Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1)

Pada tulisan sebelumnya sudah dijelaskan tentang Persamaan Lingkaran. Pada tulisan ini akan dipaparkan tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran yaitu persamaan garis yang melalui suatu titik. Persamaan garis singgung yang seperti ini memiliki dua kondisi yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik $O(0,0)$ dan jari-jari $r$ dan untuk lingkaran dengan titik pusat $A(a,b)$ dengan jari-jari $r$ . Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1. Lingkaran dengan Pusat di $O(0,0)$ dan jari-jari $r$

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas, garis $g$ adalah garis singgung lingkaran $L \equiv x^2+y^2=r^2$ dan $P(x_1,y_1)$ adalah titik singgungnya. Hal ini berarti titik $P(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran $L \equiv x^2+y^2=r^2$ sehingga berakibat $x_1^2 + y_1^2 = r^2$ .

Selanjutnya, berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa gradien garis $OP$ adalah $m_{OP} = \dfrac{y_1}{x_1}$ . Lebih jauh, karena garis singgung $g$ tegak lurus dengan garis $OP$ , berkakibat

$m_g m_{OP} = -1$

$m_g \dfrac{y_1}{x_1} = -1$

$m_g = -\dfrac{x_1}{y_1}$

Diperoleh persamaan garis singgung $g$ , yaitu

$y-y_1 = m_g(x-x_1)$

$y-y_1 = -\dfrac{x_1}{y_1} (x-x_1)$

$y_1y-y_1^2 = -x_1x+x_1^2$

$y_1y-x_1x = x_1^2 + y_1^2$

$y_1y-x_1x= r^2$

Jadi, Persamaan Garis Singgung Lingkaran $L \equiv x^2+y^2 = r^2$ yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ yaitu

$x_1x + y_1y = r^2$ .

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv x^2 + y^2 = 8$ yang melalui titik $(2,2)$

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh

$x_1x + y_1y = r^2$

$2x + 2y = 8$

$x + y = 4$

$x+y-4=0$ .

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah $x+y-4=0$ . $\square$

2. Lingkaran dengan Pusat di $A(a,b)$ dan jari-jari $r$

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas, garis $h$ adalah garis singgung lingkaran $L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ dan $Q(x_1,y_1)$ adalah titik singgungnya. Hal ini berarti titik $Q(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran $L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ sehingga berakibat $(x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 = r^2$ .

Selanjutnya, berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa gradien garis $AP$ yaitu $m_{AP} = \dfrac{y_1-b}{x_1-a}$ . Lebih jauh, karena garis singgung $h$ tegak lurus dengan garis $AP$ , berkakibat

$m_h \cdot m_{AP} = -1$

$m_h \cdot \dfrac{y_1-b}{x_1-a} = -1$

$m_h = -\dfrac{x_1-a}{y_1-b}$

Diperoleh persamaan garis singgung $h$ , yaitu

$y-y_1 = m_h(x-x_1)$

$y-y_1 = -\dfrac{x_1-a}{y_1-b} (x-x_1)$

$y_1y-by-y_1^2+by_1 = -x_1x+x_1^2+ax-ax_1$

$y_1y-by+by_1+x_1x+ax_1-ax = x_1^2 + y_1^2$ … (i)

Karena $Q(x_1,y_1)$ terletak pada lingkaran $L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , berakibat

$(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2$

$x_1^2-2ax_1+a^2 + y_1^2-2by_1+b^2 = r^2$

$x_1^2 + y_1^2 = 2ax_1-a^2+2by_1-b^2+r^2$ … (ii)

Selanjutnya, substitusikan pers (i) ke pers (ii), diperoleh

$y_1y-by+by_1+x_1x+ax_1-ax = 2ax_1-a^2+2by_1-b^2+r^2$

$x_1x+ax_1-ax-2ax_1+a^2+ y_1y-by+by_1-2by_1+b^2 = r^2$

$(x_1x-ax-ax_1+a^2)+(y_1y-by-by_1+b^2) = r^2$

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2$

Jadi, persamaan Garis Singgung Lingkaran $L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$ yang melalui titik $Q(x_1,y_1)$ yaitu

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2$ .

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv (x-3)^2 + (y+1)^2 = 25$ yang melalui titik $(7,2)$

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = 25$

$(7-3)(x-3)+(2+1)(y+1) = 25$

$4(x-3) + 3(y+1) = 25$

$4x-12 + 3y+3 = 25$

$4x + 3y-34 = 0$ .

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah $4x + 3y-34 = 0$ . $\square$

One comment on “Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1)”

Ping-balik: Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2) | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Firman di Tanya Jawab MATEMATIKA
	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Carles di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Indah Qurratua'yun S… di Kumpulan Soal Test Matematika…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Pada (Surjektif)
	MATEMATIKA DAN ILMU… di Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	aim di Metode Newton-Raphson (Newton-…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

One comment on “Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan