Kernel dan Image Homomorfisma Grup


Selanjutnya telah diketahui bahwa homomorfisma f dari G ke G_1 selalu memetakan e \in G ke e_1 \in G_1. Tetapi ada juga anggota lain di G yang dipetakan ke e_1. Sehingga apabila dihimpun anggota-anggota di G yang dipetakan ke e_1, akan membentuk definisi baru yang memiliki struktur. Berikut diberikan definisi

Definisi 1.

Diberikan f : G \to G_1 homomorfisma grup, maka kernel dari f, dinotasikan Ker(f), didefinisikan sebagai berikut.

Ker(f) = f^{-1}(e_1) = \{ a \in G| f(a)=e_1 \}

dengan e_1 identitas di G_1.

Contoh 2.

Diberikan homomorfisma grup f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_8 dengan definisi f(a) = a \mod 8. Tentukan kernel dari f.

Ker(f) = \{ a \in \mathbb{Z} | f(a)=[0] \}

= \{ a \in \mathbb{Z} | a \mod 8 = [0] \}

= \{ a \in \mathbb{Z} | a = 8n, n \in \mathbb{Z} \}

= \{ 8n | n \in \mathbb{Z} \}

= 8\mathbb{Z}. \square

Teorema 3.

Diberikan f : G \to G_1 homomorfisma grup, maka f fungsi injektif jika dan hanya jika Ker(f) = \{ e \}.

Bukti.

Diketahui f fungsi injektif. Ambil sebarang a \in Ker(f) artinya f(a) = e_1. Di lain pihak, f(e)=e_1. Berakibat f(a)=f(e). Karena f injektif berakibat a=e.

Sebaliknya diketahui Ker(f)=\{e\}. Akan dibuktikan f fungsi injektif. Ambil sebarang a,b \in G sedemikian hingga f(a)=f(b). Akan ditunjukkan a=b. Perhatikan bahwa

f(ab^{-1}) = f(a) f(b^{-1}) = f(a) f(b)^{-1} = f(b) f(b)^{-1} = e_1.

Jadi, ab^{-1} \in Ker(f) = \{e\}. Yaitu ab^{-1}=e atau a=b. Jadi, f fungsi injektif. \blacksquare

Teorema 4.

Diberikan f homomorfisma dari G ke G_1. Maka Ker(f) adalah subgrup normal dari G.

Bukti.

Karena e \in Ker(f), maka Ker(f) \neq \emptyset. Pertama akan dibuktikan Ker(f) subgrup G. Ambil sebarang a,b \in Ker(f). Perhatikan bahwa

f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1})

= f(a) f(b)^{-1}

= e_1 e_1^{-1} = e_1

Oleh karena itu, ab^{-1} \in Ker(f). Jadi, Ker(f) subgrup G. Selanjutnya akan dibuktikan Ker(f) subgrup normal G. Ambil sebarang g \in G dan h \in Ker(f). Maka

f(ghg^{-1}) = f(g)f(h)f(g^{-1})

= f(g) f(h) f(g)^{-1}

= f(g) e_1 f(g)^{-1} = e_1

Oleh karena itu, ghg^{-1} \in Ker(f). Jadi, Ker(f) subgrup normal dari G. \blacksquare

Selain itu, jika diberikan homomorfisma f : G \to G_1 maka setiap anggota di G dipetakan tepat satu ke G_1. Sehingga dapat dihimpun hasil peta dari f yaitu Im(f). Berikut diberikan definisi.

Definisi 5.

Diberikan homomorfisma grup f : G \to G_1. Himpunan semua anggota dari G_1 yang mempunyai kawan di G disebut peta atau bayangan (image) dari G oleh f, dinotasikan Im(f), yaitu

Im(f) = \{ b \in G_1 | (\exists a \in G) f(a)=b \} = \{ f(a) | a \in G\}.

Contoh 6.

Diberikan homomorfisma grup f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_5 dengan definisi f(a) = a \mod 5. Tentukan image dari f.

Im(f) = \{ f(a) | a \in \mathbb{Z} \}

= \{ a \mod 5 | a \in \mathbb{Z} \}

= \{ 0,1,2,3,4 \}

= \mathbb{Z}_5. \square

Teorema 7.

Diberikan homomorfisma grup f : G \to G_1. Maka Im(f) subgrup G_1.

Bukti.

Diketahui bahwa f(e)=e_1 dengan kata lain e_1 \in Im(f). Jadi, Im(f) \neq \emptyset. Ambil sebarang x,y \in Im(f), maka x=f(a) dan y=f(b) untuk suatu a,b \in G. Akan dibuktikan xy^{-1} \in Im(f). Perhatikan bahwa

xy^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)f(b^{-1}) = f(ab^{-1})

Karena ab^{-1} \in G, beakibat f(ab^{-1}) \in Im(f). Oleh karena itu, xy^{-1} \in Im(f). Jadi, berdaasarkan karakteristik subgrup, Im(f) adalah subgrup G_1. \blacksquare

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s