Definisi 1.
Diberikan grup dan
. Homomorfisma
disebut epimorfisma jika
fungsi pada (surjektif) pada
dan
disebut monomorfisma jika
fungsi satu-satu (injektif).
Contoh 2.
Diberikan grup yaitu grup bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. Didefinisikan
dengan
. Apakah
epimorfisma atau monomorfisma ?
Ambil sebarang . Diperoleh
.
Jadi, homomorfisma. Selanjutnya akan diselidiki apakah
epimorfisma atau monomorfisma. Karena
dan
. Beakibat terdapat
yang
sedemikian hingga
. Jadi,
bukan monomorfisma.
Dari definisi , jelas terlihat bahwa tidak mungkin menemukan pasangan di domain jika mengambil
di kodomain. Jadi,
bukan epimorfisma.
Definisi 3.
Diberikan grup dan
. Homomorfisma
disebut isomorfisma jika
bersifat injektif dan surjektif. Lebih khusus, ditulis
, dikatakan bahwa
isomorfik dengan
.
Cara Menunjukkan Dua Grup Isomorf
1. Definsikan fungsi yang akan memberikan suatu isomorfisma dari
ke
.
2. Tunjukkan fungsi satu-satu (injektif)
3. Tunjukkan fungsi pada (surjektif)
4. Tunjukkan untuk setiap
Contoh 4.
Diberikan grup dan
. Didefinisikan
oleh
untuk setiap
. Cek apakah
isomorfisma.
Pertama akan dicek apakah well defined. Ambil sebarang
dengan
. Perhatikan,
Jadi, well defined. Selanjutnya akan dicek
homomorfisma. Perhatikan
Jadi, homomorfisma. Misal
, berakibat
. Diperoleh
. Berimplikasi
. Oleh karena itu,
injektif. Jadi,
monomorfisma.
Ambil sebarang . Diperoleh
Jadi, terdapat sedemikian hingga
. Oleh karena itu,
surjektif. Jadi,
epimorfisma. Dengan kata lain,
isomorfisma.
Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf
Salah satu cara untuk mengecek bahwa dua grup tidak isomorfisma adalah dengan mengecek fungsinya tidak satu-satu, yaitu dengan melihat jumlah anggotanya. Jika dua grup memiliki jumlah anggota yang berbeda maka fungsi tidak bersifat satu-satu, tapi ini dilakukan jika grup tersebut memiliki anggota hingga. Selain itu, dapat juga melihat struktur dari grupnya. Kedua grup yang isomorfik harus memiliki struktur yang sama.
Contoh 5.
Diberikan himpunan dan
. Didefinisikan operasi biner
dan
sebagai berikut seperti tabel di bawah ini.
|
e |
a |
b |
C |
e |
e |
a |
b |
C |
a |
a |
b |
c |
E |
b |
B |
c |
e |
a |
C |
C |
e |
a |
b |
|
1 |
-1 |
i |
-i |
1 |
1 |
-1 |
i |
-i |
-1 |
-1 |
1 |
-i |
I |
i |
i |
-i |
-1 |
1 |
-i |
-i |
i |
1 |
-1 |
Cek apakah kedua tabel tersebut isomorfik. Diperhatikan bahwa grup siklik karena dibangun oleh
yaitu
.
Sedangkan bukan grup siklik karena tidak ada elemen di
yang membangun
. Perhatikan
Karena struktur dan
tidak sama, sehingga
dan
tidak isomorfik.
Teorema 6.
Diberikan grup dan
. Jika
isomorfisma, maka
1. isomorfisma
2. komutatif jika dan hanya jika
komutatif
3. grup siklik jika dan hanya jika
siklik
Bukti.
1. Karena fungsi bijektif, maka
juga fungsi bijektif. Selanjtnya tinggal menunjukkan bahwa
homomorfisma. Ambil sebarang
, maka terdapat
sedemikian hingga
dan
. Berakibat
dan
. Perhatikan bahwa
Diperoleh . Selanjutnya diperhatikan bahwa
Oleh karena itu, homomorfisma. Jadi,
isomorfisma.
2. Diketahui komutatif. Akan dibuktikan
komutatif. Ambil sebarang
. Karena
fungsi surjektif, maka terdapat
sedemikian hingga
dan
. Diperhatikan bahwa
Jadi, komutatif.
Sebaliknya, diketahui komutatif. Akan dibuktikan
komutatif. Ambil sebarang
. Diperhatikan bahwa
Karena injektif, berakibat
.
3. Diketahui grup siklik. Berakibat
untuk suatu
. Karena
, berakibat
. Ambil sebarang
. Karena
surjektif, maka terdapat
sedemikian hingga
. Perhatikan bahwa
untuk suatu
. Oleh karena itu,
Jadi, . Oleh karena itu,
. Jadi,
siklik.
Sebaliknya, diketahui siklik. Berakibat
untuk suatu
. Diperoleh
untuk suatu
. Karena
bijektif, berakibat
. Sehingga diperoleh
. Ambil sebarang
. Karena
bijektif maka
untuk suatu
. Diperoleh
untuk suatu
. Perhatikan bahwa, karena
homomorfisma, diperoleh
Oleh karena itu, . Jadi,
siklik.