Apr 21 2016

Ring

Pada tulisan sebelumnya sudah dibahas tentang sistem matematika dengan satu operasi biner yang memenuhi aksioma tertentu, yaitu Grup. Selanjutnya, terdapat sistem matematika dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, yakni dinamakan Ring. Misal dipunyai himpunan $R$ tak kosong dengan operasi biner $+$ dan $\cdot$ , $R$ disebut Ring jika memenuhi beberapa aksioma yaitu $R$ terhadap operasi $+$ merupakan Grup Komutatif dan $R$ terhadap operasi $\cdot$ bersifat asosiatif serta $R$ terhadap operasi $+$ dan $\cdot$ bersifat distributif, baik kiri maupun kanan. Berikut diberikan definisi lengkapnya.

Definisi 1.

Misal $R$ adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan $+$ dan perkalian $\cdot$ . Maka $R$ adalah ring jika memenuhi:

a. Untuk setiap $a,b,c \in R$ berlaku $(a+b)+c=a_(b+c)$ .

b. Terdapat elemen identitas $e \in R$ sedemikian hingga $a+0=0+a=a$ untuk setiap $a \in R$ .

c. Untuk setiap $a \in R$ , terdapat $a^{-1} \in R$ sedemikian hingga $a+a^{-1} = a^{-1}a = e$ .

d. Untuk setiap $a,b \in R$ berlaku $a+b=b+a$ .

e. Untuk setiap $a,b,c \in R$ berlaku $(a \cdot b ) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ .

f. Untuk setiap $a,b,c \in R$ berlaku $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ dan $(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$ .

Contoh ring yang paling terkenal adalah bilangan bulat $\mathbb{Z}$ , rasional $\mathbb{Q}$ , riil $\mathbb{R}$ dan kompleks $\mathbb{C}$ terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa.

Contoh 2.

Apakah $\mathbb{Z}_6$ dengan operasi penjumlahan $+_6$ dan perkalian $\cdot$ merupakan ring?

Penyelesaian.

Sesuai dengan definisi ring di atas, maka harus dicek 6 aksioma di atas. Ambil sebarang $a,b,c \in \mathbb{Z}_6$ .

a. Perhatikan

$(a +_6 b) +_6 c = (a+b) \mod 6 +_6 c$

$= ((a+b)+c) \mod 6$

$= (a+(b+c)) \mod 6$

$= a +_6 (b+c) \mod 6$

$= a +_6 (b +_6 c)$

b. Klaim bahwa $x$ adalah elemen identitas pada $\mathbb{Z}_6$ sedemikian hingga $a +_6 x = x +_6 a = a$ . Perhatikan

$a +_6 x = a$

$(a+x) \mod 6 = a \mod$

Berakibat $a+x=a$ . Sehingga diperoleh $x=0$ . Dengan cara yang sama pada $x+a=a$ , diperoleh $x=0$ . Jadi $0$ adalah identitas pada $\mathbb{Z}_6$ .

c. Dengan cara yang sama dengan pembuktian elemen identitas, diperoleh invers dari $a$ adalah $-a$ .

d. Selanjutnya akan diperiksa sifat komutatif terhadap operasi $+_6$ . Perhatikan

$a +_6 b = (a+b) \mod = (b+a) \mod 6 = b +_6 a$

e. Perhatikan

$(a \cdot b) \cdot c = (ab) \mod 6 \cdot c$

$= ((ab)c) \mod 6$

$= (a(bc)) \mod 6$

$= a \cdot (bc) \mod 6$

$= a \cdot (b \cdot c)$

f. Ditinggalkan untuk para pembaca.

Jadi, $\mathbb{Z}_6, +_6, \cdot$ merupakan ring. $\square$

Contoh 3.

Misalkan $\mathbb{Z}$ adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi penjumlahan $+$ biasa dan perkalian $\cdot$ sebagai berikut $a \cdot b = b$ untuk setiap $a,b \in \mathbb{Z}$ . Apakah $\mathbb{Z},+,\cdot$ merupakan ring ?

Penyelesaian.

Jelas $\mathbb{Z}, +$ merupakan grup komutatif. Ambil sebarang $a,b,c \in \mathbb{Z}$ . Perhatikan

$(b + c) \cdot a = a$

$b \cdot a + c \cdot a = a + a = 2a$

Jadi, $(b + c) \cdot c \neq b \cdot a + c \cdot a$

Karena gagal pada sifat distributif kiri, maka $\mathbb{Z},+,\cdot$ bukan merupakan ring. $\square$

Jika ring $R$ memenuhi sifat komutatif terhadap operasi perkalian, maka $R$ disebut ring komutatif.

Contoh 4.

Diberikan $\mathbb{Z}_4 = \{ 0,1,2,3 \}$ . Didefinisikan operasi penjumlahan $+_4$ dan perkalian $\bullet_4$ sebagai berikut

$+_4$	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

$\bullet_4$	1	2	3
0	0	0	0
1	1	2	3
2	2	0	2
3	3	2	1

Apakah $\mathbb{Z}_4$ merupakan ring komutatif?

Penyelesaian.

Jika diperhatikan pada tabel di atas, setiap dua anggota dikalikan atau dijumlahkan, hasilnya tetap berada pada $\mathbb{Z}_4$ . Dengan kata lain, bahwa $\mathbb{Z}_4$ tertutup terhadap operasi $+_4$ dan $\bullet_4$ . Selanjutnya dapat dicek juga bahwa $\mathbb{Z}_4$ terhadap operasi $+_4$ merupakan grup komutatif. Dan lebih jauh, terhadap operasi $\bullet_4$ berlaku sifat asosiatif. Serta $\mathbb{Z}_4$ bersifat distributif kiri dan kanan terhadap operasi $+_4$ dan $\bullet_4$ . Kemudian, apabila diperhatikan pada tabel operasi $\bullet_4$ , bahwa operasi $\bullet_4$ bersifat komutatif. Jadi, $\mathbb{Z}_4$ merupakan ring komutatif. $\square$

Contoh 5.

Misal diberikan $M_2(\mathbb{Z})$ merupakan himpunan matriks $2 \times 2$ atas bilangan bulat. Dinotasikan $+$ dan $\cdot$ merupakan penjumlahan dan perkalian biasa pada matriks.

Penyelesaian.

Karena hasil penjumlahan dan perkalian pada $M_2(\mathbb{Z})$ berada pada $M_2(\mathbb{Z})$ lagi, sehingga $+$ dan $\cdot$ merupakan operasi biner. Selanjutnya mudah ditunjukkan bahwa $(M_2(\mathbb{Z}),+,\cdot)$ merupakan ring. Pilih

$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{Z})$ .

Perhatikan,

$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8&5\\ 20&13 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13&20\\ 5&8 \end{bmatrix}$

Diperoleh,

$\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 4&3\\ 2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}$ .

Jadi, $M_2(\mathbb{Z})$ bukan ring komutatif. $\square$

Definisi 6.

Diberikan $R$ ring. Suatu elemen tak nol $1 \in R$ disebut elemen identitas $R$ jika $a1=a=1a$ untuk setiap $a \in R$ .

Apakah sebarang ring memiliki elemen identitas ? Belum tentu. Jika ring $R$ mememiliki elemen identitas, dinamakan ring dengan elemen identitas.

Contoh 7.

Diberikan $H = \{0,2,4,6,8 \}$ terhadap penjumlahan modul 10 dan perklaian modul 10 merupakan ring dengan elemen identitas.

Penyelesaian.

Ditinggalkan untuk para pembaca untuk membuktikan $(H,+_{10},\bullet_{10})$ merupakan ring. Perhatikan tabel berikut,

$\bullet_{10}$	2	4	6	8
0	0	0	0	0
2	4	8	2	6
4	8	6	4	2
6	2	4	6	8
8	6	2	8	4

Diperhatikan tabel diatas, dapat disimpulkan bahwa 6 merupakan identitas dari $H$ . Jadi, $H$ merupakan ring dengan elemen identitas. $\square$

3 comments on “Ring”

Ping-balik: Sifat-Sifat Ring | Math IS Beautiful
Muawiah

Maret 18, 2018 @ 9:38 am

Bagaimana cara membuktikan bahwa suatu matrik adalah ring?

Balas
- aim
  
  Maret 21, 2018 @ 9:11 am
  
  lihat bentuk matriksnya seperti apa, kemudian tinggal kembalikan kedefinisi Ring nya
  
  Balas

Tinggalkan Balasan ke aim Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Vailimlim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	april pada Penyelesaian Persamaan Diferen…
	Riska pada Membuat Tabel dengan LaTe…
	Forum Matematika pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	nilasw pada Teorema Ceva
	Wildan Bagus Wicakso… pada Luas Segiempat Sembarang
	Miftah pada Luas Segiempat Sembarang
	Adisty pada Luas Segiempat Sembarang
	Adisty pada Luas Segiempat Sembarang
	Bung Sandy pada Luas Segiempat Sembarang

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

3 comments on “Ring”

Tinggalkan Balasan ke aim Batalkan balasan