Subruang Vektor


Setelah membahas ruang vektor, pada kesempatan ini akan dibahas subruang vektor. Jika dipunyai ruang vektor V, maka \{0\} pasti memenuhi aksioma ruang vektor. Jadi, jika dipunyai ruang vektor V dan subhimpunan tak kosong W \subseteq V dan W memenuhi aksioma sebagai ruang vektor, maka W dinamakan subruang vektor. Oleh karena itu, didefinisikan subruang vektor.

Definisi 1.

Diberikan V ruang vektor dan W subhimpunan tak kosong dari V. Subhimpunan W disebut subruang vektor dari V jika W merupakan ruang vektor terhadap operasi yang sama terhadap V.

Apakah setiap ingin mengecek suatu subhimpunan merupakan subruang vektor harus mengecek 10 aksioma dari ruang vektor? Tidak. Lalu bagaimana caranya? Perlu diperhatikan bahwa, misal diketahui V ruang vektor dan W \subseteq V, maka sifat asosiatif pada ruang vektor V akan diwariskan atau akan secara otomatis berlaku pada subhimpunan W, begitu juga untuk sifat komutatif terhadap operasi ‘penjumlahan’. Selanjutnya karena elemen identitas di V adalah tunggal, maka elemen identitas juga ada di W. Selanjutnya karena setiap anggota ruang vektor V memiliki invers, berakibat setiap anggota di W juga pasti punya invers. Dengan alasan yang sama, aksioma yang lain juga pasti diwariskan dari V ke subhimpunan W. Sehingga untuk mengecek suatu subhimpunan merupakan subruang dari suatu ruang vektor tidak harus mengecek semua aksioma, berikut diberikan teorema subruang.

Teorema 2.

Suatu himpunan tak kosong W dari ruang vektor V atas lapangan F merupakan subruang dari V jika dan hanya jika

1.  Jika u,v \in W maka u+v \in W atau dengan kata lain W tertutup terhadap operasi penjumlahan

2.  Jika k \in F dan u \in W maka ku \in W.

Bukti.

Dalam membuktikan teorema ini, akan dibuktikan dua arah. Untuk bukti yang ke arah kanan, jelas berlaku karena jika W subruang, maka pasti W memenuhi 10 aksioma ruang vektor, sehingga kondisi 1 dan 2 terpenuhi. Selanjutnya akan dibuktikan yang ke arah kiri, yaitu diketahui kondisi 1 dan 2. Akan dibuktikan W subruang vektor dari V. Karena kondisi 1 dan 2 terpenuhi maka otomatis aksioma 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10 terpenuhi. Karena W \neq \emptyset maka terdapat u \in W sehingga menurut Teorema 1 bagian 2 (Sifat Ruang Vektor) didapat 0u = 0 \in W. Akibatnya aksioma 3 berlaku di dalam W. Jika u \in W maka menurut kondisi 2 berlaku (-1)u = -u \in W. Akibatnya aksioma 4 berlaku. Jadi, W adalah subruang dari vektor V. \blacksquare

Contoh 3.

Tunjukkan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2 \times 2 yang setiap unsur diagonalnya nol merupakan subruang dari V yaitu ruang vektor matriks 2 \times 2.

Perhatikan : W = \left\{ \begin{pmatrix} 0&a\\ b&0 \end{pmatrix} ~|~ a,b \in R \right\}.

V = \left\{ \begin{pmatrix} w&x\\ y&z \end{pmatrix} ~|~ w,x,y,z \in R \right\}

Pilih \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix} \in W. Jadi W \neq \emptyset. Selanjutnya jelas bahwa W \subseteq V. Ambil sebarang A, B \in W dan k \in R dengan A = \begin{pmatrix} 0&a_1\\ b_1&0 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 0&a_2\\ b_2&0 \end{pmatrix}, akan ditunjukkan bahwa A+B \in W. Perhatikan,

A + B = \begin{pmatrix} 0&a_1\\ b_1&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&a_2\\ b_2&0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0&a_1+a_2\\ b_1+b_2&0 \end{pmatrix}

Karena a_1, a_2, b_1, b_2 \in R, berakibat a_1+a_2 \in R dan b_1+b_2 \in R. Sehingga didapat \begin{pmatrix} 0&a_1+a_2\\ b_1+b_2&0 \end{pmatrix} \in W. Jadi, A+B \in W.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa kA \in W. Perhatikan,

kA = k\begin{pmatrix} 0&a_1\\ b_1&0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0&ka_1\\ kb_1&0 \end{pmatrix}

Karena a_1, b_1, k \in R, berakibat ka_1, kb_1 \in R. Sehingga didapat \begin{pmatrix} 0&ka_1\\ kb_1&0 \end{pmatrix} \in W. Jadi, kA \in W. Dengan kata lain, W adalah subruang dari V. \square

Berdasarkan Teorema di atas, diperoleh akibat sebagai berikut

Akibat 4.

