Apr 8 2016

Lingkaran Luar Segitiga


Setelah pada tulisan sebelumnya tentang Lingkaran Dalam Segitiga, selanjutnya tulisan kali ini membahas tentang Lingkaran Luar Segitiga, yaitu bagaimana menghitung panjang jari-jari lingkaran yang ada luar segitiga. Sama seperti pada tulisan sebelumnya, di sini akan dimanfaatkan garis bagi segitiga, yaitu garis yang membagi sudut segitiga menjadi dua sama besar sertasudut keliling. Misalkan dipunyai segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b dan c, akan dibentuk lingkaran yang menyinggung ketiga titik sudut segitiga tersebut, yaitu titik A, B dan C. Pertama, dibuat terlebih dahulu garis bagi pada sudut C, namakan garis CD. Selanjutnya dari buat garis AD sedemikian hingga AD tegak lurus dengan AC. Berakibat terbentuk segtiga CAD yang siku-siku di A. Dari sini, buat lingkaran dengan pusat O dimana O berada ditengah-tengah garis CD. (perhatikan gambar)LLS_01

Perhatikan bahwa \angle ADC = \angle EBC (karena sudut keliling) dan \angle CAD = \angle CEB = 90^0. Oleh karena itu, \triangle ADC \sim \triangle EBC. Berakibat

\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{CA}{CE}

\Leftrightarrow CD = \dfrac{CA}{CE} \times CB

\Leftrightarrow CD = \dfrac{a \cdot b}{CE}

Selanjutnya perhatikan segitiga ABC

\text{Luas } \triangle ABC = \dfrac{1}{2} \times AB \times CE

CE = \dfrac{2 \text{Luas } \triangle ABC}{AB}

= \dfrac{2 \text{Luas } \triangle ABC}{c}

Selanjutnya diperoleh,

CD = \dfrac{a \cdot b}{CE}

= \dfrac{a \cdot b}{\dfrac{2 \text{Luas } \triangle ABC}{c}}

= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{2 \text{Luas } \triangle ABC}

Karena CD adalah diameter lingkaran, maka

r = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \text{Luas } \triangle ABC}

Jadi, r = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 L \triangle}

dengan L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} dan s = \dfrac{a+b+c}{2}

Contoh 1.

Diberikan segitiga ABC sebarang dengan panjang sisi 5 cm, 6 cm dan 9 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran yang menyinggung ketiga titik sudut segitiga tersebut.

s = \dfrac{a+b+c}{2}

= \dfrac{5+6+9}{2} = 10

Luas segitiga = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

= \sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)}

= \sqrt{10(5)(4)(1)}

= \sqrt{200}

= 10\sqrt{2}

r = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \text{Luas } \triangle}

= \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 9}{4 \cdot 10\sqrt{2}}

= \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 9}{4 \cdot 10\sqrt{2}}

= \dfrac{3 \cdot 9}{4 \sqrt{2}}

= \dfrac{27}{8} \sqrt{2}

Jadi, panjang jari-jari lingkarannya adalah \dfrac{27}{8} \sqrt{2}~cm.

Contoh 2.

Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi-sisinya adalah 3 cm, 4 cm dan 5 cm. Tentukan perbandingan jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut.LLS_02

L \triangle = \dfrac{1}{2} 4 \times 3 = 6

s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6

Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga

r_D = \dfrac{L \triangle}{s}

Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

r_L = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 L \triangle}

Dari kedua rumus diatas, perhatikan

\dfrac{r_D}{r_L} = \dfrac{\dfrac{L \triangle}{s}}{\dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 L \triangle}}

= \dfrac{L \triangle}{s} \times \dfrac{4 L \triangle}{a \cdot b \cdot c}

= \dfrac{4 (L \triangle)^2}{s \cdot a \cdot b \cdot c}

= \dfrac{4 (6)^2}{6 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}

= \dfrac{6}{3 \cdot 5}

= \dfrac{2}{5}

Jadi, perbandingan jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut adalah \dfrac{2}{5}.

Contoh 3.

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sudut B sebesar 600 dan panjang AB serta BC berturut-turut adalah 6 cm dan 10 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran luar!

Untuk mencari luas segitiga ABC, akan dimanfaatin rumus Luas Segitiga Tanpa Diketahui Tinggi atau dikenal dengan aturan sinus.

L \triangle = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \angle B

= \dfrac{1}{2} 6 \cdot 10 \cdot \sin 60^0

= 30 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

= 15 \sqrt{3}

Selanjutnya untuk mencari keliling segitiga, terlebih dahulu akan dimanfaatkan Aturan Kosinus untuk mencari panjang AC.

AC^2 = AB^2+BC^2-2(AB)(BC) \cos 60^0

= 6^2+10^2-2(6)(10) \dfrac{1}{2}

= 36+100-60

= 76

AC = \sqrt{72} = 2\sqrt{19}

Selanjutnya diperoleh,

r_L = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 L \triangle}

= \dfrac{6 \cdot 10 \cdot 2\sqrt{19}}{4 \cdot 15 \sqrt{3}}

= \dfrac{10 \sqrt{19}}{5 \sqrt{3}}

= \dfrac{10 \sqrt{19}}{15} \sqrt{3}

= \dfrac{2}{3} \sqrt{57}

Jadi, panjang jari-jari lingkarannya adalah \dfrac{2}{3} \sqrt{57}~cm.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s