Isomorfisma Grup


Definisi 1.

Diberikan grup G dan G_1. Homomorfisma f : G \to G_1 disebut epimorfisma jika f fungsi pada (surjektif) pada G_1 dan f disebut monomorfisma jika f fungsi satu-satu (injektif).

Contoh 2.

Diberikan grup R^* yaitu grup bilangan riil tak nol terhadap operasi perkalian. Didefinisikan f : R^* \to R^* dengan f(a)=|a|. Apakah f epimorfisma atau monomorfisma ?

Ambil sebarang a,b \in R^*. Diperoleh

f(ab) = |ab| = |a||b| = f(a)f(b).

Jadi, f homomorfisma. Selanjutnya akan diselidiki apakah f epimorfisma atau monomorfisma. Karena f(1)=1 dan f(-1)=1. Beakibat terdapat 1,-1 \in R^* yang 1 \neq -1 sedemikian hingga f(1)=f(-1). Jadi, f bukan monomorfisma.

Dari definisi f(a)=|a|, jelas terlihat bahwa tidak mungkin menemukan pasangan di domain jika mengambil -1 \in R^* di kodomain. Jadi, f bukan epimorfisma. \square

Definisi 3.

Diberikan grup G dan G_1. Homomorfisma f : G \to G_1 disebut isomorfisma jika f bersifat injektif dan surjektif. Lebih khusus, ditulis G \sim G_1, dikatakan bahwa G isomorfik dengan G_1.

Cara Menunjukkan Dua Grup Isomorf

1.   Definsikan fungsi f yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G_1.

2.   Tunjukkan f fungsi satu-satu (injektif)

3.   Tunjukkan f fungsi pada (surjektif)

4.   Tunjukkan f(a * b) = f(a) \cdot f(b) untuk setiap a,b \in G

Contoh 4.

Diberikan grup (R,+) dan (R^+,\cdot). Didefinisikan f : (R,+) \to (R^+,\cdot) oleh f(a)=e^a untuk setiap a \in R. Cek apakah f isomorfisma.

Pertama akan dicek apakah f well defined. Ambil sebarang a,b \in R dengan a= b. Perhatikan,

f(a) = e^a = e^b = f(b)

Jadi, f well defined. Selanjutnya akan dicek f homomorfisma. Perhatikan

f(a+b) = e^{a+b} = e^a e^b = f(a) f(b)

Jadi, f homomorfisma. Misal f(a)=f(b), berakibat e^a=e^b. Diperoleh \log_e e^a = \log_e e^b. Berimplikasi a=b. Oleh karena itu, f injektif. Jadi, f monomorfisma.

Ambil sebarang b \in R^+. Diperoleh

b = e^{\log_e b} = f(\log_e b)

Jadi, terdapat \log_e b \in R sedemikian hingga f(\log_e b)=b. Oleh karena itu, f surjektif. Jadi, f epimorfisma. Dengan kata lain, f isomorfisma. \square

Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf

Salah satu cara untuk mengecek bahwa dua grup tidak isomorfisma adalah dengan mengecek fungsinya tidak satu-satu, yaitu dengan melihat jumlah anggotanya. Jika dua grup memiliki jumlah anggota yang berbeda maka fungsi tidak bersifat satu-satu, tapi ini dilakukan jika grup tersebut memiliki anggota hingga. Selain itu, dapat juga melihat struktur dari grupnya. Kedua grup yang isomorfik harus memiliki struktur yang sama.

Contoh 5.

Diberikan himpunan G = \{ e,a,b,c \} dan G_1 = \{ 1,-1,i,-i \}. Didefinisikan operasi biner * dan \cdot sebagai berikut seperti tabel di bawah ini.

*

e

a

b

C

e

e

a

b

C

a

a

b

c

E

b

B

c

e

a

C

C

e

a

b

 

*

1

-1

i

-i

1

1

-1

i

-i

-1

-1

1

-i

I

i

i

-i

-1

1

-i

-i

i

1

-1

 

Cek apakah kedua tabel tersebut isomorfik. Diperhatikan bahwa G_1 grup siklik karena dibangun oleh i yaitu

\langle i \rangle = \{ i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 \} = G_1.

