Dalil Stewart


Kali ini saya akan menulis tentang geometri, yaitu Dalil Stewart. Dalil ini sangat banyak kegunaanya, tapi pada intinya untuk mempermudah perhitungan. Dalil Stewart ini nantinya akan saya manfaatkan untuk menurunkan rumus Garis Bagi pada segitiga. Gambaran umum untuk dalil ini adalah jika diberikan segitiga ABC sebarang, kemudian dibuat garis CD sedemikian hingga titik D berada pada garis AB, berapa panjang garis CD? Unutk mengitung panjang CD akan digunakan Dalil Stewart ini. Perhatikan segitiga berikut ini.Dalil_Stewart

Pandang \triangle CED

CD^2 = DE^2 + EC^2

EC^2 = CD^2-DE^2 … (i)

Pandang \triangle CEB

CB^2 = CE^2 + EB^2

EC^2 = CB^2-EB^2 … (ii)

Pers (i) = Pers (ii)

CD^2-DE^2 = BC^2-BE^2

CD^2-DE^2 = BC^2-(BD-DE)^2 (karena BE=BD-DE)

CD^2-DE^2 = BC^2-(BD^2-2 \cdot BD \cdot DE + DE^2)

CD^2-DE^2 = BC^2-BD^2+2 \cdot BD \cdot DE-DE^2

CD^2 = BC^2-BD^2+2 \cdot BD \cdot DE

2 \cdot DB \cdot DE = CD^2+DB^2-BC^2

DE = \dfrac{CD^2+DB^2-BC^2}{2 \cdot DB} … (iii)

Pandang \triangle ACD

AC^2 = CE^2 + AE^2

CE^2 = AC^2-AE^2 … (iv)

Pers (i) = Pers (iv)

CD^2-DE^2 = AC^2-AE^2

CD^2-DE^2 = AC^2-(AD+DE)^2 (karena AE=AD+DE)

CD^2-DE^2 = AC^2-(AD^2 + 2 \cdot AD \cdot DE + DE^2)

CD^2-DE^2 = AC^2-AD^2-2 \cdot AD \cdot DE-DE^2

CD^2 = AC^2-AD^2-2 \cdot AD \cdot DE

2 \cdot AD \cdot DE = AC^2-AD^2-CD^2

DE = \dfrac{AC^2-AD^2-CD^2}{2 \cdot AD} … (v)

Diperoleh pers (iii) = pers (v)

\dfrac{CD^2+DB^2-BC^2}{2 \cdot BD} = \dfrac{AC^2-AD^2-CD^2}{2 \cdot AD}

(CD^2+DB^2-BC^2) AD = (AC^2-AD^2-CD^2) BD

CD^2 \cdot AD + DB^2 \cdot AD-BC^2 \cdot AD = AC^2 \cdot BD-AD^2 \cdot BD-CD^2 \cdot BD

CD^2 \cdot AD + CD^2 \cdot BD = AC^2 \cdot BD-AD^2 \cdot BD- BD^2 \cdot AD + BC^2 \cdot AD

CD^2 \cdot (AD + BD) = AC^2 \cdot BD + BC^2 \cdot AD-AD \cdot BD(AD +BD)

CD^2 \cdot AB = AC^2 \cdot BD + BC^2 \cdot AD-AD \cdot BD \cdot AB

Jadi, rumus Dalil Stewart

CD^2 \cdot AB = AC^2 \cdot BD + BC^2 \cdot AD-AD \cdot BD \cdot AB

 

One comment on “Dalil Stewart

  1. Ping-balik: Panjang Garis Bagi pada Segitiga Sembarang | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s