Aturan Sinus


Misal diberikan segitiga ABC sembarang. Jika diketahui besar sudut-sudut segitiga tersebut dan diketahui pula salah satu panjang sisi segitiga, bagaimana mencari panjang sisi yang lainnya? Inilah kegunaan Aturan Sinus. Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, akan dianfaatkan Aturan Sinus. Berikut
bunyi teorema Aturan Sinus.

“Diberikan segitiga ABC sebarang dengan panjang sisinya adalah a, b, dan c, yang masing-masing terletak terletak di depan sudut A, B dan C, maka

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Untuk membuktikan teorema tersebut, akan digunakan dua jenis segitiga, yaitu segitiga lancip dan segitiga tumpul.

Perhatikan segitiga lancip ABC berikut.aturan_sinus_01

Kita tahu bahwa \sin \alpha = \dfrac{depan}{miring}. Oleh karena itu, jika diperhatikan segitiga CAD dan CDB diperoleh \sin A = \dfrac{t}{b} dan \sin B = \dfrac{t}{a}. Sehingga berakibat

t = b \sin A … (i)

t = a \sin B … (ii)

Dari pers (i) dan (ii), diperoleh

b \sin A = a \sin B

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}

Selanjutnya, jika dibuat garis AE sebagai tinggi segitiga ABC, maka diperoleh dua segitiga, yaitu segitiga AEC dan AEB.aturan_sinus_02

Dengan cara yang sama, diperoleh

\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Jadi, dapat disimpulkan

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Kemudian untuk jenis segitiga yang kedua, yaitu segitiga tumpul. Perhatikan segitiga tumpul ABC berikut ini.aturan_sinus_03

Dari gambar di atas, terlihat bahwa CD merupakan tinggi segitiga, yaitu merupakan proyeksi titik C ke perpanjangan garis AB dan \angle CBD = 180^0-\angle ABC = 180^0-\angle B. Perhatikan segitiga CBD dan CAD, diperoleh \sin (180^0-B) = \dfrac{t}{a} dan \sin A = \dfrac{t}{b}. Sehingga berakibat

t = a \sin (180^0-B) … (iii)

t = b \sin A … (iv)

Dari pers (iii) dan (iv), diperoleh

a \sin (180^0-B) = b \sin A

Dari Rumus Dasar Trigonometri, diperoleh

a (\sin 180^0 \cos B-\cos 180^0 \sin B) = b \sin A

a (0 \cos B-(-1) \sin B) = b \sin A

a \sin B = b \sin A

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}

Kemudian karena sudut A dan C adalah sudut lancip, maka dengan cara yang sama seperti kasus pada segitiga lancip, diperoleh

\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Jadi, dapat disimpulkan

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}

Contoh 1.

Sebuah segitiga ABC memiliki sisi a, b dan c. Jika panjang a = 8~cm dan c = 4\sqrt{2} serta besar \angle C = 30^0. Tentukan besar \angle A!

Jelas bahwa sisi a terletak di depan \angle A dan sisi c terletak di depan \angle C. Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}

\dfrac{8}{\sin A} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sin 30^0}

\dfrac{8}{\sin A} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}

\dfrac{8}{\sin A} = 8\sqrt{2}

\sin A = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

\angle A = 45^0

Contoh 2.

Sebuah segitiga PQR memiliki panjang sisi a = 12~cm dan b = 24 serta besar \angle A = 30^0. Tentukan besar \angle C!

Dengan menggunakan Aturan Sinus, diperoleh

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}

\dfrac{12}{\sin 30^0} = \dfrac{24}{\sin B}

\dfrac{12}{\frac{1}{2}} = \dfrac{24}{\sin B}

24 = \dfrac{24}{\sin B}

\sin B = 1

\angle B = 90^0

Dengan menggunakan sifat jumlah sudut segitiga adalah 180^0, diperoleh

\angle A + \angle B + \angle C = 180^0

30^0 + 90^0 + \angle C = 180^0

\angle C = 60^0

Contoh 3.

Diberikan \triangle ABC , tunjukkan bahwa \dfrac{a+b}{c} = \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin C}.

Dari Aturan Sinus, diperoleh \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C} dan \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}, berakibat a = \dfrac{c \sin A}{\sin C} dan b = \dfrac{c \sin B}{\sin C}. Oleh karena itu, didapat

a + b = \dfrac{c \sin A}{\sin C} + \dfrac{c \sin B}{\sin C}

= \dfrac{c \sin A + c \sin B}{\sin C}

= \dfrac{c (\sin A + \sin B)}{\sin C}

\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{\sin A + \sin B}{\sin C} \square

Contoh 4.

Diberikan \triangle ABC , tunjukkan bahwa \dfrac{a}{c} = \dfrac{\sin (A + B)}{\sin C}.

Perlu diingat bahwa jumlahan sudut segitiga adalah 1800. Jadi,

A+B+C = 180^0

A = 180^0-(B+C)

Dari Aturan Sinus, diperoleh

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C}

\dfrac{a}{\sin (180^0-(B+C))} = \dfrac{c}{\sin C}

Dari Rumus Dasar Trigonometri berakibat

\dfrac{a}{\sin 180^0 \cos (B+C)-\cos 180^0 \sin (B+C)} = \dfrac{c}{\sin C}

\dfrac{a}{\sin (B+C)} = \dfrac{c}{\sin C}

\dfrac{a}{c} = \dfrac{\sin (B+C)}{\sin C} \square

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s