Homomorfisma Natural

Perhatikan contoh berikut ini. Diberikan $S_3$ dan subgrup normal $H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right\}$ .

Didefinisikan $f : S_3 \to S_3/H$ oleh $f(\alpha) = \alpha H$ untuk setiap $\alpha \in S_3$ . Perhatikan bahwa

$f(\alpha \circ \alpha') = (\alpha \circ \alpha')H = (\alpha H) \circ (\alpha' H) = f(\alpha) \circ f(\alpha')$

Untuk sebarang $\alpha, \alpha' \in S_3$ . Oleh karena itu, $f$ homomorfisma. Lebih jauh

$Ker(f) = \{ \alpha \in S_3 | \alpha H = H \} = \{ \alpha \in S_3 | \alpha \in H \} = H$

Dari contoh tersebut, dapat dilihat bahwa jika dipunyai grup dan subgrup normal, selalu dapat dibentuk grup faktor. Selanjutnya pasti dapat dibentuk homomorfisma dari grup ke grup faktor, di mana homomorfisma yang demikian itu dinamakan Homomorfisma Natural. Dan lebih jauh, kernel dari homomorfisma sama dengan subgrup normalnya. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan $H$ subgrup normal dari $G$ . Didefinisikan fungsi $g$ dari $G$ ke grup faktor $G/H$ oleh $g(a)=aH$ untuk setiap $a \in G$ . Maka $g$ merupakan homomorfisma dan $Ker(g)=H$ . (Homomorfisma $g$ disebut Homomorfisma Natural dari $G$ ke $G/H$ )

Bukti.

Ambil sebarang $a,b \in G$ . Akan dibuktikan $g$ homomorfisma. Perhatikan

$g(ab) = (ab)H = (aH)(bH) = g(a)g(b)$ .

Oleh karena itu, $g$ merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan $Ker(g)=H$ . Sekarang perhatikan

$a \in Ker(g) \Leftrightarrow g(a)=eH$

$\Leftrightarrow aH=eH$

$\Leftrightarrow e^{-1}a \in H$

$\Leftrightarrow a \in H$

Oleh karena itu, $Ker(g) = H$ . $\blacksquare$

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	yolanfa chelsea sals… pada Soal dan Pembahasan SNMPTN Mat…
	Rita pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Rita pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Naily pada Subgrup Normal
	Dil pada Pembahasan Latihan Soal TPA Ar…
	Yasss pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Yasss pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Muammar Hardian pada Metode Regula Falsi (Regula Fa…
	Rdnt28 pada Pembahasan Soal Barisan dan De…
	PERTEMUAN 2: –… pada Sifat-Sifat Determinan Matriks

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan