Panjang Garis Bagi pada Segitiga Sembarang


Sebelumnya saya juga pernah memposting tentang Garis Bagi pada Segitiga, pada tulisan itu dikonstruksi segitiga dalam lingkaran dan juga dengan memanfaatkan sifat sudut keliling dan sudut pusat. Pada tulisan ini, akan dimanfaatkan Dalil Stewart. Perhatikan gambar di bawah ini.garis_bagi(2)_04

Sebelum menuju pembuktian Garis Bagi, terlebih dahulu kita akan membuktikan bagian-bagian penting yang mendukung pembuktian Panjang Garis Bagi :

a.   Panjang garis AC = panjang garis CD

Pada gambar \triangle ABC tarik garis CF sedemikian sehingga membagi \angle ACB menjadi dua sama besar dan memotong garis AB di titik F. Selanjutnya sisi BC diperpanjang sedemikian sehingga menjadi sisi BD dan AD // CF sehingga membentuk \triangle BAD.garis_bagi(2)_01

Karena AD // CF dan pandang perpanjangan garis BD, maka diperoleh

\angle BCF = \angle BDA [sudut sehadap]

\angle CFB = \angle DAB [sudut sehadap]

\angle CBF = \angle DBA [sudut berimpit]

Berdasarkan Teorema AAA (Angle Angle Angle), maka \triangle BCF \sim \triangle BDA. Sehingga diperoleh hubungan berikut

\dfrac{CF}{DA} = \dfrac{FB}{AB} = \dfrac{CB}{DB}

Berdasarkan gambar di atas dapat dikonstruksi garis CC' sedemikian sehingga garis tersebut membagi sisi AD sama panjang dan membentuk  \triangle ACD sama kaki. Mengapa disimpulkan \triangle ACD samakaki? Mari lihat pembuktiannya di bawah ini.garis_bagi(2)_02

Misal \angle CAB = a, \angle ABC = b, \angle ACB = c. Karena \angle ACD dan \angle ACB adalah sudut berpelurus, maka

\angle ACD = 180^0- \angle ACB

= 180^0-c

Perhatikan \triangle ADC

\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^0

\angle CAD + 180^0- c + \dfrac{1}{2}c = 180^0

\angle CAD = \dfrac{1}{2}c

Karena \angle CAD = \angle CDA, maka \triangle ACD adalah segitiga sama kaki.

b.  AF : FB = AC : BC

Konstruksi CC'' sedemikian sehingga CC'' // AF [lihat gambar]garis_bagi(2)_03

Karena \angle CFB = \angle DAB dan \angle DAB = \angle CC''D maka \angle CFB = \angle CC''D. Berdasarkan Teorema AA (Angle Angle) maka \triangle CC''D \sim \triangle BFC. Sehingga diperoleh hubungan

\dfrac{BC}{CD} = \dfrac{FB}{C''C} = \dfrac{CF}{DC''}

\dfrac{BC}{CD} = \dfrac{FB}{C''C}

\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{FB}{AF} [INGAT CD = AC dan C''C = AF]

Jadi, AF : FB = AC : BC

c.  Panjang AF dan BF

Karena \triangle BCF \sim \triangle BDA, maka diperoleh

\dfrac{BC}{BD} = \dfrac{CF}{DA} = \dfrac{FB}{AB}

\dfrac{BC}{BD} = \dfrac{FB}{AB}

\dfrac{BC}{BC+CD} = \dfrac{AB-AF}{AB}

AB-AF = \dfrac{BC \cdot AB}{BC+AC} [karena CD = AC]

AF = AB- \dfrac{BC \cdot AB}{AC+BC}

AF = \dfrac{AB \cdot AC}{AC+BC}

Dengan cara yang sama, maka diperoleh FB = \dfrac{AB \cdot BC}{AC+BC}

Selanjutnya dengan menggunakan Dalil Stewart, diperoleh

CF^2 \cdot AB = BC^2 \cdot AF + AC^2 \cdot FB-AF \cdot FB \cdot AB

Karena AF : FB = AC : BC, berakibat AF \cdot BC = FB \cdot AC, sehingga diperoleh

CF^2 \cdot AB = BC(BC \cdot AF) + AC(AC \cdot FB)-AF \cdot FB \cdot AB

= BC(AC \cdot FB) + AC(BC \cdot AF)-AF \cdot FB \cdot AB

= AC \cdot BC \cdot FB + AC \cdot BC \cdot AF-AF \cdot FB \cdot AB

= AC \cdot BC (FB + AF)-AF \cdot FB \cdot AB

= AC \cdot BC \cdot AB-AF \cdot FB \cdot AB

CF^2 = AC \cdot BC-AF \cdot FB

Jadi, rumus garis bagi untuk titik C adalah

CF^2 = AC \cdot BC-AF \cdot FB

 

One comment on “Panjang Garis Bagi pada Segitiga Sembarang

  1. Ping-balik: Dalil Stewart | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s