Feb 7 2016

Subgrup Normal

Diberikan $S_3 = \left\{ \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5 \right\}$ dan subgrup $M = \{ \alpha_0, \alpha_1 \}$ dan $N = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}$ , dengan

$\alpha_0 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}$ , $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix}$ , $\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix}$ , $\alpha_3 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix}$ , $\alpha_4 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}$ , dan $\alpha_5 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix}$

Koset Kiri dari $M$

$\alpha_0 M = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_0 \alpha_1 \} = \{ \alpha_0, \alpha_1 \}$

$\alpha_1 M = \{ \alpha_1 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_0 \}$

$\alpha_2 M = \{ \alpha_2 \alpha_0, \alpha_2 \alpha_1 \} = \{ \alpha_2, \alpha_4 \}$

$\alpha_3 M = \{ \alpha_3 \alpha_0, \alpha_3 \alpha_1 \} = \{ \alpha_3, \alpha_5 \}$

$\alpha_4 M = \{ \alpha_4 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_1 \} = \{ \alpha_4, \alpha_2 \}$

$\alpha_5 M = \{ \alpha_5 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_1 \} = \{ \alpha_5, \alpha_3 \}$

Koset Kanan dari $M$

$M \alpha_0 = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_0 \} = \{ \alpha_0, \alpha_1 \}$

$M \alpha_1 = \{ \alpha_0 \alpha_1, \alpha_1 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_0 \}$

$M \alpha_2 = \{ \alpha_0 \alpha_2, \alpha_1 \alpha_2 \} = \{ \alpha_2, \alpha_5 \}$

$M \alpha_3 = \{ \alpha_0 \alpha_3, \alpha_1 \alpha_3 \} = \{ \alpha_3, \alpha_4 \}$

$M \alpha_4 = \{ \alpha_0 \alpha_4, \alpha_1 \alpha_4 \} = \{ \alpha_4, \alpha_3 \}$

$M \alpha_5 = \{ \alpha_0 \alpha_5, \alpha_1 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_2 \}$

Karena terdapat $\alpha_2 M \neq M \alpha_2$ . Jadi, koset kiri tidak sama dengan koset kanan.

Perhatikan,

Koset Kiri dari $N$

$\alpha_0 N = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_0 \alpha_4, \alpha_0 \alpha_5 \} = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}$

$\alpha_1 N = \{ \alpha_1 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_4, \alpha_1 \alpha_5 \} = \{ \alpha_1, \alpha_3, \alpha_2 \}$

$\alpha_2 N = \{ \alpha_2 \alpha_0, \alpha_2 \alpha_4, \alpha_2 \alpha_5 \} = \{ \alpha_2, \alpha_1, \alpha_3 \}$

$\alpha_3 N = \{ \alpha_3 \alpha_0, \alpha_3 \alpha_4, \alpha_3 \alpha_5 \} = \{ \alpha_3, \alpha_2, \alpha_1 \}$

$\alpha_4 N = \{ \alpha_4 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_4, \alpha_4 \alpha_5 \} = \{ \alpha_4, \alpha_5, \alpha_1 \}$

$\alpha_5 N = \{ \alpha_5 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_4, \alpha_5 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_1, \alpha_4 \}$

Koset Kanan dari $N$

$N \alpha_0 = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_0 \} = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}$

$N \alpha_1 = \{ \alpha_0 \alpha_1, \alpha_4 \alpha_1, \alpha_5 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \}$

$N \alpha_2 = \{ \alpha_0 \alpha_2, \alpha_4 \alpha_2, \alpha_5 \alpha_2 \} = \{ \alpha_2, \alpha_3, \alpha_1 \}$

$N \alpha_3 = \{ \alpha_0 \alpha_3, \alpha_4 \alpha_3, \alpha_5 \alpha_3 \} = \{ \alpha_3, \alpha_1 , \alpha_2 \}$

$N \alpha_4 = \{ \alpha_0 \alpha_4, \alpha_4 \alpha_4, \alpha_5 \alpha_4 \} = \{ \alpha_4, \alpha_5, \alpha_1 \}$

$N \alpha_5 = \{ \alpha_0 \alpha_5, \alpha_4 \alpha_5, \alpha_5 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_1, \alpha_4 \}$

Sehingga diperoleh, koset kiri = koset kanan untuk subrup $N$ . Hal ini memotivasi pendefinisian suatu Subgrup Normal yaitu subgrup yang memiliki sifat koset kiri sama dengan koset kanan. Berikut diberikan definisi

Definisi 1.

Diberikan grup $G$ dan $H$ subgrup $G$ . Maka $H$ disebut subgrup normal dari $G$ jika setiap koset kiri sama dengan koset kanan dari $H$ di $G$ , yaitu untuk setiap $g \in G$ berlaku $gH = Hg$ .

Pada banyak literatur, jika $H$ subgrup normal di $G$ , dinotasikan $H \lhd G$ . Berikut diberikan karakterisasi subgrup normal.

Teorema 2.

Diberikan $G$ grup dan $H$ subgrup $G$ . Maka $H$ subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $(\forall g \in G)(\forall a \in H) gag^{-1} \in H$ .

Bukti.

Akan dibuktikan $gag^{-1} \in H$ . Ambil sebarang $g \in G$ dan $a \in H$ . Diketahui $H$ subgrup normal dari $G$ , yaitu $gH=Hg$ , maka $gH \subseteq Hg$ . Oleh karena itu, $ga \in Hg$ , yaitu $ga=bg$ untuk suatu $b \in H$ . Karena $g \in G$ , maka terdapat $g^{-1} \in G$ . Dengan mengoperasikan $g^{-1}$ , diperoleh $gag^{-1} = bgg^{-1} = b \in H$ . Jadi, $gag^{-1} \in H$ .

Diketahui $(\forall g \in G)(\forall a \in H) gag^{-1} \in H$ . Ambil sebarang $g \in G$ . Akan dibuktikan $gH=Hg$ , yaitu $gH \subseteq Hg$ dan $Hg \subseteq gH$ . Diambil sebarang $b \in gH$ , artinya $b = ga_0$ untuk suatu $a_0 \in H$ . Perhatikan

$b = ga_0 = ga_0e = (ga_0g^{-1})g$

Karena $ga_0g^{-1} \in H$ , berakibat $(ga_0g^{-1})g \in Hg$ . Jadi, $b \in Hg$ . Oleh karena itu, $gH \subseteq Hg$ . Selanjutnya akan ditunjukkan $Hg \subseteq gH$ . Ambil sebarang $b' \in Hg$ , artinya $b'=a_1g$ untuk suatu $a_1 \in H$ . Perhatikan

$b' = a_1g = ea_1g = g(g^{-1}a_1g) = g(g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1})$

Karena $g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1} \in H$ , berakibat $g(g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1}) \in gH$ . Jadi, $b' \in gH$ . Oleh karena itu, $Hg \subseteq gH$ . Jadi, $gH = Hg$ . $\blacksquare$

5 comments on “Subgrup Normal”

Ping-balik: Sifat-Sifat Subgrup Normal | Math IS Beautiful
Ping-balik: Grup Faktor | Math IS Beautiful
Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful
Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Ming Ari pada Teknik Integral : Integral Fun…
	Taufiqur pada Koleksi Buku
	Subhan pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Domain Dan Kodomain pada Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Kshaarii12 pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Naysilla Ramadhani pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Fauzan Alfikri pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Dwi Lestari pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Amaludin pada Soal dan Pembahasan Tes Kemamp…
	Shasa pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

5 comments on “Subgrup Normal”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan