Daerah Integral

Secara umum jika dua bilangan pada bilangan riil (lapangan) dan hasil kalinya sama dengan nol, maka salah satu bilangan tersebut pasti ada yang nol. Tetapi pada ring $R$ tidak berlaku demikian. Misal diberikan ring $\mathbb{Z}_6$ dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Pilih $[2], [3] \in \mathbb{Z}$ , maka diperoleh $[2] \cdot [3] = [0]$ , padahal $[2],[3] \neq [0]$ . Tetapi di sisi lain berlkau juga $[0] \cdot [1] = [0]$ , $[0] \cdot [2] = [0]$ , dst. Oleh karena itu, muncul definisi dari Elemen Pembagi Nol. Berikut diberikan definisinya.

Definisi 1.

Misalkan $R$ suatu ring dan $a \in R, a \neq 0$ maka

1. $a$ disebut elemen pembagi nol kiri jika $\exists b \in R, b \neq 0$ sedemikian hingga $ab = 0$

2. $a$ disebut elemen pembagi nol kanan jika $\exists b \in R, b \neq 0$ sedemikian hingga $ba = 0$

Dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring $R$ , $a \in R, a \neq 0$ dan $\exists b \in R, b \neq 0$ sedemikian hingga $ab = ba = 0$ . Selanjutnya, $a$ bukan elemen pembagi nol jika $\forall b \in R, b \neq 0, ab \neq 0$ . Apabila $R$ mempunyai elemen satuan $e$ , maka $e$ bukan pembagi nol, karena $\forall b \in R, be = eb = b$ .

Contoh 2.

Diberikan ring matriks $2 \times 2$ terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

$M_{2 \times 2} = \left\{ \left. \begin{bmatrix} a&b\\ cc&d \end{bmatrix} \right| a,b,c,d \in R \right\}$

Carilah elemen pembagi nol kanan tapi bukan elemen pembagi nol kiri dan elemen pembagi nol kiri tapi bukan elemen pembagi nol kanan dari pada ring $M_{2 \times 2}$ .

Pilih $A = \begin{bmatrix} 0&0\\ c&d \end{bmatrix}$ dan $C = \begin{bmatrix} 0&b\\ 0&d \end{bmatrix}$ sebagai elemen pembagi nol. Misal $B = \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ . Perhatikan,

$AB = \begin{bmatrix} 0&0\\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0&0\\ cx&0 \end{bmatrix}$

$\neq \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

$BA = \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0\\ c&d \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

Jadi, $A$ adalah pembagi nol kanan tapi bukan pembagi nol kiri pada ring $M_{2 \times 2}$ .

$CB = \begin{bmatrix} 0&b\\ 0&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

$BC = \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&b\\ 0&d \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0&bx\\ 0&0 \end{bmatrix}$

$\neq \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$

Jadi, $C$ adalah pembagi nol kiri tapi bukan pembagi nol kanan pada ring $M_{2 \times 2}$ . $\square$

Contoh 3.

Misal diberikan ring $\mathbb{Z}_8$ , maka akan diperoleh bahwa setiap pembagi nol kiri pasti merupakan pembagi nol kanan, karena ring $\mathbb{Z}_8$ merupakan ring komutatif. Dalam ring tersebut $[2]$ dan $[4]$ merupakan elemen pembagi nol. Tetapi $[3]$ bukan merupakan elemen pembagi nol karena tidak terdapat $[a] \in \mathbb{Z}_8$ sedemikian hingga $[a] \cdot [3] = [0]$ atau $[3] \cdot [a] = [0]$ . $\square$

Teorema 4.

Jika $a$ dan $b$ bukan pembagi nol di ring $R$ maka $ab$ bukan pembagi nol.

Bukti.

Diketahui $a$ dan $b$ bukan pembagi nol. Akan dibuktikan $ab$ bukan pembagi nol. Andaikan $ab$ merupakan pembagi nol (kiri), maka terdapat $c \in R, c \neq 0$ sedemikian hingga $(ab)c = 0$ . Tetapi $(ab)c = a(bc)$ . Karena $a$ bukan pembagi nol dan $a(bc) = 0$ maka $bc = 0$ . Selanjutnya, karena $b$ bukan pembagi nol dan $bc = 0$ maka $c = 0$. Kontradiksi dengan pengandaian bahwa $c \neq 0$ . Jadi, haruslah $c=0$ yang berarti $ab$ bukan pembagi nol. $\blacksquare$

Contoh 5.

Misal diberikan ring $\mathbb{Z}_{10}$ , maka $[3]$ dan $[7]$ bukan merupakan elemen pembagi nol (silahkan dicek sendiri). Oleh karena itu diperoleh $[3] \cdot [7] = 21 = [1]$ . Seperti yang diketahui $[1]$ bukan merupakan elemen pembagi nol. $\square$

Definisi 6.

Diberikan $R$ ring komutatif dengan elemen $1$ . Maka $R$ disebut daerah integral jika $R$ tidak memuat pembagi nol.

Pada banyak tulisan, daerah integral sering dilambangkan dengan $D$ . Selanjutnya $D$ merupakan daerah integral jika untuk setiap $a,b \in D$ yang memenuhi $ab=0$ berlaku $a=0$ atau $b=0$ .

Contoh 7.

Misal diberikan ring $\mathbb{Z}_5$ . Perhatikan tabel berikut,

$\cdot$	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[0]	[0]	[0]	[0]	[0]	[0]
[1]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[2]	[0]	[2]	[4]	[1]	[3]
[3]	[0]	[3]	[1]	[4]	[2]
[4]	[0]	[4]	[3]	[2]	[1]

Jika diperhatikan pada tabel, jelas bahwa tidak terdapat elemen pembagi nol. Sehingga dapat disimpulkan bahwa $\mathbb{Z}_5$ merupakan Daerah Integral. $\square$

Teorema 8. (Hukum Pembatalan)

Jika $D$ daerah integral dan $a,b,c \in D$ dengan $a \neq 0$ serta $ab=ac$ maka $b=c$ .

Bukti.

Diketahui $latex D$ daerah integral. Ambil sebarang $latex a,b,c \in D$ dan $a \neq 0$ . Perhatikan bahwa,

$ab = ac$

$ab-ac = 0$

$a(b-c) = 0$

Karena $a \neq 0$ dan $D$ daerah integral, berakibat $b-c = 0$ , diperoleh $b = c$ . $\square$

Teorema di atas merupakan hukum pembatalan kiri. Karena daerah integral merupakan ring komutatif, maka hukum pembatalan kiri ekuivalen dengan hukum pembatalan kanan.

One comment on “Daerah Integral”

Adi

Juni 14, 2019 @ 6:59 pm

Bagaimana membuktikan himpunan R adalah ring yg memiliki el pergandaan, jika x adalah unsur pembagi nol maka x bukan unsur satuan/unit?

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	kautsar muafa pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Erkyu pada Turunan log x, ln x, a^x dan e…
	yakob pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	linsa pada Koleksi Buku
	nenengwindi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Aleyn pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	Arif pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Justin pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

One comment on “Daerah Integral”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan