Aturan Sinus

Misal diberikan segitiga $ABC$ sembarang. Jika diketahui besar sudut-sudut segitiga tersebut dan diketahui pula salah satu panjang sisi segitiga, bagaimana mencari panjang sisi yang lainnya? Inilah kegunaan Aturan Sinus. Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, akan dianfaatkan Aturan Sinus. Berikut
bunyi teorema Aturan Sinus.

“Diberikan segitiga $ABC$ sebarang dengan panjang sisinya adalah $a$ , $b$ , dan $c$ , yang masing-masing terletak terletak di depan sudut $A$ , $B$ dan $C$ , maka

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ ”

Untuk membuktikan teorema tersebut, akan digunakan dua jenis segitiga, yaitu segitiga lancip dan segitiga tumpul.

Perhatikan segitiga lancip $ABC$ berikut.

Kita tahu bahwa $\sin \alpha = \dfrac{depan}{miring}$ . Oleh karena itu, jika diperhatikan segitiga $CAD$ dan $CDB$ diperoleh $\sin A = \dfrac{t}{b}$ dan $\sin B = \dfrac{t}{a}$ . Sehingga berakibat

$t = b \sin A$ … (i)

$t = a \sin B$ … (ii)

Dari pers (i) dan (ii), diperoleh

$b \sin A = a \sin B$

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$

Selanjutnya, jika dibuat garis $AE$ sebagai tinggi segitiga $ABC$ , maka diperoleh dua segitiga, yaitu segitiga $AEC$ dan $AEB$ .

Dengan cara yang sama, diperoleh

$\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$

Jadi, dapat disimpulkan

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$

Kemudian untuk jenis segitiga yang kedua, yaitu segitiga tumpul. Perhatikan segitiga tumpul $ABC$ berikut ini.

Dari gambar di atas, terlihat bahwa $CD$ merupakan tinggi segitiga, yaitu merupakan proyeksi titik $C$ ke perpanjangan garis $AB$ dan $\angle CBD = 180^0-\angle ABC = 180^0-\angle B$ . Perhatikan segitiga $CBD$ dan $CAD$ , diperoleh $\sin (180^0-B) = \dfrac{t}{a}$ dan $\sin A = \dfrac{t}{b}$ . Sehingga berakibat

$t = a \sin (180^0-B)$ … (iii)

$t = b \sin A$ … (iv)

Dari pers (iii) dan (iv), diperoleh

$a \sin (180^0-B) = b \sin A$

Dari Rumus Dasar Trigonometri, diperoleh

$a (\sin 180^0 \cos B-\cos 180^0 \sin B) = b \sin A$

$a (0 \cos B-(-1) \sin B) = b \sin A$

$a \sin B = b \sin A$

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$

Kemudian karena sudut $A$ dan $C$ adalah sudut lancip, maka dengan cara yang sama seperti kasus pada segitiga lancip, diperoleh

$\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$

Jadi, dapat disimpulkan

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$

Contoh 1.

Sebuah segitiga $ABC$ memiliki sisi $a$ , $b$ dan $c$ . Jika panjang $a = 8~cm$ dan $c = 4\sqrt{2}$ serta besar $\angle C = 30^0$ . Tentukan besar $\angle A$ !

Jelas bahwa sisi $a$ terletak di depan $\angle A$ dan sisi $c$ terletak di depan $\angle C$ . Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$

$\dfrac{8}{\sin A} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin 30^0}$

$\dfrac{8}{\sin A} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$

$\dfrac{8}{\sin A} = 8\sqrt{2}$

$\sin A = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

$\angle A = 45^0$

Contoh 2.

Sebuah segitiga $PQR$ memiliki panjang sisi $a = 12~cm$ dan $b = 24$ serta besar $\angle A = 30^0$ . Tentukan besar $\angle C$ !

Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$

$\dfrac{12}{\sin 30^0} = \dfrac{24}{\sin B}$

$\dfrac{12}{\frac{1}{2}} = \dfrac{24}{\sin B}$

$24 = \dfrac{24}{\sin B}$

$\sin B = 1$

$\angle B = 90^0$

Dengan menggunakan sifat jumlah sudut segitiga adalah $180^0$ , diperoleh

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^0$

$30^0 + 90^0 + \angle C = 180^0$

$\angle C = 60^0$

Contoh 3.

Diberikan $\triangle ABC$ , tunjukkan bahwa $\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin C}$ .

Dari Aturan Sinus, diperoleh $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$ dan $\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ , berakibat $a = \dfrac{c \sin A}{\sin C}$ dan $b = \dfrac{c \sin B}{\sin C}$ . Oleh karena itu, didapat

$a + b = \dfrac{c \sin A}{\sin C} + \dfrac{c \sin B}{\sin C}$

$= \dfrac{c \sin A + c \sin B}{\sin C}$

$= \dfrac{c (\sin A + \sin B)}{\sin C}$

$\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin C}$ $\square$

Contoh 4.

Diberikan $\triangle ABC$ , tunjukkan bahwa $\dfrac{a}{c} = \dfrac{\sin (A + B)}{\sin C}$ .

Perlu diingat bahwa jumlahan sudut segitiga adalah 180⁰. Jadi,

$A+B+C = 180^0$

$A = 180^0-(B+C)$

Dari Aturan Sinus, diperoleh

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}$

$\dfrac{a}{\sin (180^0-(B+C))} = \dfrac{c}{\sin C}$

Dari Rumus Dasar Trigonometri berakibat

$\dfrac{a}{\sin 180^0 \cos (B+C)-\cos 180^0 \sin (B+C)} = \dfrac{c}{\sin C}$

$\dfrac{a}{\sin (B+C)} = \dfrac{c}{\sin C}$

$\dfrac{a}{c} = \dfrac{\sin (B+C)}{\sin C}$ $\square$

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Carles di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Indah Qurratua'yun S… di Kumpulan Soal Test Matematika…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Pada (Surjektif)
	MATEMATIKA DAN ILMU… di Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	aim di Metode Newton-Raphson (Newton-…
	aim di Tutorial LaTeX (5)

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan