Mei 23 2016

Teorema Butterfly

Pada tulisan kali ini kembali mengulas tentang geometry, seperti judul tulisan ini Teorema Butterfly, mungkin kalian sudah terbayang gambar apa yang muncul pada tulisan ini ? Yap, itu gambar kupu-kupu. Ilustrasinya sebagai berikut. Misal dipunyai sebuah lingkaran yang berjari-jari $r$ , selanjutnya dibuat chord $PQ$ (garis melalui dua titik pada lingkaran). Kemudian diberikan titik $M$ yang merupakan titik tengah pada chord $PQ$ tersebut. Setelah itu, gambar chord $AB$ dan $CD$ yang berpotongan di $M$ . Dan chord $AD$ dan $BC$ berturut-turut memotong chord $PQ$ pada titik $X$ dan $Y$ . Teorema Butterfly mengakatan bahwa $M$ merupakan titik tengah dari $XY$ .

butterfly_01

Teorema 1.

Titik tengah $M$ yang melalui chord $PQ$ pada suatu lingkaran. Untuk sebarang chord $AB$ dan $CD$ pada lingkaran tersebut, dimana chord $AD$ dan $BC$ memotong $PQ$ di titik $X$ dan $Y$ . Maka $M$ adalah titik tengah $XY$ .

Bukti.

Perhatikan gambar dibawah ini.

Terlihat bahwa $O$ merupakan titik pusat lingkaran. Selanjutnya $\angle DAB$ dan $\angle DCB$ merupakan sudut keliling dan $\angle DOB$ merupakan sudut pusatnya, sehingga diperoleh

$\angle DAB = \angle DCB$

Dengan cara yang sama, diperoleh juga

$\angle ADC = \angle ABC$

Selanjutnya karena $\angle AMD$ sudut bertolak belakang dengan $\angle CMB$ , didapat

$\angle AMD = \angle CMB$

Jadi, dapat diperoleh $latex $\triangle AMD \sim \triangle CMB$ .

Selanjutnya perhatikan segitiga $AOD$ dan $BOC$ . Karena $AO, DO, BO$ dan $CO$ merupakan jari-jari lingkaran, maka $\triangle AOD$ dan $\triangle BOC$ merupakan segitiga sama kaki. Sehingga berakibat $OK$ dan $ON$ membagi $AD$ dan $BC$ sama panjang, yaitu

$AK=DK$ dan $BN=CN$

Kemudian karena $latex $\triangle AMD \sim \triangle CMB$ serta $AK=DK$ dan $BN=CN$ , diperoleh

$\dfrac{AD}{AM} = \dfrac{CB}{CM}$

$\dfrac{2AK}{AM} = \dfrac{2CN}{CM}$

$\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{CN}{CM}$

Dan karena $\angle DAB = \angle DCB$ serta $\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{CN}{CM}$ , berakibat $latex $\triangle AKM \sim \triangle CNM$ . Sehingga diperoleh

$\angle AKM = \angle CNM$

butterfly_05

Selanjutnya perhatikan segitiga $POQ$ . Karena $PO$ dan $QO$ adalah jari-jari lingkaran, berakibat $\triangle POQ$ adalah segitiga sama kaki. Kemudian karena $M$ adalah titik tengah $PQ$ berakibat $MO$ adalah tinggi segitiga $POQ$ , dengan kata lain $\angle OMP = 90^0$ .

Perhatikan quadrilateral $OKXM$ dan $ONYM$ . Karena sudut yang berhadapan berjumlah 180 derajat, yaitu $\angle K + \angle M =180^0$ dan $\angle N + \angle M =180^0$ , berakibat titik $O, K, X$ dan $M$ terletak pada satu lingkaran dan titik $O, N, Y$ dan $M$ juga terletak pada satu lingkaran yang lain. Jika diperhatikan lebih jauh, diperoleh bahwa $\angle XKM$ dan $XOM$ sama-sama sudut keliling, berakibat

$\angle XKM = \angle XOM$

Dengan alasan yang sama, diperoleh

$\angle YNM = \angle YOM$

Kemudian karena $\angle AKM = \angle XKM$ , $\angle CNM = \angle YNM$ , dan $\angle AKM = \angle CNM$ , berakibat

$\angle XKM = \angle YNM$

Selanjutnya diperoleh

$\angle XOM = \angle XKM = \angle YNM = \angle YOM$

Oleh karena itu, diperoleh

$\triangle XOM = \triangle YOM$

Jadi, $XM = YM$ . Dengan kata lain, $M$ merupakan titik tengah $XY$ . $\blacksquare$

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

E-mail (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	fika pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Hera pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Hera pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Luas Segiempat Sembarang
	aim pada Metode Secant (Secant Met…
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Jasa Jawab Soal
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan