Sifat-Sifat Subgrup Normal


Setelah penjelasan Subgrup Normal pada tulisan sebelumnya, selanjutnya diberikan beberapa sifat pada subgrup normal.

Teorema 1.

Setiap subgrup dari grup komutatif merupakan subgrup normal.

Bukti.

Diketahui G grup komutatif dan H subgrup G. Ambil sebarang g \in G. Akan dibuktikan gH = Hg. Karena G grup komutatif, maka untuk sebarang h \in H \subseteq G berakibat gh=hg. Perhatikan

gH = \{ gh~|~h \in H \} = \{ hg~|~ h \in H \} = Hg.

Jadi, H subgrup normal dari G. \blacksquare

Dengan teorema di atas, apabila diberikan grup komutatif, maka pasti subgrupnya adalah normal. Selanjutnya diberikan karakteristik subgrup normal.

Teorema 2.

Diberikan H dan K subgrup normal dari G. Maka

  1.  H \cap K subgrup normal dari G
  2.  HK = KH subgrup normal dari G

Bukti.

a.   Diketahui H dan K subgrup normal. Akan dibuktikan H \cap K subgrup normal atau ekuivalen dengan menunjukkan gag^{-1} \in H \cap K untuk sebarang g \in G dan a \in H \cap K. Jelas bahwa H \cap K subgrup. Selanjutnya diambil sebarang g \in G dan a \in H \cap K. Artinya a \in H dan a \in K. Karena H dan K subgrup normal, berakibat gag^{-1} \in H dan gag^{-1} \in K. Sehingga gag^{-1} \in H \cap K. Jadi H \cap K subgrup normal di G.

b.   Pertama akan ditunjukkan bahwa HK = KH. Ambil sebarang hk \in HK dengan h \in H dan k \in K. Karena K subgrup normal dari G dan h \in H \subseteq G, maka hK = Kh. Oleh karena itu, hk \in hK = Kh. Karena Kh \subseteq KH, diperoleh hk \in KH. Jadi HK \subseteq KH. Selanjutnya diambil sebarang kh \in KH. Karena H subgrup normal, maka kH = Hk. Sehingga diperoleh kh \in kH = Hk. Karena Hk \subseteq HK, maka kh \in HK. Jadi, KH \subseteq HK. Selanjutnya karena H dan K subgrup, maka HK subgrup. Ambil sebarang g \in G dan m \in HK, artinya m =hk untuk suatu h \in H dan k \in K. Karena H dan K subgrup normal, diperoleh ghg^{-1} \in H dan gkg^{-1} \in K. Perhatikan

gmg^{-1} = gkhg^{-1}

= gkehg^{-1}

= (gkg^{-1})(ghg^{-1}) \in HK

Jadi, HK subgrup normal dari G. \blacksquare

Gabungan dari dua subgrup normal belum tentu merupakan subgrup normal. Sebagai contoh, misal diberikan grup \mathbb{Z}_6 terhadap operasi penjumlahan modul 6 serta H = \{0,3\} dan K=\{0,2,4\} subgrup dari \mathbb{Z}_6. Diperoleh H \cup K = \{0,2,3,4\}. Diperhatikan bahwa 2 +_ 3 = 5 \notin H \cup K. Oleh karena itu, H \cup K bukan subgrup G. Jadi, H \cup K bukan subgrup normal.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s