W subruang vektor dari V jika dan hanya jika

1.  0 \in W

2.  u,v \in W maka au + bv \in W untuk a,b \in W

Bukti.

Untuk bukti dari kiri ke kanan, jelas. Untuk bukti dari kanan ke kiri, dengan alasan yang sama seperti bukti pada teorema di atas, jelas memenuhi aksioma 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10. Selanjutnya dengan menggunakan sifat 1 pada Teorema 1 (Sifat Ruang Vektor), berlaku a0_W = 0_W \in W untuk setiap a \in F. Berakibat aksioma 3 berlaku. Selanjutnya dari kondisi 2, dapat dipandang au+bu \in W dan dengan mengambil a = 1 dan b=-1, maka aksioma 4 ruang vektor terpenuhi. \blacksquare

Contoh 5.

Diketahui \mathbb{R}^3 = \left\{ \left. \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \right| x_i \in \mathbb{R}, i = 1,2,3 \right\} merupakan ruang vektor atas \mathbb{R}, dan S = \left\{ \left. \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{pmatrix} \right| x_1, x_2 \in \mathbb{R} \right\}. Akan diperlihatkan bahwa S merupakan subruang dari \mathbb{R}^3.

Jelas bahwa \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \in S. Selanjutnya ambil sebarang A, B \in S dan m,n \in F dengan A = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ 0 \end{pmatrix}. Perhatikan,

mA + nB = m\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{pmatrix} + n\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ 0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} mx_1\\ mx_2\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ny_1\\ ny_2\\ 0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} mx_1+ny_1\\ mx_2+ny_2\\ 0 \end{pmatrix}

Karena mx_1, ny_1, mx_2, ny_2 \in \mathbb{R}, maka mx_1+ny_1, mx_2+ny_2 \in \mathbb{R}. Sehingga dapat disimpulkan \begin{pmatrix} mx_1+ny_1\\ mx_2+ny_2\\ 0 \end{pmatrix} \in S. Jadi, mA+nB \in S. Jadi, S adalah subruang dari \mathbb{R}^3. \square

Selain menggunakan teorema dan akibat di atas, kita juga dapat mengecek apakah suatu subhimpunan tak kosong dari ruang vektor merupakan subruang atau bukan melalui sifat yang lain. Misal diberikan ruang vektor V dan S adalah subhimpunan tak kosong dari V, maka S adalah subruang dari V jika memenuhi dua kondisi berikut

1.  Untuk setiap s_1, s_2 \in S maka berlaku s_1 - s_2 \in S

2.  Untuk setiap \forall a \in F dan s \in S maka berlaku as \in S

Sebenarnya sifat ini sama dengan Teorema 2 di atas, tapi pada beberapa refrensi menggunakan sifat ini. Untuk masalah kemudahan pada penggunaan, tergantung dari kita yang menggunakan saja.

Contoh 6.

Misal diberikan fungsi genap dan ganjil yang didefinisikan sebagai berikut.

1.  f merupakan fungsi genap yaitu f(-x) = f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}

2.  f merupakan fungsi ganjil yaitu f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}

Diketahui \mathcal{F}[\mathbb{R}, \mathbb{R}] = \left\{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f \;\text{adalah fungsi} \right\} merupakan ruang vektor atas \mathbb{R} terhadap operasi \circ. Tunjukkan bahwa apakah fungsi ganjil dan genap merupakan subruang dari \mathcal{F}[\mathbb{R}, \mathbb{R}].

Misal : S_1 = \left\{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f = \text{fungsi genap} \right\} dan S_2 = \left\{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f = \text{fungsi ganjil} \right\}.

