Teorema Butterfly


Pada tulisan kali ini kembali mengulas tentang geometry, seperti judul tulisan ini Teorema Butterfly, mungkin kalian sudah terbayang gambar apa yang muncul pada tulisan ini ? Yap, itu gambar kupu-kupu. Ilustrasinya sebagai berikut. Misal dipunyai sebuah lingkaran yang berjari-jari r, selanjutnya dibuat chord PQ (garis melalui dua titik pada lingkaran). Kemudian diberikan titik M yang merupakan titik tengah pada chord PQ tersebut. Setelah itu, gambar chord AB dan CD yang berpotongan di M. Dan chord AD dan BC berturut-turut memotong chord PQ pada titik X dan Y. Teorema Butterfly mengakatan bahwa M merupakan titik tengah dari XY.

butterfly_01

Teorema 1.

Titik tengah M yang melalui chord PQ pada suatu lingkaran. Untuk sebarang chord AB dan CD pada lingkaran tersebut, dimana chord AD dan BC memotong PQ di titik X dan Y. Maka M adalah titik tengah XY.

Bukti.

Perhatikan gambar dibawah ini.

butterfly_02

Terlihat bahwa O merupakan titik pusat lingkaran. Selanjutnya \angle DAB dan \angle DCB merupakan sudut keliling dan \angle DOB merupakan sudut pusatnya, sehingga diperoleh

\angle DAB = \angle DCB

Dengan cara yang sama, diperoleh juga

\angle ADC = \angle ABC

Selanjutnya karena \angle AMD sudut bertolak belakang dengan \angle CMB, didapat

\angle AMD = \angle CMB

Jadi, dapat diperoleh $latex \triangle AMD \sim \triangle CMB.

butterfly_03

Selanjutnya perhatikan segitiga AOD dan BOC. Karena AO, DO, BO dan CO merupakan jari-jari lingkaran, maka \triangle AOD dan \triangle BOC merupakan segitiga sama kaki. Sehingga berakibat OK dan ON membagi AD dan BC sama panjang, yaitu

AK=DK dan BN=CN

Kemudian karena $latex \triangle AMD \sim \triangle CMB serta AK=DK dan BN=CN, diperoleh

\dfrac{AD}{AM} = \dfrac{CB}{CM}

\dfrac{2AK}{AM} = \dfrac{2CN}{CM}

\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{CN}{CM}

butterfly_04

Dan karena \angle DAB = \angle DCB serta \dfrac{AK}{AM} = \dfrac{CN}{CM}, berakibat $latex \triangle AKM \sim \triangle CNM. Sehingga diperoleh

\angle AKM = \angle CNM

butterfly_05

Selanjutnya perhatikan segitiga POQ. Karena PO dan QO adalah jari-jari lingkaran, berakibat \triangle POQ adalah segitiga sama kaki. Kemudian karena M adalah titik tengah PQ berakibat MO adalah tinggi segitiga POQ, dengan kata lain \angle OMP = 90^0.

butterfly_06

Perhatikan quadrilateral OKXM dan ONYM. Karena sudut yang berhadapan berjumlah 180 derajat, yaitu \angle K + \angle M =180^0 dan \angle N + \angle M =180^0, berakibat titik O, K, X dan M terletak pada satu lingkaran dan titik O, N, Y dan M juga terletak pada satu lingkaran yang lain. Jika diperhatikan lebih jauh, diperoleh bahwa \angle XKM dan XOM sama-sama sudut keliling, berakibat

\angle XKM = \angle XOM

Dengan alasan yang sama, diperoleh

\angle YNM = \angle YOM

Kemudian karena \angle AKM = \angle XKM, \angle CNM = \angle YNM, dan \angle AKM = \angle CNM, berakibat

\angle XKM = \angle YNM

Selanjutnya diperoleh

\angle XOM = \angle XKM = \angle YNM = \angle YOM

Oleh karena itu, diperoleh

\triangle XOM = \triangle YOM

Jadi, XM = YM. Dengan kata lain, M merupakan titik tengah XY. \blacksquare

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s