Setelah membahas ruang vektor, pada kesempatan ini akan dibahas subruang vektor. Jika dipunyai ruang vektor , maka
pasti memenuhi aksioma ruang vektor. Jadi, jika dipunyai ruang vektor
dan subhimpunan tak kosong
dan
memenuhi aksioma sebagai ruang vektor, maka
dinamakan subruang vektor. Oleh karena itu, didefinisikan subruang vektor.
Definisi 1.
Diberikan ruang vektor dan
subhimpunan tak kosong dari
. Subhimpunan
disebut subruang vektor dari
jika
merupakan ruang vektor terhadap operasi yang sama terhadap
.
Apakah setiap ingin mengecek suatu subhimpunan merupakan subruang vektor harus mengecek 10 aksioma dari ruang vektor? Tidak. Lalu bagaimana caranya? Perlu diperhatikan bahwa, misal diketahui ruang vektor dan
, maka sifat asosiatif pada ruang vektor
akan diwariskan atau akan secara otomatis berlaku pada subhimpunan
, begitu juga untuk sifat komutatif terhadap operasi ‘penjumlahan’. Selanjutnya karena elemen identitas di
adalah tunggal, maka elemen identitas juga ada di
. Selanjutnya karena setiap anggota ruang vektor
memiliki invers, berakibat setiap anggota di
juga pasti punya invers. Dengan alasan yang sama, aksioma yang lain juga pasti diwariskan dari
ke subhimpunan
. Sehingga untuk mengecek suatu subhimpunan merupakan subruang dari suatu ruang vektor tidak harus mengecek semua aksioma, berikut diberikan teorema subruang.
Teorema 2.
Suatu himpunan tak kosong dari ruang vektor
atas lapangan
merupakan subruang dari
jika dan hanya jika
1. Jika maka
atau dengan kata lain
tertutup terhadap operasi penjumlahan
2. Jika dan
maka
.
Bukti.
Dalam membuktikan teorema ini, akan dibuktikan dua arah. Untuk bukti yang ke arah kanan, jelas berlaku karena jika subruang, maka pasti
memenuhi 10 aksioma ruang vektor, sehingga kondisi 1 dan 2 terpenuhi. Selanjutnya akan dibuktikan yang ke arah kiri, yaitu diketahui kondisi 1 dan 2. Akan dibuktikan
subruang vektor dari
. Karena kondisi 1 dan 2 terpenuhi maka otomatis aksioma 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10 terpenuhi. Karena
maka terdapat
sehingga menurut Teorema 1 bagian 2 (Sifat Ruang Vektor) didapat
. Akibatnya aksioma 3 berlaku di dalam
. Jika
maka menurut kondisi 2 berlaku
. Akibatnya aksioma 4 berlaku. Jadi,
adalah subruang dari vektor
.
Contoh 3.
Tunjukkan bahwa himpunan yang berisi semua matriks orde
yang setiap unsur diagonalnya nol merupakan subruang dari
yaitu ruang vektor matriks
.
Perhatikan : .
Pilih . Jadi
. Selanjutnya jelas bahwa
. Ambil sebarang
dan
dengan
dan
, akan ditunjukkan bahwa
. Perhatikan,
Karena , berakibat
dan
. Sehingga didapat
. Jadi,
.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa . Perhatikan,
Karena , berakibat
. Sehingga didapat
. Jadi,
. Dengan kata lain,
adalah subruang dari
.
Berdasarkan Teorema di atas, diperoleh akibat sebagai berikut
Akibat 4.
subruang vektor dari
jika dan hanya jika
1.
2. maka
untuk
Bukti.
Untuk bukti dari kiri ke kanan, jelas. Untuk bukti dari kanan ke kiri, dengan alasan yang sama seperti bukti pada teorema di atas, jelas memenuhi aksioma 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10. Selanjutnya dengan menggunakan sifat 1 pada Teorema 1 (Sifat Ruang Vektor), berlaku untuk setiap
. Berakibat aksioma 3 berlaku. Selanjutnya dari kondisi 2, dapat dipandang
dan dengan mengambil
dan
, maka aksioma 4 ruang vektor terpenuhi.
Contoh 5.
Diketahui merupakan ruang vektor atas
, dan
. Akan diperlihatkan bahwa
merupakan subruang dari
.
Jelas bahwa . Selanjutnya ambil sebarang
dan
dengan
dan
. Perhatikan,
Karena , maka
. Sehingga dapat disimpulkan
. Jadi,
. Jadi,
adalah subruang dari
.
Selain menggunakan teorema dan akibat di atas, kita juga dapat mengecek apakah suatu subhimpunan tak kosong dari ruang vektor merupakan subruang atau bukan melalui sifat yang lain. Misal diberikan ruang vektor dan
adalah subhimpunan tak kosong dari
, maka
adalah subruang dari
jika memenuhi dua kondisi berikut
1. Untuk setiap maka berlaku
2. Untuk setiap dan
maka berlaku
Sebenarnya sifat ini sama dengan Teorema 2 di atas, tapi pada beberapa refrensi menggunakan sifat ini. Untuk masalah kemudahan pada penggunaan, tergantung dari kita yang menggunakan saja.
Contoh 6.
Misal diberikan fungsi genap dan ganjil yang didefinisikan sebagai berikut.
1. merupakan fungsi genap yaitu
2. merupakan fungsi ganjil yaitu
Diketahui merupakan ruang vektor atas
terhadap operasi
. Tunjukkan bahwa apakah fungsi ganjil dan genap merupakan subruang dari
.
Misal : dan
.
1. Ambil sebarang dan
. Akan ditunjukkan
dan
. Karena
dan
adalah fungsi genap, maka
dan
untuk setiap
. Perhatikan,
Oleh karena itu, fungsi genap.
Oleh karena itu, fungsi genap. Jadi,
subruang dari
.
2. Ambil sebarang dan
. Akan ditunjukkan
dan
. Karena
dan
adalah fungsi ganjil, maka
dan
untuk setiap
. Perhatikan,
Oleh karena itu, fungsi ganjil.
Oleh karena itu, fungsi ganjil. Jadi,
subruang dari
.
Teorema 7.
Jika dan
subruang dari ruang vektor
atas lapangan
, maka
1. subruang dari
.
2. subruang dari
Bukti.
1. Karena dan
mrupakan subruang, maka terdapat
, sehingga
. Jadi
. Ambil sebarang
dan
, artinya
dan
. Akan dibuktikan
. Karena
dan
, serta
dan
subruang berakibat
. Jadi
. Selanjutnya akan dibuktikan
. Dengan alasan yang sama, didapat
dan
. Jadi,
. Jadi,
subruang.
2. Karena dan
mrupakan subruang, maka terdapat
, sehingga
. Jadi
. Ambil sebarang
dan
, artinya
dan
untuk suatu
dan
. Akan dibuktikan
. Perhatikan,
Selanjutnya akan dibuktikan . Perhatikan
Jadi, subruang.
Teorema 8.
Jika dan
subruang dari
, maka
merupakan subruang dari
jika dan hanya jika
atau
.
Bukti.
Diketahui subruang dari
. Jika
, artinya terdapat
tapi
. Akan dibuktikan
. Ambil sebarang
, karena
subruang, maka
, sehingga diperoleh
atau
. Jika
, artinya
. Hal ini kontradiksi dengan
. Jadi, haruslah
. Akibatnya
. Jadi,
.
Sebaliknya diketahui atau
. Akibatnya
atau
. Karena
dan
adalah subruang, berakibat
adalah subruang.