Invers Matriks Menggunakan Adjoint


Pada blog ini saya sudah menulis bagaimana mencari matriks dengan dua cara yang berbeda, yang pertama menggunakan Operasi Baris Elementer, yaitu dengan membentuk matriks augmentasinya kemudian dilakukan OBE dan cara yang kedua dengan memanfaatkan sifat AB = BA = I di mana B sebagai invers matriks A dan I matriks identitas, yang selanjutnya diselesaikan menggunakan eliminasi (baca di sini). Pada tulisan ini, saya mencoba memanfaatkan matriks adjoint. Apa itu matriks adjoint ? Matriks adjoint itu adalah transpose dari Matriks Kofaktor. Misal $latex A4 adalah suatu matriks yang memiliki invers, maka

A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan invers matriks dari A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}.

Karena A matriks 3 \times 3, maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus.

det(A) = 2(4)(4) + (-1)(5)(2) + 3(0)(1)-2(4)(3)-1(5)(2)-4(0)(-1)

= 32 -10 + 0-24-10-0

= -12

Selanjutnya akan ditentukan Adj(A), tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks A.

Kofaktor dari a_{11} adalah

C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}

= \begin{vmatrix} 4& 5\\ 1& 4 \end{vmatrix} = 4(4)-1(5) = 11

Kofaktor dari a_{12} adalah

C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}

= -1\begin{vmatrix} 0& 5\\ 2& 4 \end{vmatrix} = -1(0(4)-2(5)) = 10

Kofaktor dari a_{13} adalah

C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}

= \begin{vmatrix} 0& 4\\ 2& 1 \end{vmatrix} = 0(1)-2(4) = -8

Kofaktor dari a_{21} adalah

C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}

= -1\begin{vmatrix} -1&3\\ 1&4 \end{vmatrix} = -1(-1(4)-1(3)) = 7

Kofaktor dari a_{22} adalah

C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}

= \begin{vmatrix} 2&3\\ 2&4 \end{vmatrix} = 2(4)-2(3)) = 2

Kofaktor dari a_{23} adalah

C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}

= -1\begin{vmatrix} 2&-1\\ 2&1 \end{vmatrix} = -1(2(1)-2(-1)) = -4

Kofaktor dari a_{31} adalah

C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}

= \begin{vmatrix} -1&3\\ 4&5 \end{vmatrix} = -1(5)-4(3) = -17

Kofaktor dari a_{32} adalah

C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}

= -1\begin{vmatrix} 2&3\\ 0&5 \end{vmatrix} = -1(2(5)-0(3)) = -10

Kofaktor dari a_{33} adalah

C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}

= \begin{vmatrix} 2&-1\\ 0&4 \end{vmatrix} = 2(5)-0(3) = 10

Oleh karena itu, matriks kofaktor dari A adalah \begin{bmatrix} 11&10&-8\\ 7&2&0\\ -17&-10&10 \end{bmatrix}. Karena Adj(A) adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat  Adj(A) = \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}. Sehingga diperoleh invers matriks A adalah A^{-1} = -\dfrac{1}{12} \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}.

Contoh 2.

Tentukan invers matriks dari B = \begin{bmatrix} 8&-3&-5\\ 0&1&2\\ 4&-7&6 \end{bmatrix}.

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor.  Tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks B.

