Persamaan Lingkaran


Sebelum memasuki persamaan lingkaran, terlebih dahulu akan dikenalkan konsep jarak dua titik. Misal diberikan titik dengan koordinat P(x_1,y_1) dan Q(x_2,y_2). Bagaimana menentukan jarak titik P dan Q ? Dalam hal ini akan digunakan bantuan Pythagoras yaitu dengan membuat titik bantuan yaitu titik koordinat R(x_2,y_1) sedemikian hingga apabila ketiga koordinat titik tersebut dihubungkan akan terbentuk segi tiga siku-siku yang siku-siku di R.

jarak-segi3    

Dengan memperhatikan gambar di atas dan memanfaatkan Pythagoras, diperoleh jarak PQ sama dengan akar dari PR kuadrat ditambah QR kuadrat, dengan PR=(x_2-x_1, y_1-y_1) dan QR = (x_2-x_2,y_2-y_1) yaitu

d(P,Q) = \sqrt{PR^2+QR^2}

= \sqrt{\left( \sqrt{(x_2-x_1)^2+0^2} \right)^2 + \left(\sqrt{0^2+(y_2-y_1)^2} \right)^2}

= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Selanjutnya misal diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari adalah 5 dengan titik pusat (3,6). Misal (x,y) adalah sebarang titik pada lingkaran.

pers-lingkaran

Berdasarkan konsep jarak dengan memandang (x_1,y_1)=(3,6) dan (x_2,y_2)=(x,y), diperoleh

\sqrt{(x-3)^2+(y-6)^2} = 5

Selanjutnya apabila dikuadratkan kedua ruas diperoleh

(x-3)^2+(y-6)^2 = 25

Berdasarkan ilustrasi di atas, apabila dipunyai sebarang lingkaran dengan jari-jari r dan pusat (x_1,y_1), maka didapat Persamaan Baku Lingkaran sebagai berikut

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2 = r^2

Contoh 1.

Carilah persamaan lingkaran yang berjari-jari 3 dan berpusat di (2,-3).

Dengan menggunakan persamaan baku lingkaran di atas, diperoleh

(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9

Apabila Persamaan Baku Lingkaran tersebut dijabarkan, diperoleh

(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r^2

x^2-2x_1x + x_1^2 + y^2-2y_1y + y_1^2 = r^2

x^2+ y^2-2x_1x-2y_1y + (x_1^2 + y_1^2-r^2) = 0

x^2 + y^2-2x_1x-2y_1y + C = 0

dengan C = x_1^2 + y_1^2-r^2

Selanjutnya, jika soal pada Contoh 1 dijabarkan, diperoleh

(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9

x^2-4x+4 + y^2+6y+9 = 9

x^2+y^2-4x+6y+22=0 \square

Contoh 2.

Tentukan pusat serta jari-jari dari persamaan lingkaran di bawah ini

x^2+y^2-2x+6y+6=0

Dalam menyelesaikan soal ini, persamaan di atas akan diubah menjadi bentuk Baku Persamaan Lingkaran. Perhatikan

x^2-2x+y^2+6y+6=0

Ubah ke dalam bentuk 2x_1x dan 2y_1y

x^2-2(x)+y^2+2(3y)+6

Ubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna

(x^2-2x+1-1)+(y^2+2(3y)+9-9)+6=0

(x-1)^2-1+(y+3)^2-9+6=0

(x-1)^2+(y+3)^2=4

Jadi, pusat lingkarannya adalah (1,-3) dan jari-jarinya adalah 2. \square

Contoh 3.

Tunjukkan bahwa dua lingkaran x^2+y^2-4x-2y-11=0 dan x^2+y^2+20x-12y+72=0 tidak berpotongan.

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama ubah persamaan lingkaran tersebut menjadi Persamaan Baku Lingkaran untuk mendapatkan jari-jari dan titik pusatnya. Perhatikan bahwa

x^2+y^2-4x-2y-11=0

x^2-4x+y^2-2y-11=0

x^2-2(2x)+y^2-2(y)-11=0

x^2-2(2x)+4-4+y^2-2(y)+1-1-11=0

(x-2)^2-4+(y-1)^2-1-11=0

(x-2)^2+(y-1)^2=16

Diperoleh titik pusat (2,1) dengan jari-jari 4.

x^2+y^2+20x-12y+72=0

(x+10)^2-100+(y-6)-36+72=0

(x+10)^2+(y-6)^2=64

Diperoleh titik pusat (-10,6) dengan jari-jari 8. Selanjutnya diukur jarak antar titik pusat, yaitu

\sqrt{(-10-2)^2+(6-1)^2} = \sqrt{144+25} = 13

Tetapi jumlah kedua jari-jari tersebut adalah 4 + 8 = 12. Jadi, kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan. \square

Iklan

2 comments on “Persamaan Lingkaran

  1. Ping-balik: Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1) | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Menggambar Elips | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s