Sifat-Sifat Grup Siklik


Jika dipunyai grup siklik G dengan pembangun a maka a^{-1} juga pembangun dari G.

Dengan mengambil sebarang x \in G, berakibat x=a^n untuk suatu n \in \mathbb{Z}. Karena G grup, berakibat untuk setiap anggota di G, invers-nya juga ada di G, yaitu x^{-1} \in G. Dapat ditulis x^{-1} = (a^n)^{-1} = (a^{-1})^n. Dengan kata lain, G juga dibangun oleh a^{-1}.

Contoh 1.

Buktikan bahwa 1 dan -1 merupakan pembangun (generator) dari \mathbb{Z}.

Jelas bahwa \mathbb{Z} dibangun oleh 1. Karena untuk sebarang n \in \mathbb{Z}, n dapat dinyatakan sebagai penjumlahan 1 sebanyak n, yaitu n = 1+1+\ldots +1=1^n. Selanjutnya berdasarkan sifat di atas, dapat disimpulkan bahwa -1 juga membangun \mathbb{Z}. \square

Definisi 2.

Diberikan G grup dan a \in G. Didefinisikan order dari a sebagai banyaknya elemen \langle a \rangle yang dilambangkan dengan o(a) = |\langle a \rangle |. Jika \langle a \rangle tak hingga maka dikatakan a berorder tak hingga.

Sebagai contoh, pada grup \mathbb{Z} terhadap operasi jumlah, o(1) adalah tak hingga. Sedangkan pada grup \mathbb{Z}_4 terhadap operasi jumlah +_4, diperoleh pembangun yaitu 3

\{ 3, 3+3, 3+3+3, 3+3+3+3 \} = \{ 3, 2, 1, 0 \} = \mathbb{Z}_4.

Jadi, o(3) = 4.

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditunjukkan bahwa jika a \in G dan o(a)=m maka m merupakan bilangan bulat terkecil sedemikian hingga a^m = e.

Teorema 3.

Jika G grup siklik berhingga dengan pembangun \langle a \rangle, maka \langle a \rangle = \{ e,a,a^2,\ldots,a^{n-1} \}.

Teorema 4.

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif.

Bukti.

Misal G grup siklik dengan pembangun a. Ambil sebarang x,y \in G. Terdapat bilangan bulat m,n \in \mathbb{Z} sedemikian hingga x=a^m dan y=a^n. Diperoleh xy = a^m a^n = a^{m+n} = a^{n+m} = a^n a^m = yx. Jadi, G grup komutatif. \blacksquare

Teorema 5. Algoritma Pembagian

Jika m bilangan bulat positif maka untuk sebarang bilangan bulat n terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian hingga n = mq+r dengan 0 \leq r < m.

Teorema 6.

Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik.

Bukti.

Misal G grup siklik dengan pembangun a yaitu G = \langle a \rangle dan H subgrup dari G.

Jika H=\{e\} maka H = \langle e \rangle. Jadi H siklik.

Jika \{e\} \neq H maka terdapat b \in H sehingga b \neq e. Karena b \in G berakibat b = a^m untuk suatu m \in \mathbb{Z} dan karena b \neq e, diperoleh m \neq 0. Karena H grup berakibat a^{-m}=b^{-1} \in H. Sehingga m atau -m merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu, H memuat paling tidak satu elemen pangkat positif, misal a^n \in H dengan n bilangan bulat positif terkecil. Akan ditunjukkan bahwa H = \langle a^n \rangle.

Karena a^n \in H, berakibat \langle a^n \rangle \subset H. Ambil sebarang h \in H, berakibat h = a^k untuk suatu k \in \mathbb{Z}. Berdasarkan Algoritma Pembagian, maka terdapat q,r \in \mathbb{Z} sedemikian hingga k=nq+r dengan 0 \leq r < n. Karena a^n,a^k \in H, diperoleh a^r = a^{k-nq} = a^k (a^n)^{-q} \in H. Jika r > 0, hal ini kontradiksi dengan keminimalan n. Oleh karena itu, haruslah r=0 sehingga a^k = (a^n)^q \in \langle a^n \rangle. Oleh karena itu, H \subset \langle a^n \rangle. Jadi, H siklik. \blacksquare

Contoh 7.

Misal diberikan grup \mathbb{Z}_{10} terhadap operasi penjumlahan. Jelas bahwa \mathbb{Z}_{10} grup siklik karena terdapat 1 dan 3 sebagai pembangun \mathbb{Z}_{10}.

Subgrup dari \mathbb{Z}_{10} adalah \{ 0,5 \}, \{ 0,2,4,6,8 \} dan \mathbb{Z}_{10}.

Subgrup \{ 0,5 \} merupakan subgrup siklik karena dibangun oleh 5. Kemudian subgrup \{ 0,2,4,6,8 \} juga siklik karena dapat dibangun oleh 2. Jadi, setiap subgrup dari grup siklik juga siklik. \square

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s