Lingkaran Dalam Segitiga


Tulisan kali ini membahas tentang Lingkaran Dalam Segitiga, yaitu bagaimana menghitung panjang jari-jari lingkaran yang ada dalam segitiga. Dalam hal ini, akan dimanfaatkan garis bagi segitiga, yaitu garis yang membagi sudut segitiga menjadi dua sama besar. Misalkan dipunyai segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b dan c, akan dibentuk lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Pertama, dibuat terlebih dahulu garis bagi setiap sudut segitiga. Selanjutnya titik perpotongan dari garis bagi ini yang akan jadi titik pusat lingkaran. Kemudian dari titik pusat, ditarik garis ke ketiga sisi segitiga sedemikian hingga garis-garis tersebut tegak lurus dengan sisi segitiga, yaitu OE \bot BC, OD \bot AB dan OF \bot AC. Selanjutnya baru dibuat lingkaran yang melalui titik D,E dan F serta melalui titik pusat O. (perhatikan gambar)LDS_01

Seperti yang terlihat pada gambar bahwa garis OD, OE dan OE merupakan jari-jari lingkaran sekaligus merupakan tinggi dari masing-masing segitiga AOB, BOC dan COA. Sehingga berakibat OD = OE = OE = r. Oleh karena itu, untuk mencari jari-jari lingkaran ini, akan dimanfaatkan hubungan dari luas –segitiga-segitiga tersebut. Perhatikan bahwa

\text{Luas } \triangle ABC = \text{Luas } \triangle AOB + \text{Luas } \triangle BOC + \text{Luas } \triangle COA

= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot OD + \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot OE + \dfrac{1}{2} \cdot CA \cdot OF

= \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot r + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot r + \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot r

= \dfrac{1}{2} r (c + a + b)

= \dfrac{1}{2} r K \triangle

= r s

r = \dfrac{L}{s}

Dengan s merupakan setengah keliling lingkaran dan dengan menggunakan Formula Heron, diperoleh \text{Luas } \triangle ABC = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}. Oleh karena itu

r = \dfrac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}.

Contoh 1.

Diberikan segitiga siku-siku yang panjang sisi siku-sikunya adalah 12 cm dan 16 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran yang menyinggung ketiga Six segitiga tersebut.

Karena segitiganya merupakan segitiga siku-siku, oleh karena itu untuk menentukan luas segitiga tersebut tidak perlu menggunakan Formula Heron. Perhatikan bahwa

Luas segitiga = \dfrac{1}{2} at

= \dfrac{1}{2} 12 \cdot 16

= 96

Selanjutnya untuk menjadi panjang sisi miring segitiga, gunakan Pythagoras.

sisi miring = \sqrt{12^2+16^2}

= \sqrt{144+256}

= \sqrt{400}

= 20

Sehingga diperoleh keliling lingkarannya adalah 12 + 16 + 20 = 48 cm. Oleh karena itu,

r = \dfrac{L \triangle}{s}

= \dfrac{96}{48}

= 2

Jadi, panjang jari-jari lingkarannya adalah 2 cm.

Contoh 2.

Diketahui panjang sebuah sisi segitiga sebarang adalah 4 cm, 6 cm dan 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga yang menyentuh ketiga sisi segitiga tersebut.

s = \dfrac{a+b+c}{2}

= \dfrac{4+6+8}{2} = 9

r = \dfrac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}

= \dfrac{2\sqrt{9(9-4)(9-6)(9-8)}}{9}

= \dfrac{2\sqrt{9(5)(3)(1)}}{9}

= \dfrac{3\sqrt{(5)(3)(1)}}{9}

= \dfrac{1}{3} \sqrt{15}

Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah \dfrac{1}{3} \sqrt{15} ~cm.

Contoh 3.

Diketahui sebuah lingkaran tepat berada dalam segitiga sama sisi dan menyentuh ketiga sisi segitiga tersebut. Jika panjang jari-jari lingkaran adalah 7 cm, berapakah keliling dan luas segitiga tersebut?

Misal panjang sisi segitiga tersebut adalah a~cm, maka diperoleh s = \dfrac{3a}{2}. Oleh karena itu

r = \dfrac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}

7 = \dfrac{\sqrt{\dfrac{3}{2}a \left(\dfrac{3}{2}a-a \right) \left(\dfrac{3}{2}a-a \right) \left(\dfrac{3}{2}a-a \right)}}{\dfrac{3}{2}a}

7 \cdot \dfrac{3}{2}a = \sqrt{\dfrac{3}{2}a \cdot \dfrac{1}{2}a \cdot \dfrac{1}{2}a \cdot \dfrac{1}{2}a}

7 \cdot \dfrac{3}{2}a = \sqrt{\dfrac{3}{2^4}a^4}

7 \cdot \dfrac{3}{2}a = \dfrac{1}{2^2} \cdot a^2 \sqrt{3}

7 \cdot 3 = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{3}

42 = a \sqrt{3}

a = \dfrac{42}{\sqrt{3}} = \dfrac{42}{3} \sqrt{3}

Oleh karena itu, diperoleh

Keliling segitiga = 3a

= 3 \cdot \dfrac{42}{3} \sqrt{3}

= 42 \sqrt{3}

Jadi, keliling segitiga sama sisi tersebut adalah 42 \sqrt{3}~cm

Selanjutnya akan dicari luas segitiga. Perhatikan

r = \dfrac{L \triangle}{s}

L \triangle = rs

= \dfrac{1}{2}Kr

= \dfrac{1}{2} \cdot 42 \sqrt{3} \cdot 7

= 21 \cdot 7 \sqrt{3}

= 147 \sqrt{3}

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 147 \sqrt{3}~cm^2.

Contoh 4.

Diketahui segitiga siku-siku ABC seperti pada gambar di bawah ini. Misal panjang AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Tentukan luas daerah yang diarsir.LDS_02

Perhatikan,

Luas segitiga = \dfrac{1}{2}(AB)(BC)

= \dfrac{1}{2}(6)(8)

= 24

Karena segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku, maka untuk mencari sisi miringnya dapat menggunakan Pythagoras. Sehingga diperoleh AC = 10~cm.

Selanjutnya, akan dicari panjang jari-jari lingkaran.

s = \dfrac{AB+BC+CA}{2} = 12

r = \dfrac{L \triangle}{s}

= \dfrac{\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}}{12}

= \dfrac{\sqrt{12(6)(4)(2)}}{12}

= \dfrac{\sqrt{12(4)(12)}}{12}

= \dfrac{\cdot 12 \cdot 2}{12}

= 2

Luas Lingkaran = 3,14 r^2

= 3,14(4)

= 12,56

Luas daerah yang diarsir =  Luas Segitiga – Luas Lingkaran

= 24-12,56

= 11,44

Luas daerah yang diarsir 11,44~cm^2.

3 comments on “Lingkaran Dalam Segitiga

  1. Ping-balik: Lingkaran Luar Segitiga | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s