Karakteristik Subgrup

Pada tulisan sebelumnya tentang Subgrup, sudah dijelaskan mengenai definisi dan beberapa sifat serta contoh. Apakah untuk mengecek suatu subgrup atau bukan hanya melalui definisi ? Jawabannya TIDAK. Berikut diberikan beberapa karakteristik subgrup.

Teorema 1.

Diberikan $G$ grup dan $H \subseteq G$ yang tak kosong. Maka $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $ab^{-1} \in H$ .

Bukti.

Diketahui $H$ subgrup dari $G$ , ambil sebarang $a,b \in H$ . Karena $H$ subgrup maka terdapat $b^{-1} \in H$ . Berdasarkan sifat ketertutupan subgrup $H$ maka $ab^{-1} \in H$ . Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkan $H$ subgrup. Ekuivalen dengan menunjukkan terdapat identitas $e \in H$ dan untuk sebarang $a, b \in H$ memenuhi $ab\in H$ (sifat tertutup subgrup) serta memiliki invers yaitu $a^{-1}$ sedemikian hingga $aa^{-1}=e$ . Diketahui $H \neq \emptyset$ , $H \subseteq G$ dan $ab^{-1} \in H$ . Berdasarkan yang diketahui, pilih $a=b$ sedemikian sehingga $aa^{-1}=e \in H$ . Ambil sebarang $a,b \in H$ . Berdasarkan yang sudah dibuktikan diperoleh $e \in H$ . Sesuai dengan yang diketahui $b^{-1}=eb^{-1} \in H$ , akibatnya $ab=a(b^{-1})^{-1} \in H$ . Jadi sifat tertutup terpenuhi. Karena $e \in H$ berakibat $a^{-1}=ea^{-1} \in H$ . Jadi setiap $a \in H$ mempunyai invers di $H$ . Sifat asosiatif sudah diturunkan dari sifat grup $G$ . Jadi $H$ merupakan subgrup. $\blacksquare$

Contoh 2.

Diberikan $H$ subgrup $G$ dan misal $g \in G$ . Buktikan bahwa $gHg^{-1} =\{ ghg^{-1} ~|~ h \in H\}$ merupakan subgrup $G$ .

Ambil sebarang $g \in G$ . Perhatikan,

$e =geg^{-1} \in gHg^{-1}$ ,

berakibat $gHg^{-1} \neq\emptyset$ . Ambil sebarang $gh_1g^{-1},gh_2g^{-1} \in gHg^{-1}$ . Perhatikan,

$gh_1g^{-1} (gh_2g^{-1})^{-1} =gh_1g^{-1} (gh_2^{-1}g^{-1})$

$=gh_1(g^{-1}g)h_2^{-1}g^{-1}$

$=gh_1eh_2^{-1}g^{-1}$

$=g(h_1h_2^{-1})g^{-1}$

$\in~gHg^{-1}.$

Jadi, $gHg^{ -1 }$ subgrup $G$ . $\square$

Akibat 3.

Misal $G$ grup dan $H \subseteq G$ yang tak kosong dan berhingga. Maka $H$ subgrup dari $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $ab\in H$ .

Bukti.

Misal $H$ subgrup, maka jelas untuk setiap $a, b \in H$ berlaku $ab\in H$ . Sebaliknya misal diketahui untuk sebarang $a, b\in H$ berlaku $ab\in H$ . Ambil sebarang $h\in H$ maka berlaku $h, h^2, h^3,\cdots, h^n, \cdots\in H$ sehingga $\{h, h^2, h^3,\cdots, h^n, \cdots \} \subseteq H$ . Karena $H$ berhingga maka tidak semua elemen di $H$ berbeda. Oleh karena itu terdapat $r$ dan $s$ dengan $0\leq r < s$ sedemikian sehingga $h^r =h^s$ . Sehingga diperoleh $e =h^{s-r} \in H$ . Sekarang, misal $s-r\geq 1$ , diperoleh $e =hh^{s-r-1}$ berakibat $h^{-1} =h^{s-r-1} \in H$ . Ambil sebarang $a,b \in H$ maka $a,b^{-1}\in H$ dan berdasarkan hipotesis berlaku $ab^{-1}\in H$ . Berdasarkan Teorema 1, maka $H$ subgrup. $\blacksquare$

Contoh 4.

Diberikan grup $\mathbb{Z}_{ 8 }$ terhadap operasi penjumlahan $+_{ 12 }$ . Buktikan bahwa $H =\{ [0], [2], [4], [6] \}$ merupakan subgrup $\mathbb{Z}_{ 12 }$ .

Perhatikan tabel cayley berikut,

$+_{ 12 }$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]
[0]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]
[1]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[0]
[2]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[0]	[1]
[3]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	[0]	[1]	[2]
[4]	[4]	[5]	[6]	[7]	[0]	[1]	[2]	[3]
[5]	[5]	[6]	[7]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[6]	[6]	[7]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]
[7]	[7]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]

Jika dilihat pada tabel cayley, didapat bahwa $[a][b]\in H$ untuk setiap $[a],[b]\in H$ (lihat yang warna merah). Sehingga, berdasarkan Akibat 3, dapat disimpulkan bahwa $H$ merupakan subgrup $G$ . $\square$

Teorema 5.

Diberikan $H \subseteq G$ , $H$ subgrup dari grup $G$ jika dan hanya jika

1. $H$ tertutup dibawah operasi biner pada $G$

2. Elemen identitas di $G$ juga merupakan identitas di $H$

3. Untuk setiap $a \in H$ maka berlaku $a^{-1}\in H$

Bukti.

Diketahui $H$ subgrup $G$ , maka jelas bahwa memenuhi kondisi 1, 2 dan 3. Sebaliknya jika diketahui $H \subseteq G$ sedemikian sehingga kondisi 1, 2 dan 3 terpenuhi. Berdasarkan 2 maka jelas bahwa terdapat identitas di $H$ sedemikian sehingga untuk setiap $a \in H$ berlaku $ae =a = ea$ . Berdasarkan 3 maka jelas untuk setiap $a \in H$ maka terdapat $a^{-1}\in H$ sedemikian sehingga $aa^{-1} =e = a^{-1}a$ . Selanjutnya akan ditunjukkan sifat asosiatif. Ambil sebarang $a, b, c\in H$ , karena $H \subseteq G$ dan $G$ grup maka berlaku $(ab)c =a(bc)$ . Jadi, $H$ merupakan subgrup dari $G$ . $\blacksquare$

3 comments on “Karakteristik Subgrup”

Ping-balik: Subgrup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Gabungan, Irisan dan Perkalian Subgrup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Berliana FZ pada Pembahasan Matematika Ujian Na…
	Roy Mahendra pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Menulis Equation pada Blo…
	kang cahyo pada Menulis Equation pada Blo…
	Rezza pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Be a Better pada Aturan Sinus
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Sukai ini:

Terkait

3 comments on “Karakteristik Subgrup”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan