Mei 23 2016

Teorema Butterfly

Pada tulisan kali ini kembali mengulas tentang geometry, seperti judul tulisan ini Teorema Butterfly, mungkin kalian sudah terbayang gambar apa yang muncul pada tulisan ini ? Yap, itu gambar kupu-kupu. Ilustrasinya sebagai berikut. Misal dipunyai sebuah lingkaran yang berjari-jari $r$ , selanjutnya dibuat chord $PQ$ (garis melalui dua titik pada lingkaran). Kemudian diberikan titik $M$ yang merupakan titik tengah pada chord $PQ$ tersebut. Setelah itu, gambar chord $AB$ dan $CD$ yang berpotongan di $M$ . Dan chord $AD$ dan $BC$ berturut-turut memotong chord $PQ$ pada titik $X$ dan $Y$ . Teorema Butterfly mengakatan bahwa $M$ merupakan titik tengah dari $XY$ .

butterfly_01

Teorema 1.

Titik tengah $M$ yang melalui chord $PQ$ pada suatu lingkaran. Untuk sebarang chord $AB$ dan $CD$ pada lingkaran tersebut, dimana chord $AD$ dan $BC$ memotong $PQ$ di titik $X$ dan $Y$ . Maka $M$ adalah titik tengah $XY$ .

Bukti.

Perhatikan gambar dibawah ini.

Terlihat bahwa $O$ merupakan titik pusat lingkaran. Selanjutnya $\angle DAB$ dan $\angle DCB$ merupakan sudut keliling dan $\angle DOB$ merupakan sudut pusatnya, sehingga diperoleh

$\angle DAB = \angle DCB$

Dengan cara yang sama, diperoleh juga

$\angle ADC = \angle ABC$

Selanjutnya karena $\angle AMD$ sudut bertolak belakang dengan $\angle CMB$ , didapat

$\angle AMD = \angle CMB$

Jadi, dapat diperoleh $latex $\triangle AMD \sim \triangle CMB$ .

Selanjutnya perhatikan segitiga $AOD$ dan $BOC$ . Karena $AO, DO, BO$ dan $CO$ merupakan jari-jari lingkaran, maka $\triangle AOD$ dan $\triangle BOC$ merupakan segitiga sama kaki. Sehingga berakibat $OK$ dan $ON$ membagi $AD$ dan $BC$ sama panjang, yaitu

$AK=DK$ dan $BN=CN$

Kemudian karena $latex $\triangle AMD \sim \triangle CMB$ serta $AK=DK$ dan $BN=CN$ , diperoleh

$\dfrac{AD}{AM} = \dfrac{CB}{CM}$

$\dfrac{2AK}{AM} = \dfrac{2CN}{CM}$

$\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{CN}{CM}$

Dan karena $\angle DAB = \angle DCB$ serta $\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{CN}{CM}$ , berakibat $latex $\triangle AKM \sim \triangle CNM$ . Sehingga diperoleh

$\angle AKM = \angle CNM$

butterfly_05

Selanjutnya perhatikan segitiga $POQ$ . Karena $PO$ dan $QO$ adalah jari-jari lingkaran, berakibat $\triangle POQ$ adalah segitiga sama kaki. Kemudian karena $M$ adalah titik tengah $PQ$ berakibat $MO$ adalah tinggi segitiga $POQ$ , dengan kata lain $\angle OMP = 90^0$ .

Perhatikan quadrilateral $OKXM$ dan $ONYM$ . Karena sudut yang berhadapan berjumlah 180 derajat, yaitu $\angle K + \angle M =180^0$ dan $\angle N + \angle M =180^0$ , berakibat titik $O, K, X$ dan $M$ terletak pada satu lingkaran dan titik $O, N, Y$ dan $M$ juga terletak pada satu lingkaran yang lain. Jika diperhatikan lebih jauh, diperoleh bahwa $\angle XKM$ dan $XOM$ sama-sama sudut keliling, berakibat

$\angle XKM = \angle XOM$

Dengan alasan yang sama, diperoleh

$\angle YNM = \angle YOM$

Kemudian karena $\angle AKM = \angle XKM$ , $\angle CNM = \angle YNM$ , dan $\angle AKM = \angle CNM$ , berakibat

$\angle XKM = \angle YNM$

Selanjutnya diperoleh

$\angle XOM = \angle XKM = \angle YNM = \angle YOM$

Oleh karena itu, diperoleh

$\triangle XOM = \triangle YOM$

Jadi, $XM = YM$ . Dengan kata lain, $M$ merupakan titik tengah $XY$ . $\blacksquare$

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	D pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	anonymous pada Pembahasan Matematika Dasar SB…
	User pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	Adi pada Daerah Integral
	Ridho pada Aturan Simpson 1 per 3 (Simpso…
	septiansuryaandika pada Metode Regula Falsi (Regula Fa…
	Nazhif Rizaldi pada Deret MacLaurin
	MayRomly pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	MayRomly pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	ansar pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan