Homomorfisma Natural


Perhatikan contoh berikut ini. Diberikan S_3 dan subgrup normal H = \left\{ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix} \right\}.

Didefinisikan f : S_3 \to S_3/H oleh f(\alpha) = \alpha H untuk setiap \alpha \in S_3. Perhatikan bahwa

f(\alpha \circ \alpha') = (\alpha \circ \alpha')H = (\alpha H) \circ (\alpha' H) = f(\alpha) \circ f(\alpha')

Untuk sebarang \alpha, \alpha' \in S_3. Oleh karena itu, f homomorfisma. Lebih jauh

Ker(f) = \{ \alpha \in S_3 | \alpha H = H \} = \{ \alpha \in S_3 | \alpha \in H \} = H

Dari contoh tersebut, dapat dilihat bahwa jika dipunyai grup dan subgrup normal, selalu dapat dibentuk grup faktor. Selanjutnya pasti dapat dibentuk homomorfisma dari grup ke grup faktor, di mana homomorfisma yang demikian itu dinamakan Homomorfisma Natural. Dan lebih jauh, kernel dari homomorfisma sama dengan subgrup normalnya. Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut.

Teorema 1.

Diberikan H subgrup normal dari G. Didefinisikan fungsi g dari G ke grup faktor G/H oleh g(a)=aH untuk setiap a \in G. Maka g merupakan homomorfisma dan Ker(g)=H. (Homomorfisma g disebut Homomorfisma Natural dari G ke G/H)

Bukti.

Ambil sebarang a,b \in G. Akan dibuktikan g homomorfisma. Perhatikan

g(ab) = (ab)H = (aH)(bH) = g(a)g(b).

Oleh karena itu, g merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan Ker(g)=H. Sekarang perhatikan

a \in Ker(g) \Leftrightarrow g(a)=eH

\Leftrightarrow aH=eH

\Leftrightarrow e^{-1}a \in H

\Leftrightarrow a \in H

Oleh karena itu, Ker(g) = H. \blacksquare

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s