Sifat-Sifat Grup Siklik


Jika dipunyai grup siklik G dengan pembangun a maka a^{-1} juga pembangun dari G.

Dengan mengambil sebarang x \in G, berakibat x=a^n untuk suatu n \in \mathbb{Z}. Karena G grup, berakibat untuk setiap anggota di G, invers-nya juga ada di G, yaitu x^{-1} \in G. Dapat ditulis x^{-1} = (a^n)^{-1} = (a^{-1})^n. Dengan kata lain, G juga dibangun oleh a^{-1}.

Contoh 1.

Buktikan bahwa 1 dan -1 merupakan pembangun (generator) dari \mathbb{Z}.

Jelas bahwa \mathbb{Z} dibangun oleh 1. Karena untuk sebarang n \in \mathbb{Z}, n dapat dinyatakan sebagai penjumlahan 1 sebanyak n, yaitu n = 1+1+\ldots +1=1^n. Selanjutnya berdasarkan sifat di atas, dapat disimpulkan bahwa -1 juga membangun \mathbb{Z}. \square

Definisi 2.

Diberikan G grup dan a \in G. Didefinisikan order dari a sebagai banyaknya elemen \langle a \rangle yang dilambangkan dengan o(a) = |\langle a \rangle |. Jika \langle a \rangle tak hingga maka dikatakan a berorder tak hingga.

Sebagai contoh, pada grup \mathbb{Z} terhadap operasi jumlah, o(1) adalah tak hingga. Sedangkan pada grup \mathbb{Z}_4 terhadap operasi jumlah +_4, diperoleh pembangun yaitu 3

\{ 3, 3+3, 3+3+3, 3+3+3+3 \} = \{ 3, 2, 1, 0 \} = \mathbb{Z}_4.

Jadi, o(3) = 4.

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditunjukkan bahwa jika a \in G dan o(a)=m maka m merupakan bilangan bulat terkecil sedemikian hingga a^m = e.

Teorema 3.

Jika G grup siklik berhingga dengan pembangun \langle a \rangle, maka \langle a \rangle = \{ e,a,a^2,\ldots,a^{n-1} \}.

Teorema 4.

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif.

Bukti.

Misal G grup siklik dengan pembangun a. Ambil sebarang x,y \in G. Terdapat bilangan bulat m,n \in \mathbb{Z} sedemikian hingga x=a^m dan y=a^n. Diperoleh xy = a^m a^n = a^{m+n} = a^{n+m} = a^n a^m = yx. Jadi, G grup komutatif. \blacksquare

Teorema 5. Algoritma Pembagian

Jika m bilangan bulat positif maka untuk sebarang bilangan bulat n terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian hingga n = mq+r dengan 0 \leq r < m.

Teorema 6.

Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.

Bukti.

Misal G grup siklik dengan pembangun a yaitu G = \langle a \rangle dan H subgrup dari G.

Jika H=\{e\} maka H = \langle e \rangle. Jadi H siklik.

Jika \{e\} \neq H maka terdapat b \in H sehingga b \neq e. Karena b \in G berakibat b = a^m untuk suatu m \in \mathbb{Z} dan karena b \neq e, diperoleh m \neq 0. Karena H grup berakibat a^{-m}=b^{-1} \in H. Sehingga m atau -m merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu, H memuat paling tidak satu elemen pangkat positif, misal a^n \in H dengan n bilangan bulat positif terkecil. Akan ditunjukkan bahwa H = \langle a^n \rangle.

Karena a^n \in H, berakibat \langle a^n \rangle \subset H. Ambil sebarang h \in H, berakibat h = a^k untuk suatu k \in \mathbb{Z}. Berdasarkan Algoritma Pembagian, maka terdapat q,r \in \mathbb{Z} sedemikian hingga k=nq+r dengan 0 \leq r < n. Karena a^n,a^k \in H, diperoleh a^r = a^{k-nq} = a^k (a^n)^{-q} \in H. Jika r > 0, hal ini kontradiksi dengan keminimalan n. Oleh karena itu, haruslah r=0 sehingga a^k = (a^n)^q \in \langle a^n \rangle. Oleh karena itu, H \subset \langle a^n \rangle. Jadi, H siklik. \blacksquare

Contoh 7.

Misal diberikan grup \mathbb{Z}_{10} terhadap operasi penjumlahan. Jelas bahwa \mathbb{Z}_{10} grup siklik karena terdapat 1 dan 3 sebagai pembangun \mathbb{Z}_{10}.

Subgrup dari \mathbb{Z}_{10} adalah \{ 0,5 \}, \{ 0,2,4,6,8 \} dan \mathbb{Z}_{10}.

Subgrup \{ 0,5 \} merupakan subgrup siklik karena dibangun oleh 5. Kemudian subgrup \{ 0,2,4,6,8 \} juga siklik karena dapat dibangun oleh 2. Jadi, setiap subgrup dari grup siklik juga siklik. \square

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s