Bekerja Bersama-Sama


Tulisan ini berawal dari mengerjakan soal Tes Potensi Akademik, soal jenis ini cukup sering muncul dalam TPA bidang matematika. Menurut saya cukup menarik untuk diposting tulisan ini. Berikut contoh pertanyaannya.

Si A dapat menyelesaikan sendiri sebuah pekerjaan dalam waktu 2 jam, sedangkan B dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama dalam waktu 4 jam. Jika mereka berdua bekerja bersama-sama, berapakah lama pekerjaan itu dapat selesai ?

Berikut logika pengerjaannya :

Si A dapat mengerjakan pekerjaan dalam waktu 2 jam, artinya dalam 1 jam, Si A dapat mengerjakan \dfrac{1}{2} pekerjaan. Kemudian Si B dapat mengerjakan pekerjaan dalam waktu 4 jam, artinya dalam 1 jam, Si B dapat mengerjakan \dfrac{1}{4} pekerjaan. Jadi, jika mereka bekerja bersama-sama, dalam 1 jam, Si A dan Si B dapat menyelesaikan \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} pekerjaan. Karena setiap jam mereka dapat menyelesaikan \dfrac{3}{4} pekerjaan, maka untuk menyelesaikan semua pekerjaan dibutuhkan waktu \dfrac{1}{3/4} = \dfrac{4}{3} jam.

Jadi, logikanya, apabila suatu pekerjaan dikerjakan bersama-sama, maka yang bertambah di sini adalah kecepatan mereka bekerja atau waktu yang dibutuhkan semakin singkat.

Untuk mempermudah perhitungan, dapat dibuat formula sebagai berikut.

\dfrac{1}{t_T} = \dfrac{1}{t_A} + \dfrac{1}{t_B}

dengan t_T adalah waktu yang dibutuhkan dalam mengerjakan pekerjaan secara bersama. t_A adalah waktu yang dibutuhkan si A dalam menyelesaikan pekerjaan dan t_B adalah waktu yang dibutuhkan si B dalam menyelesaikan pekerjaan.

Sehingga, apabila mengerjakan soal di atas, didapat

\dfrac{1}{t_T} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{t_T} = \dfrac{3}{4}

Jadi, waktu yang dibutuhkan Si A dan Si B dalam menyelesaikan pekerajaan tersebut adalah \dfrac{3}{4} jam.

Contoh 1.

Andi dapat menyelesaikan soal dalam 6 jam sedangkan Budi  dapat mengerjakan soal dalam 4 jam. Jika mereka mengerjakan soalnya bersama-sama, berapa waktu yang dibutuhkan untuk mengerjakan soal tersebut?

\dfrac{1}{t_T} = \dfrac{1}{t_A} + \dfrac{1}{t_B}

= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}

= \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12}

= \dfrac{5}{12}

Jadi, waktu yang dibutuhkan mereka dalam mengerjakan soal tersebut adalah \dfrac{12}{5} jam atau 2,4 jam.

Contoh 2.

Yesi memerlukan waktu tiga jam lebih lama untuk mengecat pagar dibandingkan Mira. Ketika bekerja bersama, keduanya dapat mengecat pagar dalam waktu dua jam. Berapa waktu yang diperlukan Yesi dan Mita untuk mengecat pagar jika keduanya bekerja sendiri-sendiri ?

Misal m adalah waktu yang dibutuhkan Mira untuk mengecat pagar, berarti m+3 merupakan waktu yang dibutuhkan Yesi untuk mengecat pagar yang sama. Hal ini berarti, Mira mampu menyelesaikan \dfrac{1}{m} pekerjaan dalam waktu 1 jam dan Yesi mampu menyelesaikan \dfrac{1}{(m+3)} pekerjaan dalam waktu 1 jam. Sehingga diperoleh

\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{(m+3)} = \dfrac{1}{2}

\Leftrightarrow \dfrac{(m+3)+m}{m(m+3)} = \dfrac{1}{2}

\Leftrightarrow \dfrac{2m+3}{m^2+3m} = \dfrac{1}{2}

\Leftrightarrow 2(2m+3) = m^2+3m

\Leftrightarrow m^2-m-6 = 0

(m-3)(m+2) = 0

m=3 atau m=-2.

Jadi, jika perkerjaan itu dilakukan sendiri-sendiri, Mira membutuhkan waktu 2 jam dan Yesi membutuhkan waktu 5 jam untuk menyelesaikan pengecatan pagar yang sama.

 

Contoh 3.

Mesin pompa merk A dapat mengisi penuh satu tangki air dengan kapasitas 100 liter dalam waktu 15 menit. Sedangkan, mesin pompa merk B dapat mengisi penuh satu tangki air dengan kapasitas 200 liter dalam waktu 24 menit. Dalam berapa menit dapat terisi penuh satu tangki dengan kapasitas 100 liter, jika mesin pompa merk A dan mesin pompa merk B digunakan bersama-sama?

Mesin pompa merk A dapat mengisi penuh satu tangki air dengan kapasitas 100 liter dalam waktu 15 menit, artinya mesin pompa merk A dapat mengisi sebuah tangki dengan volume \dfrac{100}{15} liter dalam waktu 1 menit. Sedangkan merk B dapat mengisi sebuah tangki dengan volume \dfrac{200}{24} liter dalam waktu 1 menit.

\dfrac{1}{t_T} = \dfrac{100}{15} + \dfrac{200}{24}

= \dfrac{100}{15} + \dfrac{100}{12}

= \left( \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{12} \right) \times 100

= \left( \dfrac{4}{60} + \dfrac{5}{60} \right) \times 100

= \dfrac{9}{60} \times 100

Jadi waktu yang dibutuhkan jika mesin pompa merk A dan merk B digunakan bersama-sama adalah \dfrac{60}{9} menit dalam mengisi tangki 100 liter atau 6\dfrac{2}{3} menit.

Contoh 4.

Jika A dan B bekerja bersama, mereka dapat menyelesaikan pekerjaan dalam 4 hari. Jika B dan C bekerja bersama, mereka dapat menyelesaikan dalam waktu 3 hari. Sedangkan jika A, B, dan C bekerja bersama, mereka dapat menyelesaikan dalam 2 hari. Apabila mereka bekerja sendiri maka B dapat menyelesaikan pekerjaan dalam?

\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} = \dfrac{1}{4} … (i)

\dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{3} … (ii)

\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{2} … (iii)

Substitusi pers (i) ke pers (ii), diperoleh

\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{2}

\Leftrightarrow \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}

Selanjutnya substitusi nilai \dfrac{1}{C} ke pers (ii), diperoleh

\dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{3}

\Leftrightarrow \dfrac{1}{B} = \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}.

Jadi, B meneyelesaiakan pekerjaan dalam waktu 12 hari.

2 comments on “Bekerja Bersama-Sama

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s