Pada tulisan sebelumnya sudah dibahas tentang sistem matematika dengan satu operasi biner yang memenuhi aksioma tertentu, yaitu Grup. Selanjutnya, terdapat sistem matematika dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian, yakni dinamakan Ring. Misal dipunyai himpunan tak kosong dengan operasi biner
dan
,
disebut Ring jika memenuhi beberapa aksioma yaitu
terhadap operasi
merupakan Grup Komutatif dan
terhadap operasi
bersifat asosiatif serta
terhadap operasi
dan
bersifat distributif, baik kiri maupun kanan. Berikut diberikan definisi lengkapnya.
Definisi 1.
Misal adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan
dan perkalian
. Maka
adalah ring jika memenuhi:
a. Untuk setiap berlaku
.
b. Terdapat elemen identitas sedemikian hingga
untuk setiap
.
c. Untuk setiap , terdapat
sedemikian hingga
.
d. Untuk setiap berlaku
.
e. Untuk setiap berlaku
.
f. Untuk setiap berlaku
dan
.
Contoh ring yang paling terkenal adalah bilangan bulat , rasional
, riil
dan kompleks
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa.
Contoh 2.
Apakah dengan operasi penjumlahan
dan perkalian
merupakan ring?
Penyelesaian.
Sesuai dengan definisi ring di atas, maka harus dicek 6 aksioma di atas. Ambil sebarang .
a. Perhatikan
b. Klaim bahwa adalah elemen identitas pada
sedemikian hingga
. Perhatikan
Berakibat . Sehingga diperoleh
. Dengan cara yang sama pada
, diperoleh
. Jadi
adalah identitas pada
.
c. Dengan cara yang sama dengan pembuktian elemen identitas, diperoleh invers dari adalah
.
d. Selanjutnya akan diperiksa sifat komutatif terhadap operasi . Perhatikan
e. Perhatikan
f. Ditinggalkan untuk para pembaca.
Jadi, merupakan ring.
Contoh 3.
Misalkan adalah himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi penjumlahan
biasa dan perkalian
sebagai berikut
untuk setiap
. Apakah
merupakan ring ?
Penyelesaian.
Jelas merupakan grup komutatif. Ambil sebarang
. Perhatikan
Jadi,
Karena gagal pada sifat distributif kiri, maka bukan merupakan ring.
Jika ring memenuhi sifat komutatif terhadap operasi perkalian, maka
disebut ring komutatif.
Contoh 4.
Diberikan . Didefinisikan operasi penjumlahan
dan perkalian
sebagai berikut
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
3 |
0 |
2 |
2 |
3 |
0 |
1 |
3 |
3 |
0 |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
2 |
0 |
2 |
3 |
0 |
3 |
2 |
1 |
Apakah merupakan ring komutatif?
Penyelesaian.
Jika diperhatikan pada tabel di atas, setiap dua anggota dikalikan atau dijumlahkan, hasilnya tetap berada pada . Dengan kata lain, bahwa
tertutup terhadap operasi
dan
. Selanjutnya dapat dicek juga bahwa
terhadap operasi
merupakan grup komutatif. Dan lebih jauh, terhadap operasi
berlaku sifat asosiatif. Serta
bersifat distributif kiri dan kanan terhadap operasi
dan
. Kemudian, apabila diperhatikan pada tabel operasi
, bahwa operasi
bersifat komutatif. Jadi,
merupakan ring komutatif.
Contoh 5.
Misal diberikan merupakan himpunan matriks
atas bilangan bulat. Dinotasikan
dan
merupakan penjumlahan dan perkalian biasa pada matriks.
Penyelesaian.
Karena hasil penjumlahan dan perkalian pada berada pada
lagi, sehingga
dan
merupakan operasi biner. Selanjutnya mudah ditunjukkan bahwa
merupakan ring. Pilih
.
Perhatikan,
Diperoleh,
.
Jadi, bukan ring komutatif.
Definisi 6.
Diberikan ring. Suatu elemen tak nol
disebut elemen identitas
jika
untuk setiap
.
Apakah sebarang ring memiliki elemen identitas ? Belum tentu. Jika ring mememiliki elemen identitas, dinamakan ring dengan elemen identitas.
Contoh 7.
Diberikan terhadap penjumlahan modul 10 dan perklaian modul 10 merupakan ring dengan elemen identitas.
Penyelesaian.
Ditinggalkan untuk para pembaca untuk membuktikan merupakan ring. Perhatikan tabel berikut,
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
4 |
8 |
2 |
6 |
4 |
0 |
8 |
6 |
4 |
2 |
6 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
8 |
0 |
6 |
2 |
8 |
4 |
Diperhatikan tabel diatas, dapat disimpulkan bahwa 6 merupakan identitas dari . Jadi,
merupakan ring dengan elemen identitas.
Ping-balik: Sifat-Sifat Ring | Math IS Beautiful
Bagaimana cara membuktikan bahwa suatu matrik adalah ring?
lihat bentuk matriksnya seperti apa, kemudian tinggal kembalikan kedefinisi Ring nya