Daerah Integral


Secara umum jika dua bilangan pada bilangan riil (lapangan) dan hasil kalinya sama dengan nol, maka salah satu bilangan tersebut pasti ada yang nol. Tetapi pada ring R tidak berlaku demikian. Misal diberikan ring \mathbb{Z}_6 dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Pilih [2], [3] \in \mathbb{Z}, maka diperoleh [2] \cdot [3] = [0], padahal [2],[3] \neq [0]. Tetapi di sisi lain berlkau juga [0] \cdot [1] = [0], [0] \cdot [2] = [0], dst. Oleh karena itu, muncul definisi dari Elemen Pembagi Nol. Berikut diberikan definisinya.

Definisi 1.

Misalkan R suatu ring dan a \in R, a \neq 0 maka

1.  a disebut elemen pembagi nol kiri jika \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ab = 0

2.  a disebut elemen pembagi nol kanan jika \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ba = 0

Dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring R, a \in R, a \neq 0 dan \exists b \in R, b \neq 0 sedemikian hingga ab = ba = 0. Selanjutnya, a bukan elemen pembagi nol jika \forall b \in R, b \neq 0, ab \neq 0. Apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena \forall b \in R, be = eb = b.

Contoh 2.

Diberikan ring matriks 2 \times 2 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

M_{2 \times 2} = \left\{ \left. \begin{bmatrix} a&b\\ cc&d \end{bmatrix} \right| a,b,c,d \in R \right\}

Carilah elemen pembagi nol kanan tapi bukan elemen pembagi nol kiri dan elemen pembagi nol kiri tapi bukan elemen pembagi nol kanan dari pada ring M_{2 \times 2}.

Pilih A = \begin{bmatrix} 0&0\\ c&d \end{bmatrix} dan C = \begin{bmatrix} 0&b\\ 0&d \end{bmatrix} sebagai elemen pembagi nol. Misal B = \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix}. Perhatikan,

AB = \begin{bmatrix} 0&0\\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0&0\\ cx&0 \end{bmatrix}

\neq \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

BA = \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0\\ c&d \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

Jadi, A adalah pembagi nol kanan tapi bukan pembagi nol kiri pada ring M_{2 \times 2}.

CB = \begin{bmatrix} 0&b\\ 0&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

BC = \begin{bmatrix} x&0\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&b\\ 0&d \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 0&bx\\ 0&0 \end{bmatrix}

\neq \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

Jadi, C adalah pembagi nol kiri tapi bukan pembagi nol kanan pada ring M_{2 \times 2}. \square

Contoh 3.

Misal diberikan ring \mathbb{Z}_8, maka akan diperoleh bahwa setiap pembagi nol kiri pasti merupakan pembagi nol kanan, karena ring \mathbb{Z}_8 merupakan ring komutatif. Dalam ring tersebut [2] dan [4] merupakan elemen pembagi nol. Tetapi [3] bukan merupakan elemen pembagi nol karena tidak terdapat [a] \in \mathbb{Z}_8 sedemikian hingga [a] \cdot [3] = [0] atau [3] \cdot [a] = [0]. \square

Teorema 4.

Jika a dan b bukan pembagi nol di ring R maka ab bukan pembagi nol.

Bukti.

Diketahui a dan b bukan pembagi nol. Akan dibuktikan ab bukan pembagi nol. Andaikan ab merupakan pembagi nol (kiri), maka terdapat c \in R, c \neq 0 sedemikian hingga (ab)c = 0. Tetapi (ab)c = a(bc). Karena a bukan pembagi nol dan a(bc) = 0 maka bc = 0. Selanjutnya, karena b bukan pembagi nol dan bc = 0 maka $c = 0$. Kontradiksi dengan pengandaian bahwa c \neq 0. Jadi, haruslah c=0 yang berarti ab bukan pembagi nol. \blacksquare

Contoh 5.

Misal diberikan ring \mathbb{Z}_{10}, maka [3] dan [7] bukan merupakan elemen pembagi nol (silahkan dicek sendiri). Oleh karena itu diperoleh [3] \cdot [7] = 21 = [1]. Seperti yang diketahui [1] bukan merupakan elemen pembagi nol. \square

Definisi 6.

Diberikan R ring komutatif dengan elemen 1. Maka R disebut daerah integral jika R tidak memuat pembagi nol.

Pada banyak tulisan, daerah integral sering dilambangkan dengan D. Selanjutnya D merupakan daerah integral jika untuk setiap a,b \in D yang memenuhi ab=0 berlaku a=0 atau b=0.

Contoh 7.

Misal diberikan ring \mathbb{Z}_5. Perhatikan tabel berikut,

\cdot

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0]

[1]

[0]

[1]

[2]

[3]

[4]

[2]

[0]

[2]

[4]

[1]

[3]

[3]

[0]

[3]

[1]

[4]

[2]

[4]

[0]

[4]

[3]

[2]

[1]

Jika diperhatikan pada tabel, jelas bahwa tidak terdapat elemen pembagi nol. Sehingga dapat disimpulkan bahwa \mathbb{Z}_5 merupakan Daerah Integral. \square

Teorema 8. (Hukum Pembatalan)

Jika D daerah integral dan a,b,c \in D dengan a \neq 0 serta ab=ac maka b=c.

Bukti.

Diketahui $latex D$ daerah integral. Ambil sebarang $latex  a,b,c \in D$ dan a \neq 0. Perhatikan bahwa,

ab = ac

ab-ac = 0

a(b-c) = 0

Karena a \neq 0 dan D daerah integral, berakibat b-c = 0, diperoleh b = c. \square

Teorema di atas merupakan hukum pembatalan kiri. Karena daerah integral merupakan ring komutatif, maka hukum pembatalan kiri ekuivalen dengan hukum pembatalan kanan.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s