Sudut Istimewa


Tulisan ini terilhami ketika lagi mengerjakan soal trigonometri, waktu itu melihat nilai sin, cos, dan tan pada tabel sudut-sudut istimewa, kemudian terpikir bagaimana cara mendapatkan nilai-nilai tersebut tanpa melihat tabel. Nah, pada tulisan ini saya akan mencoba untuk menurunkan darimana dapat nilai-nilai tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku sama kaki berikut.sudut_istimewa_01

Sebelum lebih jauh, dalam tulisan ini kita gunakan rumus-rumus di bawah ini.

\sin \alpha = \dfrac{depan}{miring}

\cos \alpha = \dfrac{samping}{miring}

\tan \alpha = \dfrac{depan}{samping}

Karena segitiganya adalah segitiga siku-siku sama kaki, maka diperoleh bahwa besar sudut A sama dengan besar sudut C, yaitu sebesar 45^0. Misal panjang sisi AB=BC=a, dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh panjang AC = a \sqrt{2}. Oleh karena itu, didapat

\sin 45^0 = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

\cos 45^0 = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

\tan 45^0 = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{a}{a} = 1

Selanjutnya untuk sudut 30^0 dan 60^0, akan digunakan segitiga sama sisi. Seperti yang kita ketahui bahwa setiap sudutnya bernilai 60^0. Perhatikan segitiga sama sisi ABC berikut, dengan panjang sisinya adalah a.sudut_istimewa_02

Dengan menarik garis CD sebagai tinggi segitiga ABC, diperoleh dua segitiga siku-siku, yaitu segitiga CAD dan segitiga CDB. Perhatikan segitiga CDB, diperoleh \angle DBC = 60^0 dan \angle DCB = 30^0. Dari gambar di atas, didapat bahwa panjang BC = a dan BD = \dfrac{a}{2} Dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh panjang CD = \dfrac{a}{2} \sqrt{3}. Oleh karena itu, diperoleh

\sin 30^0 = \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{a} = \dfrac{1}{2}

\cos 30^0 = \dfrac{CD}{BC} = \dfrac{\dfrac{a}{2} \sqrt{3}}{a} = \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

\tan 30^0 = \dfrac{BD}{CD} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2} \sqrt{3}} = \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

Kemudian, untuk sudut 60^0, diperoleh

\sin 60^0 = \dfrac{CD}{BC} = \dfrac{\dfrac{a}{2} \sqrt{3}}{a} = \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

\cos 60^0 = \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{a} = \dfrac{1}{2}

\tan 60^0 = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{\dfrac{a}{2} \sqrt{3}}{\dfrac{a}{2}} = \sqrt{3}

Selanjutnya jika sudutnya adalah 0^0, maka sisi samping dan sisi miring saling berhimpit. Dengan kata lain, panjang sisi samping sama dengan panjang sisi miring, yaitu \dfrac{1}{2}a. Akibatnya panjang sisi depannya sama dengan nol. Oleh karena itu,

\sin 0^0 = \dfrac{depan}{miring} = \dfrac{0}{\frac{1}{2}a} = 0

\cos 0^0 = \dfrac{samping}{miring} = \dfrac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a} = 1

\tan 0^0 = \dfrac{depan}{samping} = \dfrac{0}{\frac{1}{2}a} = 0

Selanjutnya jika sudutnya adalah 90^0, maka sisi depan dan sisi miring saling berhimpit. Dengan kata lain, panjang sisi depan sama dengan panjang sisi miring, yaitu \dfrac{1}{2} \sqrt{3} a. Akibatnya panjang sisi sampingngya sama dengan nol. Oleh karena itu,

\sin 90^0 = \dfrac{depan}{miring} = \dfrac{\frac{1}{2}\sqrt{3}a}{\frac{1}{2}\sqrt{3}a} = 1

\cos 90^0 = \dfrac{samping}{miring} = \dfrac{0}{\frac{1}{2}\sqrt{3}a} = 0

\tan 90^0 = \dfrac{depan}{samping} = \dfrac{\frac{1}{2} \sqrt{3} a}{0}

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s