1.  Ambil sebarang f_1, f_2 \in S_1 dan a \in F. Akan ditunjukkan f_1-f_2 \in S_1 dan af_1 \in S_1. Karena f_1 dan f_2 adalah fungsi genap, maka f_1(-x) = f_1(x) dan f_2(-x) = f_2(x) untuk setiap x \in \mathbb{R}. Perhatikan,

(f_1-f_2)(-x) = f_1(-x)-f_2(-x)

= f_1(x)-f_2(x)

= (f_1-f_2)(x)

Oleh karena itu, f_1-f_2 fungsi genap.

(a f_1)(-x) = a f_1(-x)

= af_1(x)

= (af_1)(x)

Oleh karena itu, af_1 fungsi genap. Jadi, S_1 subruang dari \mathcal{F}[\mathbb{R}, \mathbb{R}]. \blacksquare

2.  Ambil sebarang f_1, f_2 \in S_2 dan r \in F. Akan ditunjukkan f_1-f_2 \in S_2 dan rf_1 \in S_2. Karena f_1 dan f_2 adalah fungsi ganjil, maka f_1(-x) = -f_1(x) dan f_2(-x) = -f_2(x) untuk setiap x \in \mathbb{R}. Perhatikan,

(f_1-f_2)(-x) = f_1(-x)-f_2(-x)

= -f_1(x)-(-f_2(x))

= -f_1(x)+f_2(x)

= -(f_1-f_2)(x)

Oleh karena itu, f_1-f_2 fungsi ganjil.

(r f_1)(-x) = r f_1(-x)

= r(-f_1(x))

= -rf_1(x)

= -(rf_1)(x)

Oleh karena itu, rf_1 fungsi ganjil. Jadi, S_S subruang dari \mathcal{F}[\mathbb{R}, \mathbb{R}]. \blacksquare

Teorema 7.

Jika S dan T subruang dari ruang vektor V atas lapangan F, maka

1.  S \cap T subruang dari V.

2.  S + T = \{ u+v ~|~ u \in S, v \in T \} subruang dari V

Bukti.

1.  Karena S dan T mrupakan subruang, maka terdapat 0 \in S,T, sehingga 0 \in S \cap T. Jadi S \cap T \neq \emptyset. Ambil sebarang a,b \in S \cap T dan r \in R, artinya a,b \in S dan a,b \in T. Akan dibuktikan a+b \in S \cap T. Karena a,b \in S dan a,b \in T, serta S dan T subruang berakibat a+b \in S,T. Jadi a+b \in S \cap T. Selanjutnya akan dibuktikan ra \in S \cap T. Dengan alasan yang sama, didapat ra \in S dan ra \in T. Jadi, ra \in S \cap T. Jadi, S \cap T subruang.

2.  Karena S dan T mrupakan subruang, maka terdapat 0 \in S,T, sehingga 0 = 0+0 \in S + T. Jadi S + T \neq \emptyset. Ambil sebarang a,b \in S + T dan r \in R, artinya a = s_1+t_1 dan b = s_2+t_2 untuk suatu s_1,s_2 \in S dan t_1,t_2 \in T. Akan dibuktikan a+b \in S + T. Perhatikan,

a + b = (s_1+t_1) + (s_2+t_2)

= s_1+ (t_1+s_2) +t_2

= s_1+ (s_2+t_1) +t_2

= (s_1+s_2) + (t_1+t_2)

\in S + T

Selanjutnya akan dibuktikan ra \in S + T. Perhatikan

ra = r(s_1+t_1)

= rs_1+ rt_1

\in S

Jadi, S + T subruang. \blacksquare

Teorema 8.

Jika S dan T subruang dari V, maka S \cup T merupakan subruang dari V jika dan hanya jika S \subseteq T atau T \subseteq S.

Bukti.

Diketahui S \cup T subruang dari V. Jika S \nsubseteq T, artinya terdapat s \in S tapi s \notin T. Akan dibuktikan T \subseteq S. Ambil sebarang t \in T, karena S \cup T subruang, maka s+t \in S \cup T, sehingga diperoleh s+t \in S atau s+t \in T. Jika s+t \in T, artinya s \in . Hal ini kontradiksi dengan s \notin T. Jadi, haruslah s+t \in S. Akibatnya t \in S. Jadi, T \subseteq S.

Sebaliknya diketahui S \subseteq T atau T \subseteq S. Akibatnya S \cup T = T atau S \cup T = S. Karena S dan T adalah subruang, berakibat S \cup T adalah subruang. \blacksquare

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s