Ring


Pada tulisan sebelumnya sudah dibahas tentang sistem matematika dengan satu operasi biner yang memenuhi aksioma tertentu, yaitu Grup. Selanjutnya, terdapat sistem matematika dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, yakni dinamakan Ring. Misal dipunyai himpunan R tak kosong dengan operasi biner + dan \cdot, R disebut Ring jika memenuhi beberapa aksioma yaitu R terhadap operasi + merupakan Grup Komutatif dan R terhadap operasi \cdot bersifat asosiatif serta R terhadap operasi + dan \cdot bersifat distributif, baik kiri maupun kanan. Berikut diberikan definisi lengkapnya.

Definisi 1.

Misal R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan + dan perkalian \cdot. Maka R adalah ring jika memenuhi:

a.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a+b)+c=a_(b+c).

b.  Terdapat elemen identitas e \in R sedemikian hingga a+0=0+a=a untuk setiap a \in R.

c.  Untuk setiap a \in R, terdapat a^{-1} \in R sedemikian hingga a+a^{-1} = a^{-1}a = e.

d.  Untuk setiap a,b \in R berlaku a+b=b+a.

e.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku (a \cdot b ) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).

f.  Untuk setiap a,b,c \in R berlaku a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c dan (b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a.

Contoh ring yang paling terkenal adalah bilangan bulat \mathbb{Z}, rasional \mathbb{Q}, riil \mathbb{R} dan kompleks \mathbb{C} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa.

Contoh 2.

Apakah \mathbb{Z}_6 dengan operasi penjumlahan +_6 dan perkalian \cdot merupakan ring?

Penyelesaian.

Sesuai dengan definisi ring di atas, maka harus dicek 6 aksioma di atas. Ambil sebarang a,b,c \in \mathbb{Z}_6.

a.  Perhatikan

(a +_6 b) +_6 c = (a+b) \mod 6 +_6 c

= ((a+b)+c) \mod 6

= (a+(b+c)) \mod 6

= a +_6 (b+c) \mod 6

= a +_6 (b +_6 c)

b.  Klaim bahwa x adalah elemen identitas pada \mathbb{Z}_6 sedemikian hingga a +_6 x = x +_6 a = a. Perhatikan

a +_6 x = a

(a+x) \mod 6 = a \mod

Berakibat a+x=a. Sehingga diperoleh x=0. Dengan cara yang sama pada x+a=a, diperoleh x=0. Jadi 0 adalah identitas pada \mathbb{Z}_6.

c.  Dengan cara yang sama dengan pembuktian elemen identitas, diperoleh invers dari a adalah -a.

d.  Selanjutnya akan diperiksa sifat komutatif terhadap operasi +_6. Perhatikan

a +_6 b = (a+b) \mod = (b+a) \mod 6 = b +_6 a

e.  Perhatikan

(a \cdot b) \cdot c = (ab) \mod 6 \cdot c

= ((ab)c) \mod 6

= (a(bc)) \mod 6

= a \cdot (bc) \mod 6

= a \cdot (b \cdot c)

f.  Ditinggalkan untuk para pembaca.

Jadi, \mathbb{Z}_6, +_6, \cdot merupakan ring. \square

Contoh 3.

Misalkan \mathbb{Z} adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi penjumlahan + biasa dan perkalian \cdot sebagai berikut a \cdot b = b untuk setiap a,b \in \mathbb{Z}. Apakah \mathbb{Z},+,\cdot merupakan ring ?

Penyelesaian.

Jelas \mathbb{Z}, + merupakan grup komutatif. Ambil sebarang a,b,c \in \mathbb{Z}. Perhatikan

(b + c) \cdot a = a

b \cdot a + c \cdot a = a + a = 2a

Jadi, (b + c) \cdot c \neq b \cdot a + c \cdot a

Karena gagal pada sifat distributif kiri, maka \mathbb{Z},+,\cdot bukan merupakan ring. \square

Jika ring R memenuhi sifat komutatif terhadap operasi perkalian, maka R disebut ring komutatif.

Contoh 4.

Diberikan \mathbb{Z}_4 = \{ 0,1,2,3 \}. Didefinisikan operasi penjumlahan +_4 dan perkalian \bullet_4 sebagai berikut

+_4

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2

 

\bullet_4

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1

 

Apakah \mathbb{Z}_4 merupakan ring komutatif?

Penyelesaian.

Jika diperhatikan pada tabel di atas, setiap dua anggota dikalikan atau dijumlahkan, hasilnya tetap berada pada \mathbb{Z}_4. Dengan kata lain, bahwa \mathbb{Z}_4 tertutup terhadap operasi +_4 dan \bullet_4. Selanjutnya dapat dicek juga bahwa \mathbb{Z}_4 terhadap operasi +_4 merupakan grup komutatif. Dan lebih jauh, terhadap operasi \bullet_4 berlaku sifat asosiatif. Serta \mathbb{Z}_4 bersifat distributif kiri dan kanan terhadap operasi +_4 dan \bullet_4. Kemudian, apabila diperhatikan pada tabel operasi \bullet_4, bahwa operasi \bullet_4 bersifat komutatif. Jadi, \mathbb{Z}_4 merupakan ring komutatif. \square

Contoh 5.

Misal diberikan M_2(\mathbb{Z}) merupakan himpunan matriks 2 \times 2 atas bilangan bulat. Dinotasikan + dan \cdot merupakan penjumlahan dan perkalian biasa pada matriks.

Penyelesaian.

Karena hasil penjumlahan dan perkalian pada M_2(\mathbb{Z}) berada pada M_2(\mathbb{Z}) lagi, sehingga + dan \cdot merupakan operasi biner. Selanjutnya mudah ditunjukkan bahwa (M_2(\mathbb{Z}),+,\cdot) merupakan ring. Pilih

\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{Z}).

Perhatikan,

\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8&5\\ 20&13 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13&20\\ 5&8 \end{bmatrix}

Diperoleh,

\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}.

Jadi, M_2(\mathbb{Z}) bukan ring komutatif. \square

Definisi 6.

Diberikan R ring. Suatu elemen tak nol 1 \in R disebut elemen identitas R jika a1=a=1a untuk setiap a \in R.

Apakah sebarang ring memiliki elemen identitas ? Belum tentu. Jika ring R mememiliki elemen identitas, dinamakan ring dengan elemen identitas.

Contoh 7.

Diberikan H = \{0,2,4,6,8 \} terhadap penjumlahan modul 10 dan perklaian modul 10 merupakan ring dengan elemen identitas.

Penyelesaian.

Ditinggalkan untuk para pembaca untuk membuktikan (H,+_{10},\bullet_{10}) merupakan ring. Perhatikan tabel berikut,

\bullet_{10}

0

2

4

6

8

0

0

0

0

0

0

2

0

4

8

2

6

4

0

8

6

4

2

6

0

2

4

6

8

8

0

6

2

8

4

Diperhatikan tabel diatas, dapat disimpulkan bahwa 6 merupakan identitas dari H. Jadi, H merupakan ring dengan elemen identitas. \square

Iklan

One comment on “Ring

  1. Ping-balik: Sifat-Sifat Ring | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s