Sedangkan G bukan grup siklik karena tidak ada elemen di G yang membangun G. Perhatikan

\{e, e^2, e^3 , e^4 \} = \{ e, e, e, e \} = \{ e \}

\{a, a^2, a^3 , a^4 \} = \{ a, e, a, e \} = \{ e, a \}

\{b, b^2, b^3 , b^4 \} = \{ b, e, b, e \} = \{ e, b \}

\{c, c^2, c^3 , c^4 \} = \{ c, e, c, e \} = \{ e, c \}

Karena struktur G dan G_1 tidak sama, sehingga G dan G_1 tidak isomorfik. \square

Teorema 6.

Diberikan grup G dan G_1. Jika f : G \to G_1 isomorfisma, maka

1.   f^{-1} : G_1 \to G isomorfisma

2.   G komutatif jika dan hanya jika G_1 komutatif

3.   G grup siklik jika dan hanya jika G_1 siklik

Bukti.

1.   Karena f fungsi bijektif, maka f^{-1} juga fungsi bijektif. Selanjtnya tinggal menunjukkan bahwa f homomorfisma. Ambil sebarang u,v \in G_1, maka terdapat a,b \in G sedemikian hingga f(a)=u dan f(b)=v. Berakibat f^{-1}(u)=a dan f^{-1}(v)=b. Perhatikan bahwa

uv = f(a)f(b) = f(ab)

Diperoleh f^{-1}(uv)=ab. Selanjutnya diperhatikan bahwa

f^{-1}(uv) = ab = f^{-1}(u) f^{-1}(v)

Oleh karena itu, f^{-1} homomorfisma. Jadi, f^{-1} isomorfisma.

2.   Diketahui G komutatif. Akan dibuktikan G_1 komutatif. Ambil sebarang u,v \in G_1. Karena f fungsi surjektif, maka terdapat a,b \in G sedemikian hingga f(a)=u dan f(b)=v. Diperhatikan bahwa

uv = f(a)f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b)f(a) = vu

Jadi, G_1 komutatif.

Sebaliknya, diketahui G_1 komutatif. Akan dibuktikan G komutatif. Ambil sebarang a,b \in G. Diperhatikan bahwa

f(ab) = f(a)f(b) = f(b)f(a) = f(ba)

Karena f injektif, berakibat ab = ba.

3.   Diketahui G grup siklik. Berakibat \langle a \rangle = G untuk suatu a \in G. Karena f(a) \in G_1, berakibat \langle f(a) \rangle \subseteq G_1. Ambil sebarang b \in G_1. Karena f surjektif, maka terdapat x \in G sedemikian hingga f(x)=b. Perhatikan bahwa x=a^n untuk suatu n \in \mathbb{Z}. Oleh karena itu,

b = f(x) = f(a^n) = (f(a))^n \in \langle f(a) \rangle

Jadi, G_1 \subseteq \langle f(a) \rangle. Oleh karena itu, G_1 = \langle f(a) \rangle. Jadi, G_1 siklik.

Sebaliknya, diketahui G_1 siklik. Berakibat G_1 = \langle f(a) \rangle untuk suatu f(a) \in G_1. Diperoleh f(a)=b untuk suatu b \in G_1. Karena f bijektif, berakibat a=f^{-1}(b) \in G. Sehingga diperoleh \langle a \rangle \subseteq G. Ambil sebarang u \in G. Karena f bijektif maka u=f^{-1}(x) untuk suatu x \in G_1 = \langle f(a) \rangle. Diperoleh x = (f(a))^m untuk suatu m \in \mathbb{Z}. Perhatikan bahwa, karena f homomorfisma, diperoleh

u = f^{-1}(x) = f^{-1}((f(a))^m) = (f^{-1}(f(a)))^m = a^m \in \langle a \rangle

Oleh karena itu, G \subseteq \langle a \rangle. Jadi, G siklik. \blacksquare

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s