Kofaktor dari a_{11} adalah

C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}

= \begin{vmatrix} 1&2\\ -7&6 \end{vmatrix} = 1(6)-2(-7) = 20

Kofaktor dari a_{12} adalah

C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}

= -1\begin{vmatrix} 0&2\\ 4&6 \end{vmatrix} = -1(0(6)-2(4)) = 8

Kofaktor dari a_{13} adalah

C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}

= \begin{vmatrix} 0&1\\ 4&-7 \end{vmatrix} = 0(-7)-1(4) = -4

Kofaktor dari a_{21} adalah

C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}

= -1\begin{vmatrix} -3&-5\\ -7&6 \end{vmatrix} = -1(-3(6)-(-7)(-5)) = -17

Kofaktor dari a_{22} adalah

C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}

= \begin{vmatrix} 8&-5\\ 4&6 \end{vmatrix} = 8(6)-4(-5) = 68

Kofaktor dari a_{23} adalah

C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}

= -1\begin{vmatrix} 8&-3\\ 4&-7 \end{vmatrix} = -1(8(-7)-4(-3)) = 44

Kofaktor dari a_{31} adalah

C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}

= \begin{vmatrix} -3&-5\\ 1&2 \end{vmatrix} = -3(2)-1(-5) = -1

Kofaktor dari a_{32} adalah

C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}

= -1\begin{vmatrix} 8&-5\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(8(2)-0(-5)) = -16

Kofaktor dari a_{33} adalah

C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}

= \begin{vmatrix} 8&-3\\ 0&1 \end{vmatrix} = 8(1)-0(-3)) = 8

Oleh karena itu, diperoleh

det(B) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}

= 0(-17) + 1(68) + 2(44)

= 68+88

= 156

Selanjutnya diperoleh matriks kofaktor dari B adalah \begin{bmatrix} 20&8&-4\\ -17&68&44\\ -1&-16&8 \end{bmatrix}. Karena Adj(A) adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat  Adj(B) = \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}. Sehingga diperoleh invers matriks B adalah B^{-1} = \dfrac{1}{156} \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}.

Contoh 3.

Tentukan invers matriks dari C = \begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&3&0\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}.

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks dengan Eselon Baris. Perhatikan,

1.  Baris Kedua : B_2-2B_1

\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}

2.  Baris Ketiga : B_3-\dfrac{2}{5}B_2

\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&0&-\dfrac{1}{5} \end{bmatrix}

Jadi, set(B) = 1 \cdot 5 \cdot -\dfrac{1}{5} = -1

Selanjutnya akan ditentukan Kofaktor matriks B.

Kofaktor dari a_{11} adalah

C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}

= \begin{vmatrix} 3&0\\ 2&-1 \end{vmatrix} = 3(-1)-0(2) = -3

Kofaktor dari a_{12} adalah

C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}

= -1\begin{vmatrix} 2&0\\ 0&-1 \end{vmatrix} = -1(2(-1)-0(0)) = 2

Kofaktor dari a_{13} adalah

C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}

= \begin{vmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{vmatrix} = 2(2)-3(0) = 4

Kofaktor dari a_{21} adalah

C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}

= -1\begin{vmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{vmatrix} = -1(-1(-1)-1(2)) = 1

Kofaktor dari a_{22} adalah

C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}

= \begin{vmatrix} 1&1\\ 0&-1 \end{vmatrix} = 1(-1)-1(0) = -1

Kofaktor dari a_{23} adalah

C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}

= -1\begin{vmatrix} 1&-1\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(1(2)-0(-1)) = -2

Kofaktor dari a_{31} adalah

C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}

= \begin{vmatrix} -1&1\\ 3&0 \end{vmatrix} = -1(0)-1(3) = -3

Kofaktor dari a_{32} adalah

C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}

= -1\begin{vmatrix} 1&1\\ 2&0 \end{vmatrix} = -1(1(0)-1(2)) = 2

Kofaktor dari a_{33} adalah

C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}

= \begin{vmatrix} 1&-1\\ 2&3 \end{vmatrix} = 1(3)-2(-1) = 5

Oleh karena itu, diperoleh matriks kofaktor dari C adalah \begin{bmatrix} -3&2&4\\ 1&-1&-2\\ -3&2&5 \end{bmatrix}. Karena Adj(A) adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat  Adj(C) = \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix}. Sehingga diperoleh invers matriks B adalah B^{-1} = \dfrac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&-1&3\\ -2&1&-2\\ -4&2&-5 \end{bmatrix}.

Iklan

5 comments on “Invers Matriks Menggunakan Adjoint

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s