Invers Matriks (2)


Sebenarnya saya sudah menulis tentang Invers Matriks ini, pada tulisan sebelumnya saya memanfaatkan Operasi Baris Elementer. Pada tulisan ini saya mencoba menulis kembali bagaimana mencari invers dengan cara berbeda dari tulisan sebelumnya. Tapi pada dasarnya kedua cara ini hampir sama, karena sama-sama berlandaskan eliminasi. Untuk kalian yang belum pernah mendapatkan Operasi Baris Elementer, tentu cara ini lebih mudah dipahami. Baiklah, seperti yang kita tahu bahwa suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan \neq 0). Oleh karena itu, tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang seperti apa yang memiliki invers? Yaitu matriks kuadrat A dikatakan memiliki invers matriks B jika AB = B A = I. Selanjutnya matriks A dikatakan yang dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A. Perhatikan contoh berikut

Contoh 1.

Hitung invers matriks A_{2\times 2} berikut \begin{bmatrix} 3&5\\1&2\\ \end{bmatrix}.

Penyelesaian.

Misal B merupakan invers dari matriks A, maka diperoleh AB+BA=I. Perhatikan

Misal B = \begin{bmatrix} a&b\\c&d\\ \end{bmatrix}, maka diperoleh

AB = I

\begin{bmatrix} 3&5\\1&2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a&b\\c&d\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 3a+5c&3b+5d\\a+2c&b+2d\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{bmatrix}

Sehingga diperoleh,

3a+5c = 1 … (i)

3b+5d = 0 … (ii)

a+2c = 0 … (iii)

b+2d = 1 … (iv)

Substitusi pers (iii) ke pers (i), didapat

3(-2c)+5c = 1

-6c+5c = 1 \Rightarrow c=-1

Selanjutnya substitusi c=-1, ke pers (iii), diperoleh a=2.

Substitusi pers (iv) ke pers (ii), didapat

3(1-2d)+5d = 0

3-6d+5d = 0

-d = -3 \Rightarrow d=3

Selanjutnya substitusi d=3, ke pers (iv), diperoleh b=-5.

Jadi, diperoleh invers matriks A adalah B = \begin{bmatrix} 2&-5\\-1&3\\ \end{bmatrix}

Contoh 2.

Carilah invers matriks 3 \times 3 yaitu C = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8\\ \end{bmatrix}

Penyelesaian.

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Misal D = \begin{bmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end{bmatrix} adalah invers dari matriks C, maka

DC = I

\begin{bmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&5&3\\ 1&0&8\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a+2b+c & 2a+b & 3a+3b+8c\\ d+2e+f & 2d+e & 3d+3e+8f\\ g+2b+c & 2g+h & 3g+3h+8i\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}

Sehingga diperoleh

a+2b+c = 1 … (i)

2a+5b = 0 … (ii)

3a+3b+8c = 0 … (iii)

d+2e+f = 0 …(iv)

2d+5e = 1 … (v)

3d+3e+8f = 0 … (vi)

g+2h+i = 0 … (vii)

2g+5h = 0 … (viii)

3g+3h+8i = 1 … (ix)

Eliminasi pers (i) dan (iii), diperoleh

a+2b+c = 1 (x8)

3a+3b+8c = 0 (x1)

———————————  –

8a+16b+8c = 8

3a+3b+8c = 0

———————————  –

5a+13b = 8 … (x)

Selanjutnya eliminasi pers (ii) dan pers (x), diperoleh

2a+5b = 0 (x5)

5a+13b = 8 (x2)

—————————–  –

10a+25b = 0

10a+26b = 16

—————————–  –

-b = -16 \Rightarrow b=16

Selanjutnya dengan mensubstitusikan b=16 ke pers (ii), diperoleh 2a+5(16)=0 atau a=-40. Kemudian dengan mensubtitusikan a=-40 dan b=16 ke pers (i), diperoleh

a+2b+c = 1

-40+2(16)+c = 1

-8+c = 1

c = 9

Eliminasi pers (iv) dan (vi), diperoleh

d+2e+f = 0 (x8)

3d+3e+8f = 0 (x1)

———————————  –

8d+16e+8f = 0

3d+3e+8f = 0

———————————  –

5d+13e = 0 … (xi)

Selanjutnya eliminasi pers (v) dan pers (xi), diperoleh

2d+5e = 1 (x5)

5d+13e = 0 (x2)

—————————–  –

10d+25e = 5

10d+26e = 0

—————————–  –

-e = 5 \Rightarrow e=-5

Selanjutnya dengan mensubstitusikan e=-5 ke pers (v), diperoleh 2d+5(-5)=1 atau d=13. Kemudian dengan mensubtitusikan d=13 dan e=-5 ke pers (iv), diperoleh d+2e+f = 0

13+2(-5)+f = 0

3+f = 0

f = -3

Eliminasi pers (vii) dan (ix), diperoleh

g+2h+i = 0 (x8)

3g+3h+8i = 1 (x1)

———————————  –

8g+16h+8i = 0

3g+3h+8i = 1

———————————  –

5g+13h = -1 … (xii)

Selanjutnya eliminasi pers (viii) dan pers (xii), diperoleh

2g+5h = 0 (x5)

5g+13e = -1 (x2)

—————————–  –

10g+25h = 0

10g+26h = -2

—————————–  –

-h = 2 \Rightarrow h=-2

Selanjutnya dengan mensubstitusikan h=-2 ke pers (viii), diperoleh 2g+5(-2)=0 atau g=5. Kemudian dengan mensubtitusikan g=5 dan h=-2 ke pers (vii), diperoleh

g+2h+i = 0

5+2(-2)+f = 0

1+f = 0

f = -1

Jadi, invers dari matriks C adalah D = \begin{bmatrix} -40&16&9\\ 13&-5&-3\\ 5&-2&-1\\ \end{bmatrix}.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s