Selanjutnya telah diketahui bahwa homomorfisma dari
ke
selalu memetakan
ke
. Tetapi ada juga anggota lain di
yang dipetakan ke
. Sehingga apabila dihimpun anggota-anggota di
yang dipetakan ke
, akan membentuk definisi baru yang memiliki struktur. Berikut diberikan definisi
Definisi 1.
Diberikan homomorfisma grup, maka kernel dari
, dinotasikan
, didefinisikan sebagai berikut.
dengan identitas di
.
Contoh 2.
Diberikan homomorfisma grup dengan definisi
. Tentukan kernel dari
.
.
Teorema 3.
Diberikan homomorfisma grup, maka
fungsi injektif jika dan hanya jika
.
Bukti.
Diketahui fungsi injektif. Ambil sebarang
artinya
. Di lain pihak,
. Berakibat
. Karena
injektif berakibat
.
Sebaliknya diketahui . Akan dibuktikan
fungsi injektif. Ambil sebarang
sedemikian hingga
. Akan ditunjukkan
. Perhatikan bahwa
.
Jadi, . Yaitu
atau
. Jadi,
fungsi injektif.
Teorema 4.
Diberikan homomorfisma dari
ke
. Maka
adalah subgrup normal dari
.
Bukti.
Karena , maka
. Pertama akan dibuktikan
subgrup
. Ambil sebarang
. Perhatikan bahwa
Oleh karena itu, . Jadi,
subgrup
. Selanjutnya akan dibuktikan
subgrup normal
. Ambil sebarang
dan
. Maka
Oleh karena itu, . Jadi,
subgrup normal dari
.
Selain itu, jika diberikan homomorfisma maka setiap anggota di
dipetakan tepat satu ke
. Sehingga dapat dihimpun hasil peta dari
yaitu
. Berikut diberikan definisi.
Definisi 5.
Diberikan homomorfisma grup . Himpunan semua anggota dari
yang mempunyai kawan di
disebut peta atau bayangan (image) dari
oleh
, dinotasikan
, yaitu
.
Contoh 6.
Diberikan homomorfisma grup dengan definisi
. Tentukan image dari
.
.
Teorema 7.
Diberikan homomorfisma grup . Maka
subgrup
.
Bukti.
Diketahui bahwa dengan kata lain
. Jadi,
. Ambil sebarang
, maka
dan
untuk suatu
. Akan dibuktikan
. Perhatikan bahwa
Karena , beakibat
. Oleh karena itu,
. Jadi, berdaasarkan karakteristik subgrup,
adalah subgrup
.