Pada tulisan kali ini kembali mengulas tentang geometry, seperti judul tulisan ini Teorema Butterfly, mungkin kalian sudah terbayang gambar apa yang muncul pada tulisan ini ? Yap, itu gambar kupu-kupu. Ilustrasinya sebagai berikut. Misal dipunyai sebuah lingkaran yang berjari-jari , selanjutnya dibuat chord
(garis melalui dua titik pada lingkaran). Kemudian diberikan titik
yang merupakan titik tengah pada chord
tersebut. Setelah itu, gambar chord
dan
yang berpotongan di
. Dan chord
dan
berturut-turut memotong chord
pada titik
dan
. Teorema Butterfly mengakatan bahwa
merupakan titik tengah dari
.
Teorema 1.
Titik tengah yang melalui chord
pada suatu lingkaran. Untuk sebarang chord
dan
pada lingkaran tersebut, dimana chord
dan
memotong
di titik
dan
. Maka
adalah titik tengah
.
Bukti.
Perhatikan gambar dibawah ini.
Terlihat bahwa merupakan titik pusat lingkaran. Selanjutnya
dan
merupakan sudut keliling dan
merupakan sudut pusatnya, sehingga diperoleh
Dengan cara yang sama, diperoleh juga
Selanjutnya karena sudut bertolak belakang dengan
, didapat
Jadi, dapat diperoleh $latex .
Selanjutnya perhatikan segitiga dan
. Karena
dan
merupakan jari-jari lingkaran, maka
dan
merupakan segitiga sama kaki. Sehingga berakibat
dan
membagi
dan
sama panjang, yaitu
dan
Kemudian karena $latex serta
dan
, diperoleh
Dan karena serta
, berakibat $latex
. Sehingga diperoleh
Selanjutnya perhatikan segitiga . Karena
dan
adalah jari-jari lingkaran, berakibat
adalah segitiga sama kaki. Kemudian karena
adalah titik tengah
berakibat
adalah tinggi segitiga
, dengan kata lain
.
Perhatikan quadrilateral dan
. Karena sudut yang berhadapan berjumlah 180 derajat, yaitu
dan
, berakibat titik
dan
terletak pada satu lingkaran dan titik
dan
juga terletak pada satu lingkaran yang lain. Jika diperhatikan lebih jauh, diperoleh bahwa
dan
sama-sama sudut keliling, berakibat
Dengan alasan yang sama, diperoleh
Kemudian karena ,
, dan
, berakibat
Selanjutnya diperoleh
Oleh karena itu, diperoleh
Jadi, . Dengan kata lain,
merupakan titik tengah
.