Diberikan dan subgrup
dan
, dengan
,
,
,
,
, dan
Koset Kiri dari
Koset Kanan dari
Karena terdapat . Jadi, koset kiri tidak sama dengan koset kanan.
Perhatikan,
Koset Kiri dari
Koset Kanan dari
Sehingga diperoleh, koset kiri = koset kanan untuk subrup . Hal ini memotivasi pendefinisian suatu Subgrup Normal yaitu subgrup yang memiliki sifat koset kiri sama dengan koset kanan. Berikut diberikan definisi
Definisi 1.
Diberikan grup dan
subgrup
. Maka
disebut subgrup normal dari
jika setiap koset kiri sama dengan koset kanan dari
di
, yaitu untuk setiap
berlaku
.
Pada banyak literatur, jika subgrup normal di
, dinotasikan
. Berikut diberikan karakterisasi subgrup normal.
Teorema 2.
Diberikan grup dan
subgrup
. Maka
subgrup normal dari
jika dan hanya jika
.
Bukti.
Akan dibuktikan . Ambil sebarang
dan
. Diketahui
subgrup normal dari
, yaitu
, maka
. Oleh karena itu,
, yaitu
untuk suatu
. Karena
, maka terdapat
. Dengan mengoperasikan
, diperoleh
. Jadi,
.
Diketahui . Ambil sebarang
. Akan dibuktikan
, yaitu
dan
. Diambil sebarang
, artinya
untuk suatu
. Perhatikan
Karena , berakibat
. Jadi,
. Oleh karena itu,
. Selanjutnya akan ditunjukkan
. Ambil sebarang
, artinya
untuk suatu
. Perhatikan
Karena , berakibat
. Jadi,
. Oleh karena itu,
. Jadi,
.
Ping-balik: Sifat-Sifat Subgrup Normal | Math IS Beautiful
Ping-balik: Grup Faktor | Math IS Beautiful
Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful
Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful
Terima Kasih, penjelasannya mudah dipahami.
Sangat membantu sekali pembahasan definisi subgrub ini.