Mar 2 2016

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1)


Pada tulisan sebelumnya sudah dijelaskan tentang Persamaan Lingkaran. Pada tulisan ini akan dipaparkan tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran yaitu persamaan garis yang melalui suatu titik. Persamaan garis singgung yang seperti ini memiliki dua kondisi yaitu untuk lingkaran yang berpusat titik O(0,0) dan jari-jari r dan untuk lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dengan jari-jari r. Baik, pada tulisan ini saya akan paparkan satu per satu.

1.   Lingkaran dengan Pusat di O(0,0) dan jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini.

PGSL_01

Pada gambar di atas, garis g adalah garis singgung lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 dan P(x_1,y_1) adalah titik singgungnya. Hal ini berarti titik P(x_1,y_1) terletak pada lingkaran L \equiv x^2+y^2=r^2 sehingga berakibat x_1^2 + y_1^2 = r^2.

Selanjutnya, berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa gradien garis OP adalah m_{OP} = \dfrac{y_1}{x_1}. Lebih jauh, karena garis singgung g tegak lurus dengan garis OP, berkakibat

m_g m_{OP} = -1

m_g \dfrac{y_1}{x_1} = -1

m_g = -\dfrac{x_1}{y_1}

Diperoleh persamaan garis singgung g, yaitu

y-y_1 = m_g(x-x_1)

y-y_1 = -\dfrac{x_1}{y_1} (x-x_1)

y_1y-y_1^2 = -x_1x+x_1^2

y_1y-x_1x = x_1^2 + y_1^2

y_1y-x_1x= r^2

Jadi, Persamaan Garis Singgung Lingkaran L \equiv x^2+y^2 = r^2 yang melalui titik P(x_1,y_1) yaitu

x_1x + y_1y = r^2.

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L \equiv x^2 + y^2 = 8 yang melalui titik (2,2)

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh

x_1x + y_1y = r^2

2x + 2y = 8

x + y = 4

x+y-4=0.

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah x+y-4=0. \square

2.   Lingkaran dengan Pusat di A(a,b) dan jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini.

PGSL_02

Pada gambar di atas, garis h adalah garis singgung lingkaran L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 dan Q(x_1,y_1) adalah titik singgungnya. Hal ini berarti titik Q(x_1,y_1) terletak pada lingkaran L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 sehingga berakibat (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 = r^2.

Selanjutnya, berdasarkan gambar di atas diperoleh bahwa gradien garis AP yaitu m_{AP} = \dfrac{y_1-b}{x_1-a}. Lebih jauh, karena garis singgung h tegak lurus dengan garis AP, berkakibat

m_h \cdot m_{AP} = -1

m_h \cdot \dfrac{y_1-b}{x_1-a} = -1

m_h = -\dfrac{x_1-a}{y_1-b}

Diperoleh persamaan garis singgung h, yaitu

y-y_1 = m_h(x-x_1)

y-y_1 = -\dfrac{x_1-a}{y_1-b} (x-x_1)

y_1y-by-y_1^2+by_1 = -x_1x+x_1^2+ax-ax_1

y_1y-by+by_1+x_1x+ax_1-ax = x_1^2 + y_1^2 … (i)

Karena Q(x_1,y_1) terletak pada lingkaran L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, berakibat

(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2

x_1^2-2ax_1+a^2 + y_1^2-2by_1+b^2 = r^2

x_1^2 + y_1^2 = 2ax_1-a^2+2by_1-b^2+r^2 … (ii)

Selanjutnya, substitusikan pers (i) ke pers (ii), diperoleh

y_1y-by+by_1+x_1x+ax_1-ax = 2ax_1-a^2+2by_1-b^2+r^2

x_1x+ax_1-ax-2ax_1+a^2+ y_1y-by+by_1-2by_1+b^2 = r^2

(x_1x-ax-ax_1+a^2)+(y_1y-by-by_1+b^2) = r^2

(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2

Jadi, persamaan Garis Singgung Lingkaran L \equiv (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 yang melalui titik Q(x_1,y_1) yaitu

(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2.

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L \equiv (x-3)^2 + (y+1)^2 = 25 yang melalui titik (7,2)

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh

(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = 25

(7-3)(x-3)+(2+1)(y+1) = 25

4(x-3) + 3(y+1) = 25

4x-12 + 3y+3 = 25

4x + 3y-34 = 0.

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah 4x + 3y-34 = 0. \square

2 comments on “Persamaan Garis Singgung Lingkaran (1)”

  1. Ping-balik: Persamaan Garis Singgung Lingkaran (2) | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s