, b\in H berlaku ab\in H. Ambil sebarang h\in H maka berlaku h, h^2, h^3,\cdots, h^n, \cdots\in H sehingga \{h, h^2, h^3,\cdots, h^n, \cdots \} \subseteq H. Karena H berhingga maka tidak semua elemen di H berbeda. Oleh karena itu terdapat r dan s dengan 0\leq r < s sedemikian sehingga h^r =h^s. Sehingga diperoleh e =h^{s-r} \in H. Sekarang, misal s-r\geq 1, diperoleh e =hh^{s-r-1} berakibat h^{-1} =h^{s-r-1} \in H. Ambil sebarang a,b \in H maka a,b^{-1}\in H dan berdasarkan hipotesis berlaku ab^{-1}\in H. Berdasarkan Teorema 1, maka H subgrup. \blacksquare

Contoh 4.

Diberikan grup \mathbb{Z}_{ 8 } terhadap operasi penjumlahan +_{ 12 }. Buktikan bahwa H =\{ [0], [2], [4], [6] \} merupakan subgrup \mathbb{Z}_{ 12 }.

Perhatikan tabel cayley berikut,

+_{ 12 }

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[0]

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[0]

[2]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[0]

[1]

[3]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[0]

[1]

[2]

[4]

[4]

[5]

[6]

[7]

[0]

[1]

[2]

[3]

[5]

[5]

[6]

[7]

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[6]

[6]

[7]

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[7]

[7]

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Jika dilihat pada tabel cayley, didapat bahwa [a][b]\in H untuk setiap [a],[b]\in H (lihat yang warna merah). Sehingga, berdasarkan Akibat 3, dapat disimpulkan bahwa H merupakan subgrup G. \square

 

Teorema 5.

Diberikan H \subseteq G, H subgrup dari grup G jika dan hanya jika

1.   H tertutup dibawah operasi biner pada G

2.   Elemen identitas di G juga merupakan identitas di H

3.   Untuk setiap a \in H maka berlaku a^{-1}\in H

Bukti.

Diketahui H subgrup G, maka jelas bahwa memenuhi kondisi 1, 2 dan 3. Sebaliknya jika diketahui H \subseteq G sedemikian sehingga kondisi 1, 2 dan 3 terpenuhi. Berdasarkan 2 maka jelas bahwa terdapat identitas di H sedemikian sehingga untuk setiap a \in H berlaku ae =a = ea. Berdasarkan 3 maka jelas untuk setiap a \in H maka terdapat a^{-1}\in H sedemikian sehingga aa^{-1} =e = a^{-1}a. Selanjutnya akan ditunjukkan sifat asosiatif. Ambil sebarang a, b, c\in H, karena H \subseteq G dan G grup maka berlaku (ab)c =a(bc). Jadi, H merupakan subgrup dari G. \blacksquare

3 comments on “Karakteristik Subgrup

  1. Ping-balik: Subgrup | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Gabungan, Irisan dan Perkalian Subgrup | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s