Subgrup Normal

Diberikan $S_3 = \left\{ \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5 \right\}$ dan subgrup $M = \{ \alpha_0, \alpha_1 \}$ dan $N = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}$ , dengan

$\alpha_0 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}$ , $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&3 \end{pmatrix}$ , $\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix}$ , $\alpha_3 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix}$ , $\alpha_4 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}$ , dan $\alpha_5 = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix}$

Koset Kiri dari $M$

$\alpha_0 M = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_0 \alpha_1 \} = \{ \alpha_0, \alpha_1 \}$

$\alpha_1 M = \{ \alpha_1 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_0 \}$

$\alpha_2 M = \{ \alpha_2 \alpha_0, \alpha_2 \alpha_1 \} = \{ \alpha_2, \alpha_4 \}$

$\alpha_3 M = \{ \alpha_3 \alpha_0, \alpha_3 \alpha_1 \} = \{ \alpha_3, \alpha_5 \}$

$\alpha_4 M = \{ \alpha_4 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_1 \} = \{ \alpha_4, \alpha_2 \}$

$\alpha_5 M = \{ \alpha_5 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_1 \} = \{ \alpha_5, \alpha_3 \}$

Koset Kanan dari $M$

$M \alpha_0 = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_0 \} = \{ \alpha_0, \alpha_1 \}$

$M \alpha_1 = \{ \alpha_0 \alpha_1, \alpha_1 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_0 \}$

$M \alpha_2 = \{ \alpha_0 \alpha_2, \alpha_1 \alpha_2 \} = \{ \alpha_2, \alpha_5 \}$

$M \alpha_3 = \{ \alpha_0 \alpha_3, \alpha_1 \alpha_3 \} = \{ \alpha_3, \alpha_4 \}$

$M \alpha_4 = \{ \alpha_0 \alpha_4, \alpha_1 \alpha_4 \} = \{ \alpha_4, \alpha_3 \}$

$M \alpha_5 = \{ \alpha_0 \alpha_5, \alpha_1 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_2 \}$

Karena terdapat $\alpha_2 M \neq M \alpha_2$ . Jadi, koset kiri tidak sama dengan koset kanan.

Perhatikan,

Koset Kiri dari $N$

$\alpha_0 N = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_0 \alpha_4, \alpha_0 \alpha_5 \} = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}$

$\alpha_1 N = \{ \alpha_1 \alpha_0, \alpha_1 \alpha_4, \alpha_1 \alpha_5 \} = \{ \alpha_1, \alpha_3, \alpha_2 \}$

$\alpha_2 N = \{ \alpha_2 \alpha_0, \alpha_2 \alpha_4, \alpha_2 \alpha_5 \} = \{ \alpha_2, \alpha_1, \alpha_3 \}$

$\alpha_3 N = \{ \alpha_3 \alpha_0, \alpha_3 \alpha_4, \alpha_3 \alpha_5 \} = \{ \alpha_3, \alpha_2, \alpha_1 \}$

$\alpha_4 N = \{ \alpha_4 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_4, \alpha_4 \alpha_5 \} = \{ \alpha_4, \alpha_5, \alpha_1 \}$

$\alpha_5 N = \{ \alpha_5 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_4, \alpha_5 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_1, \alpha_4 \}$

Koset Kanan dari $N$

$N \alpha_0 = \{ \alpha_0 \alpha_0, \alpha_4 \alpha_0, \alpha_5 \alpha_0 \} = \{ \alpha_0, \alpha_4, \alpha_5 \}$

$N \alpha_1 = \{ \alpha_0 \alpha_1, \alpha_4 \alpha_1, \alpha_5 \alpha_1 \} = \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \}$

$N \alpha_2 = \{ \alpha_0 \alpha_2, \alpha_4 \alpha_2, \alpha_5 \alpha_2 \} = \{ \alpha_2, \alpha_3, \alpha_1 \}$

$N \alpha_3 = \{ \alpha_0 \alpha_3, \alpha_4 \alpha_3, \alpha_5 \alpha_3 \} = \{ \alpha_3, \alpha_1 , \alpha_2 \}$

