Daerah Integral

Secara umum jika dua bilangan pada bilangan riil (lapangan) dan hasil kalinya sama dengan nol, maka salah satu bilangan tersebut pasti ada yang nol. Tetapi pada ring tidak berlaku demikian. Misal diberikan ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Pilih , maka diperoleh , padahal . Tetapi di sisi lain berlkau juga , , dst. Oleh karena itu, muncul definisi dari Elemen Pembagi Nol. Berikut diberikan definisinya.

Definisi 1.

Misalkan suatu ring dan maka

1.  disebut elemen pembagi nol kiri jika sedemikian hingga

2.  disebut elemen pembagi nol kanan jika sedemikian hingga

Dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring , dan sedemikian hingga . Selanjutnya, bukan elemen pembagi nol jika . Apabila mempunyai elemen satuan , maka bukan pembagi nol, karena .

Contoh 2.

Diberikan ring matriks terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

Carilah elemen pembagi nol kanan tapi bukan elemen pembagi nol kiri dan elemen pembagi nol kiri tapi bukan elemen pembagi nol kanan dari pada ring .

Pilih dan sebagai elemen pembagi nol. Misal . Perhatikan,

Jadi, adalah pembagi nol kanan tapi bukan pembagi nol kiri pada ring .

Jadi, adalah pembagi nol kiri tapi bukan pembagi nol kanan pada ring .

Contoh 3.

Misal diberikan ring , maka akan diperoleh bahwa setiap pembagi nol kiri pasti merupakan pembagi nol kanan, karena ring merupakan ring komutatif. Dalam ring tersebut dan merupakan elemen pembagi nol. Tetapi bukan merupakan elemen pembagi nol karena tidak terdapat sedemikian hingga atau .

Teorema 4.

Jika dan bukan pembagi nol di ring maka bukan pembagi nol.

Bukti.

Diketahui dan bukan pembagi nol. Akan dibuktikan bukan pembagi nol. Andaikan merupakan pembagi nol (kiri), maka terdapat sedemikian hingga . Tetapi . Karena bukan pembagi nol dan maka . Selanjutnya, karena bukan pembagi nol dan maka $c = 0$. Kontradiksi dengan pengandaian bahwa . Jadi, haruslah yang berarti bukan pembagi nol.

Contoh 5.

Misal diberikan ring , maka dan bukan merupakan elemen pembagi nol (silahkan dicek sendiri). Oleh karena itu diperoleh . Seperti yang diketahui bukan merupakan elemen pembagi nol.

Definisi 6.

Diberikan ring komutatif dengan elemen . Maka disebut daerah integral jika tidak memuat pembagi nol.

Pada banyak tulisan, daerah integral sering dilambangkan dengan . Selanjutnya merupakan daerah integral jika untuk setiap yang memenuhi berlaku atau .

Contoh 7.

Misal diberikan ring . Perhatikan tabel berikut,

	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[0]	[0]	[0]	[0]	[0]	[0]
[1]	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]
[2]	[0]	[2]	[4]	[1]	[3]
[3]	[0]	[3]	[1]	[4]	[2]
[4]	[0]	[4]	[3]	[2]	[1]

Jika diperhatikan pada tabel, jelas bahwa tidak terdapat elemen pembagi nol. Sehingga dapat disimpulkan bahwa merupakan Daerah Integral.

Teorema 8. (Hukum Pembatalan)

Jika daerah integral dan dengan serta maka .

Bukti.

Diketahui $latex D$ daerah integral. Ambil sebarang $latex  a,b,c \in D$ dan . Perhatikan bahwa,

Karena dan daerah integral, berakibat , diperoleh .

Teorema di atas merupakan hukum pembatalan kiri. Karena daerah integral merupakan ring komutatif, maka hukum pembatalan kiri ekuivalen dengan hukum pembatalan kanan.