Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran


Misal diberikan dua lingkaran yang berpusat di M dan N yang berturut-turut memiliki jari-jari R dan r serta jarak antar titik pusat kedua lingkarannya adalah p (perhatikan gambar di bawah ini).GSPD_01

Bagaimana cara menentukan panjang garis singgung kedua lingkaran tersebut?

Pertama dibuat garis yang menyinggung kedua lingkaran tersebut, misal sebut garis AB dengan titik A dan B menyinggung masing-masing lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa garis yang menyinggung kedua lingkaran adalah tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang bersangkutan. Dalam hal ini, garis singgung yang seperti ini dikenal dengan nama Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran.

Dalam menentukan panjang garis singgung persekutuan ini, akan dimanfaatkan Pythagoras sehingga kita harus membentuk segitiga siku-siku. Perhatikan garis singgung AB, apabila garis AB digeser sedemikian hingga membentuk garis ON dan sejajar dengan garis AB dengan titik B berhimpit dengan titik pusat lingkaran yaitu titik N, maka akan terbentuk segitiga MNO yang siku-siku di O. Dari sini, berakibat panjang AB = ON dan panjang AO=BN. Karena panjang AO=BN=r, berakibat panjang MO = R+r (perhatikan gambar di bawah ini).GSPD_02

Selanjutnya dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh

NO = \sqrt{MN^2-MO^2}

d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}

dengan p adalah jarak pusat kedua lingkaran.

Contoh 1.

Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat M dan N, dengan panjang jari-jari berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jika jarak titik M dan N adalah 17 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah …

Diketahui : R = 10 cm, r = 5 cm dan p = 17 cm

d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}

= \sqrt{17^2-(10+5)^2}

= \sqrt{17^2-15^2}

= \sqrt{289-125}

= \sqrt{64} = 8

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 8 cm.

Contoh 2.

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 17 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain!

Diketahui : d = 15 cm, p = 17 cm dan r = 3 cm

Ditanya : R = …

d^2 = p^2-(R+r)^2

15^2 = 17^2-(R+3)^2

255 = 289-(R+3)^2

(R+3)^2 = 289-225 = 64

R+3 = 8

R = 5

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lainnya adalah 5 cm.

Contoh 3.

Perhatikan gambar di bawah ini.GSPD_03

Diberikan dua buah lingkaran yang berpusat di A dan B serta masing-masing lingkaran berjari-jari 16 cm dan 8 cm. Misal AB merupakan garis yang menghubungkan kedua titik pusat dengan panjang 30 cm serta MN merupakan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran. Jika dibuat garis AO sedemikian hingga sejajar dengan garis MN serta perbandingan MC dan CN adalah 2 : 1. Berapakah luas bangun ACNO?

Dalam mencari luas bangun datar tersebut, jika diperhatikan bangun datar itu dapat dipandang sebagai bangun trapesium dengan AO dan CN sebagai dua sisi yang sejajar dan ON sebagai tingginya. Oleh karena itu, perhatikan

AO = \sqrt{AB^2-BO^2}

= \sqrt{30^2-(16+8)^2}

= \sqrt{30^2-24^2}

= \sqrt{900-576}

= \sqrt{324}

= 18 = MN

Karena MC : CN = 2 : 1, diperoleh

CN = \dfrac{1}{3} \cdot MN

= \dfrac{1}{3} \cdot 18 = 6

Luas ACNO = \dfrac{(AO + CN) \times NO}{2}

= \dfrac{(18 + 6) \times 16}{2}

= \dfrac{24 \times 16}{2}

= 24 \times 8 = 192

Jadi, luas bangun ACNO adalah 192 cm2.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s