Teorema Lagrange


Sebelum memasuki Teorema Lagrange, berikut diberikan beberapa sifat dari koset kiri dan kanan.

Teorema 1.

Diberikan G grup, H subgrup G dan a,b \in G. Maka,

aH=H jika dan hanya jika a \in H

aH=bH jika dan hanya jika b^{-1}a \in H

Ha=Hb jik daan hanya jika ab^{-1} \in H

Bukti.

1.   Ambil sebarang a \in G. Misal aH=H. Karena a=ae \in aH dan aH=H, berakibat a \in H. Sebaliknya, misalkan a\in H. Ambil sebarang x \in aH, artinya x=ah untuk suatu h \in H. Karena a,h \in H, diperoleh x \in H. Jadi, aH \subseteq H. Ambil sebarang h \in H. Karena a \in H, berakibat a^{-1} \in H. Sehingga diperoleh a^{-1}h \in H. Dapat ditulis h_1 = a^{-1}h untuk suatu h_1 \in H. Perhatikan,

h = eh = (aa^{-1})h = a(a^{-1}h) = ah_1 \in aH

Jadi, H \subseteq aH. Oleh karena itu, H=aH.

2.  Misal aH=bH. Karena a \in aH dan aH=bH, berakibat a \in bH, yaitu a=bh_1 untuk suatu h_1 \in H. Sehingga diperoleh b^{-1}a=b^{-1}bh = h \in H.

Sebaliknya, diketahui b^{-1}a \in H artinya terdpat h_2 \in H sedemikian hingga b^{-1}a = h_2 yaitu a = bh_2. Ambil sebarang ah \in aH, maka ah = (bh_2)h = b(h_2h) \in bH. Jadi, aH \subseteq bH. Perhatikan b^{-1}a=h_2, berakibat ah_2^{-1}=b. Ambil bh \in bH, maka bh = (ah_2^{-1})h=a(h_2^{-1}h) \in aH. Jadi, bH \subseteq aH. Oleh karena itu, aH=bH.

3.   Dengan cara yang sama pada bukti no.2. \blacksquare

Teorema 2.

Diberikan G grup dan H subgrup G. Untuk setiap a,b \in G berlaku aH=bH atau aH \cap bH = \emptyset.

Bukti.

Ambil sebarang a,b \in G. Misal aH \cap bH \neq \emptyset. Akan ditunjukkan bahwa aH=bH atau dengan kata lain, akan ditunjukkan b^{-1}a \in H. Karena aH \cap bH \neq \emptyset, artinya terdapat c \in aH \cap bH yaitu c \in aH dan c \in bH. Sehingga diperoleh c=ah_1 dan c=bh_2 untuk suatu h_1,h_2 \in H. Berakibat ah_1=bh_2, dengan kata lain b^{-1}a = h_2h_1^{-1}. Oleh karena itu, b^{-1}a \in H. Jadi, aH=bH. \blacksquare

Teorema 3.

Diberikan G grup dan H subgrup G. Maka setiap elemen di H berkorespondensi satu-satu dengan elemen koset kiri (kanan) dari H.

Bukti.

Untuk menunjukkan korespondensi satu-satu, dapat ditunjukkan dengan terdapat fungsi bijektif dari H ke koset kiri. Ambil sebarang a \in G dan aH koset kiri. Didefinisikan f : H \rightarrow aH dengan f(h)=ah untuk setiap h \in H. Ambil sebarang h_1, h_2 \in H dengan h_1=h_2, maka ah_1=ah_2 yaitu f(h_1)=f(h_2). Jadi, f well defined. Selanjutnya, misal f(h_1)=f(h_2), berakibat ah_1=ah_2. Karena a \in G, diperoleh a^{-1}ah_1 = a^{-1}ah_2 atau h_1=h_2. Jadi f fungsi satu-satu. Selanjutnya akan ditunjukkan f fungsi pada. Ambil sebarang y \in aH, maka y=ah' untuk suatu h' \in H. Pilih x=h'. Diperoleh f(x)=f(h')=ah'=y. Jadi, f fungsi pada. Oleh karena itu, f fungsi bijektif. \blacksquare

Berdasarkan teorema di atas, dapat disimpulkan bahwa banyak elemen subgrup dari suatu grup sama dengan banyak elemen koset kiri dan koset kanan dari subgrup tersebut. Begitu juga dengan banyak elemen koset kanan sama dengan banyak elemen koset kiri terhadap subgrup yang sama.

