Homomorfisma Natural

Perhatikan contoh berikut ini. Diberikan $S_3$ dan subgrup normal $H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right\}$ .

Didefinisikan $f : S_3 \to S_3/H$ oleh $f(\alpha) = \alpha H$ untuk setiap $\alpha \in S_3$ . Perhatikan bahwa

$f(\alpha \circ \alpha') = (\alpha \circ \alpha')H = (\alpha H) \circ (\alpha' H) = f(\alpha) \circ f(\alpha')$

Untuk sebarang $\alpha, \alpha' \in S_3$ . Oleh karena itu, $f$ homomorfisma. Lebih jauh

$Ker(f) = \{ \alpha \in S_3 | \alpha H = H \} = \{ \alpha \in S_3 | \alpha \in H \} = H$

Dari contoh tersebut, dapat dilihat bahwa jika dipunyai grup dan subgrup normal, selalu dapat dibentuk grup faktor. Selanjutnya pasti dapat dibentuk homomorfisma dari grup ke grup faktor, di mana homomorfisma yang demikian itu dinamakan Homomorfisma Natural. Dan lebih jauh, kernel dari homomorfisma sama dengan subgrup normalnya. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan $H$ subgrup normal dari $G$ . Didefinisikan fungsi $g$ dari $G$ ke grup faktor $G/H$ oleh $g(a)=aH$ untuk setiap $a \in G$ . Maka $g$ merupakan homomorfisma dan $Ker(g)=H$ . (Homomorfisma $g$ disebut Homomorfisma Natural dari $G$ ke $G/H$ )

Bukti.

Ambil sebarang $a,b \in G$ . Akan dibuktikan $g$ homomorfisma. Perhatikan

$g(ab) = (ab)H = (aH)(bH) = g(a)g(b)$ .

Oleh karena itu, $g$ merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan $Ker(g)=H$ . Sekarang perhatikan

$a \in Ker(g) \Leftrightarrow g(a)=eH$

$\Leftrightarrow aH=eH$

$\Leftrightarrow e^{-1}a \in H$

$\Leftrightarrow a \in H$

Oleh karena itu, $Ker(g) = H$ . $\blacksquare$

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Edward Sulistijono pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Berliana FZ pada Pembahasan Matematika Ujian Na…
	Roy Mahendra pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Menulis Equation pada Blo…
	kang cahyo pada Menulis Equation pada Blo…
	Rezza pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Be a Better pada Aturan Sinus
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan