Perhatikan contoh berikut ini. Diberikan dan subgrup normal
.
Didefinisikan oleh
untuk setiap
. Perhatikan bahwa
Untuk sebarang . Oleh karena itu,
homomorfisma. Lebih jauh
Dari contoh tersebut, dapat dilihat bahwa jika dipunyai grup dan subgrup normal, selalu dapat dibentuk grup faktor. Selanjutnya pasti dapat dibentuk homomorfisma dari grup ke grup faktor, di mana homomorfisma yang demikian itu dinamakan Homomorfisma Natural. Dan lebih jauh, kernel dari homomorfisma sama dengan subgrup normalnya. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.
Teorema 1.
Diberikan subgrup normal dari
. Didefinisikan fungsi
dari
ke grup faktor
oleh
untuk setiap
. Maka
merupakan homomorfisma dan
. (Homomorfisma
disebut Homomorfisma Natural dari
ke
)
Bukti.
Ambil sebarang . Akan dibuktikan
homomorfisma. Perhatikan
.
Oleh karena itu, merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan
. Sekarang perhatikan
Oleh karena itu, .