$N \alpha_4 = \{ \alpha_0 \alpha_4, \alpha_4 \alpha_4, \alpha_5 \alpha_4 \} = \{ \alpha_4, \alpha_5, \alpha_1 \}$

$N \alpha_5 = \{ \alpha_0 \alpha_5, \alpha_4 \alpha_5, \alpha_5 \alpha_5 \} = \{ \alpha_5, \alpha_1, \alpha_4 \}$

Sehingga diperoleh, koset kiri = koset kanan untuk subrup $N$ . Hal ini memotivasi pendefinisian suatu Subgrup Normal yaitu subgrup yang memiliki sifat koset kiri sama dengan koset kanan. Berikut diberikan definisi

Definisi 1.

Diberikan grup $G$ dan $H$ subgrup $G$ . Maka $H$ disebut subgrup normal dari $G$ jika setiap koset kiri sama dengan koset kanan dari $H$ di $G$ , yaitu untuk setiap $g \in G$ berlaku $gH = Hg$ .

Pada banyak literatur, jika $H$ subgrup normal di $G$ , dinotasikan $H \lhd G$ . Berikut diberikan karakterisasi subgrup normal.

Teorema 2.

Diberikan $G$ grup dan $H$ subgrup $G$ . Maka $H$ subgrup normal dari $G$ jika dan hanya jika $(\forall g \in G)(\forall a \in H) gag^{-1} \in H$ .

Bukti.

Akan dibuktikan $gag^{-1} \in H$ . Ambil sebarang $g \in G$ dan $a \in H$ . Diketahui $H$ subgrup normal dari $G$ , yaitu $gH=Hg$ , maka $gH \subseteq Hg$ . Oleh karena itu, $ga \in Hg$ , yaitu $ga=bg$ untuk suatu $b \in H$ . Karena $g \in G$ , maka terdapat $g^{-1} \in G$ . Dengan mengoperasikan $g^{-1}$ , diperoleh $gag^{-1} = bgg^{-1} = b \in H$ . Jadi, $gag^{-1} \in H$ .

Diketahui $(\forall g \in G)(\forall a \in H) gag^{-1} \in H$ . Ambil sebarang $g \in G$ . Akan dibuktikan $gH=Hg$ , yaitu $gH \subseteq Hg$ dan $Hg \subseteq gH$ . Diambil sebarang $b \in gH$ , artinya $b = ga_0$ untuk suatu $a_0 \in H$ . Perhatikan

$b = ga_0 = ga_0e = (ga_0g^{-1})g$

Karena $ga_0g^{-1} \in H$ , berakibat $(ga_0g^{-1})g \in Hg$ . Jadi, $b \in Hg$ . Oleh karena itu, $gH \subseteq Hg$ . Selanjutnya akan ditunjukkan $Hg \subseteq gH$ . Ambil sebarang $b' \in Hg$ , artinya $b'=a_1g$ untuk suatu $a_1 \in H$ . Perhatikan

$b' = a_1g = ea_1g = g(g^{-1}a_1g) = g(g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1})$

Karena $g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1} \in H$ , berakibat $g(g^{-1}a_1(g^{-1})^{-1}) \in gH$ . Jadi, $b' \in gH$ . Oleh karena itu, $Hg \subseteq gH$ . Jadi, $gH = Hg$ . $\blacksquare$

5 comments on “Subgrup Normal”

Ping-balik: Sifat-Sifat Subgrup Normal | Math IS Beautiful
Ping-balik: Grup Faktor | Math IS Beautiful
Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful
Ping-balik: Kernel dan Image Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Homomorfisma Grup | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	nenengwindi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Aleyn pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	Arif pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Justin pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…
	weina pada Pembahasan TPA Komparasi Sarin…
	ALFI HAFIFA CHANNEL pada Kumpulan Soal Test Matematika…
	masthuraaya9@gmail.c… pada Kumpulan Soal Test Matematika…
	tedjo pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Sukai ini:

Terkait

5 comments on “Subgrup Normal”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan