Teorema Thale


Misal diberikan sebuah lingkaran, kemudian dibuat segitiga dalam lingkaran tersebut. Di mana salah satu sisi segitiganya merupakan diameter lingkaran tersebut, maka besar sudut yang berhadapan dengan diameter lingkaran adalah 90 derajat.teorema_thale_01

Sifat ini merupakan bunyi Teorema Thale, berikut isi teorema lengkapnya

“Jika A,B dan C merupakan titik-titik yang berbeda pada lingkaran sedemikian hingga garis AB merupakan diameter lingkaran, maka sudut \angle ACB merupakan sudut siku-siku. Dengan kata lain, \triangle ABC merupakan segitiga siku-siku”

Untuk membuktikan teorema ini, dari gambar di atas, buat garis OC (seperti pada gambar di bawah ini).teorema_thale_02

Dari gambar tersebut, terlihat bahwa OA, OC dan OB merupakan jari-jari lingkaran. Perhatikan \triangle AOC, karena OA=OC berakibat \triangle AOC merupakan segitiga sama kaki. Oleh karena itu \angle OAC = \angle OCA. Misal \angle OAC = \alpha. Selanjutnya perhatikan \triangle BOC, karena OB=OC berakibat \triangle BOC juga merupakan segitiga sama kaki. Oleh karena itu \angle OBC = \angle OCB. Misal \angle OAC = \beta.teorema_thale_03

Karena jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 180 derajat, diperoleh

\angle OAC + \angle ACB + \angle CBO = 180^0

\angle OAC + \angle ACO + \angle BCO + \angle CBO = 180^0

\alpha + \alpha + \beta + \beta = 180^0

2\alpha+ 2\beta = 180^0

2(\alpha+ \beta) = 180^0

\alpha+ \beta = 90^0

Dengan kata lain \angle ACB = 90^0. Jadi, \triangle ABC merupakan segitiga siku-siku. \blacksquare

Contoh 1.

Diberikan segitiga dalam lingkaran dengan sudut C adalah sudut siku-siku. Tentukan besar sudut B jika diketahui \angle A = 45^0.

Perhatikan,

\angle A + \angle B + \angle C = 180^0

\angle A + 45^0 + 90^0 = 180^0

\angle A = 45^0

Contoh 2.

Diberikan segitiga dalam lingkaran dengan sudut C adalah sudut siku-siku. Tentukan besar sudut A dan B jika diketahui \angle A = \alpha dan \angle B = 2\alpha.

Perhatikan,

\angle A + \angle B + \angle C = 180^0

\alpha + 2\alpha + 90^0 = 180^0

3\alpha = 90^0

\alpha = 30^0

Jadi, diperoleh \angle A = 30^0 dan \angle B = 60^0

Contoh 3.

Perhatikan gambar di di bawah ini.teorema_thale_04

Jika diketahui jari-jari lingkaran besar dan lingkaran kecil berturut-turut adalah 5 cm dan 4 cm. Hitunglah luas segitiga AOP!

Perhatikan bahwa sudut OAP adalah sudut yang berhadapan dengan diameter OP, berakibat \angle OAP = 90^0. Selanjutnya dengan menggunakan Pythagoras, diperoleh

AP = \sqrt{AO^2+AP^2}

= \sqrt{4^2+10^2}

= \sqrt{16+100}

= \sqrt{4 \cdot 29}

= 2\sqrt{29}

Luas \triangle AOP = \dfrac{1}{2} AO \cdot AP

= \dfrac{1}{2} 4 \cdot 2\sqrt{29}

= 4\sqrt{29}

Jadi, luas segitiga AOP adalah 4\sqrt{29}~cm^2

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s