Akibat 4.

Diberikan G grup dan H subgrup G. Maka untuk setiap a \in G, berlaku |H|=|aH|=|Ha|.

Contoh 5.

Diberikan grup komutatif \langle \mathbb{Z}_6,+ \rangle dan H = \{0,2,4 \} subgrup \mathbb{Z}_6. Tentukan koset kiri dan kanan. Perhatikan,

0+H = \{0,2,4\} = H

1+H = \{1,3,5\}

2+H = \{0,2,4\} = H

3+H = \{1,3,5\} = 1+H

Jadi, koset kiri dari H adalah  0+H = \{0,2,4\} dan 1+H = \{ 1,3,5 \}. Karena grup \mathbb{Z}_6 merupakan grup komutatif, berakibat koset kiri = koset kanan. Apabila diperhatikan jumlah anggota dari subgrup dan koset, dapat disimpulkan bahwa |H|=|aH|=|Ha|. \square

Teorema 6. (Teorema Lagrange)

Diberikan grup berhingga G dan H subgrup G. Maka order dari H membagi habis order dari G.

[G] = [G:H][H]

Bukti.

Diketahui G grup berhingga, misal |G|=m. Berakibat koset kiri dari H berhingga juga, misal |H|=n. Misal \{a_1H, a_2H, \ldots, a_rH \} merupakan himpunan semua koset kiri yang berbeda di H. Sehingga berakibat G = \bigcup_{i=1}^r a_iH dan a_iH \cap a_jH = \emptyset untuk setiap i \neq j dan 1 \leq i,j \leq r. Sehingga diperoleh |a_1H| + |a_2H| + \ldots + |a_rH| = n. Berdasarkan teorema di atas, diperoleh

|a_1H| = |a_2H| = \ldots = |a_rH|

Perhatikan,

|a_1H| + |a_2H| + \ldots + |a_rH| = n

\Leftrightarrow m+m+\ldots+m=n

\Leftrightarrow rm=n.

Jadi, m | n. Dengan kata lain, order subgrup membagi habis order grup. \blacksquare

Teorema 7.

Diberikan G grup berhingga dengan order n. Maka order setiap elemen di G membagi n dan a^n = e.

Bukti.

Ambil sebarang a \in G. Misal o(a)=k dan H = \langle a \rangle. Karena H grup siklik, berakibat |H|=|\langle a \rangle | = o(a) = k. Karena order G dan H berhingga, erdasarkan Teorema Langrange, berakibat k membagi habis n. Sehingga terdapat q \in \mathbb{Z} sedemikian hingga n = kq. Oleh karena itu a^n = a^kq = (a^k)^q = e^q = e. \blacksquare

Contoh 8.

Diberikan grup \mathbb{Z}_{20} terhadap operasi penjumlahan modul 20. Pilih [6] \in \mathbb{Z}_{20}. Diperhatikan bahwa |\mathbb{Z}_{20}|=20 serta 20 habis dibagi oleh 1, 2, 4, 5, 10, 20. Perhatikan

1[6] = [6] \neq [0],

2[6] = [12] \neq [0],

4[6] = [24] = [4] \neq [0],

5[6] = [30] = [10] \neq [0],

10[6] = [60] = [0],

20[6] = [120] = [0].

Jadi, o([6]) = 10. Oleh karena itu, dapat ditemukan order elemen sedemikian hingga membagi habis order dari grup hingga. \square

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s