Feb 7 2016

Subgrup Normal


Diberikan S_3 = \left\{ \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5 \right\} dan subgrup M = \{ \alpha_0, \alpha_1 \} dan N = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}, dengan

\alpha_0 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix}, \alpha_4 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}, dan \alpha_5 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix}

Koset Kiri dari M

\alpha_0 M = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_0 \alpha_1 \} = \{ \alpha_0, \alpha_1 \}

\alpha_1 M = \{ \alpha_1 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_0 \}

\alpha_2 M = \{ \alpha_2 \alpha_0, \alpha_2 \alpha_1 \} = \{ \alpha_2, \alpha_4 \}

\alpha_3 M = \{ \alpha_3 \alpha_0, \alpha_3 \alpha_1 \} = \{ \alpha_3, \alpha_5 \}

\alpha_4 M = \{ \alpha_4 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_1 \} = \{ \alpha_4, \alpha_2 \}

\alpha_5 M = \{ \alpha_5 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_1 \} = \{ \alpha_5, \alpha_3 \}

Koset Kanan dari M

M \alpha_0 = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_0 \} = \{ \alpha_0, \alpha_1 \}

M \alpha_1 = \{ \alpha_0 \alpha_1, \alpha_1 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_0 \}

M \alpha_2 = \{ \alpha_0 \alpha_2, \alpha_1 \alpha_2 \} = \{ \alpha_2, \alpha_5 \}

M \alpha_3 = \{ \alpha_0 \alpha_3, \alpha_1 \alpha_3 \} = \{ \alpha_3, \alpha_4 \}

M \alpha_4 = \{ \alpha_0 \alpha_4, \alpha_1 \alpha_4 \} = \{ \alpha_4, \alpha_3 \}

M \alpha_5 = \{ \alpha_0 \alpha_5, \alpha_1 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_2 \}

Karena terdapat \alpha_2 M \neq M \alpha_2. Jadi, koset kiri tidak sama dengan koset kanan.

Perhatikan,

Koset Kiri dari N

\alpha_0 N = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_0 \alpha_4, \alpha_0 \alpha_5 \} = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}

\alpha_1 N = \{ \alpha_1 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_4, \alpha_1 \alpha_5 \} = \{ \alpha_1, \alpha_3, \alpha_2 \}

\alpha_2 N = \{ \alpha_2 \alpha_0, \alpha_2 \alpha_4, \alpha_2 \alpha_5 \} = \{ \alpha_2, \alpha_1, \alpha_3 \}

\alpha_3 N = \{ \alpha_3 \alpha_0, \alpha_3 \alpha_4, \alpha_3 \alpha_5 \} = \{ \alpha_3, \alpha_2, \alpha_1 \}

\alpha_4 N = \{ \alpha_4 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_4, \alpha_4 \alpha_5 \} = \{ \alpha_4, \alpha_5, \alpha_1 \}

\alpha_5 N = \{ \alpha_5 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_4, \alpha_5 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_1, \alpha_4 \}

Koset Kanan dari N

N \alpha_0 = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_0 \} = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}

N \alpha_1 = \{ \alpha_0 \alpha_1, \alpha_4 \alpha_1, \alpha_5 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \}

N \alpha_2 = \{ \alpha_0 \alpha_2, \alpha_4 \alpha_2, \alpha_5 \alpha_2 \} = \{ \alpha_2, \alpha_3, \alpha_1 \}

N \alpha_3 = \{ \alpha_0 \alpha_3, \alpha_4 \alpha_3, \alpha_5 \alpha_3 \} = \{ \alpha_3, \alpha_1 , \alpha_2 \}

N \alpha_4 = \{ \alpha_0 \alpha_4, \alpha_4 \alpha_4, \alpha_5 \alpha_4 \} = \{ \alpha_4, \alpha_5, \alpha_1 \}

N \alpha_5 = \{ \alpha_0 \alpha_5, \alpha_4 \alpha_5, \alpha_5 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_1, \alpha_4 \}

Sehingga diperoleh, koset kiri = koset kanan untuk subrup N. Hal ini memotivasi pendefinisian suatu Subgrup Normal yaitu subgrup yang memiliki sifat koset kiri sama dengan koset kanan. Berikut diberikan definisi

Definisi 1.

Diberikan grup G dan H subgrup G. Maka H disebut subgrup normal dari G jika setiap koset kiri sama dengan koset kanan dari H di G, yaitu untuk setiap g \in G berlaku gH = Hg.

Pada banyak literatur, jika H subgrup normal di G, dinotasikan H \lhd G. Berikut diberikan karakterisasi subgrup normal.

Teorema 2.

Diberikan G grup dan H subgrup G. Maka H subgrup normal dari G jika dan hanya jika (\forall g \in G)(\forall a \in H) gag^{-1} \in H.

Bukti.

Akan dibuktikan gag^{-1} \in H. Ambil sebarang g \in G dan a \in H. Diketahui H subgrup normal dari G, yaitu gH=Hg, maka gH \subseteq Hg. Oleh karena itu, ga \in Hg, yaitu ga=bg untuk suatu b \in H. Karena g \in G, maka terdapat g^{-1} \in G. Dengan mengoperasikan g^{-1}, diperoleh gag^{-1} = bgg^{-1} = b \in H. Jadi, gag^{-1} \in H.

Diketahui (\forall g \in G)(\forall a \in H) gag^{-1} \in H. Ambil sebarang g \in G. Akan dibuktikan gH=Hg, yaitu gH \subseteq Hg dan Hg \subseteq gH. Diambil sebarang b \in gH, artinya b = ga_0 untuk suatu a_0 \in H. Perhatikan

b = ga_0 = ga_0e = (ga_0g^{-1})g

Karena ga_0g^{-1} \in H, berakibat (ga_0g^{-1})g \in Hg. Jadi, b \in Hg. Oleh karena itu, gH \subseteq Hg. Selanjutnya akan ditunjukkan Hg \subseteq gH. Ambil sebarang b' \in Hg, artinya b'=a_1g untuk suatu a_1 \in H. Perhatikan

b' = a_1g = ea_1g = g(g^{-1}a_1g) = g(g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1})

Karena g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1} \in H, berakibat g(g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1}) \in gH. Jadi, b' \in gH. Oleh karena itu, Hg \subseteq gH. Jadi, gH = Hg. \blacksquare

6 comments on “Subgrup Normal”

  1. Ping-balik: Sifat-Sifat Subgrup Normal | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Grup Faktor | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful

  4. Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

  5. Ping-balik: Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s