Secara umum jika dua bilangan pada bilangan riil (lapangan) dan hasil kalinya sama dengan nol, maka salah satu bilangan tersebut pasti ada yang nol. Tetapi pada ring tidak berlaku demikian. Misal diberikan ring
dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Pilih
, maka diperoleh
, padahal
. Tetapi di sisi lain berlkau juga
,
, dst. Oleh karena itu, muncul definisi dari Elemen Pembagi Nol. Berikut diberikan definisinya.
Definisi 1.
Misalkan suatu ring dan
maka
1. disebut elemen pembagi nol kiri jika
sedemikian hingga
2. disebut elemen pembagi nol kanan jika
sedemikian hingga
Dapat disimpulkan, pembagi nol adalah jika pada suatu ring ,
dan
sedemikian hingga
. Selanjutnya,
bukan elemen pembagi nol jika
. Apabila
mempunyai elemen satuan
, maka
bukan pembagi nol, karena
.
Contoh 2.
Diberikan ring matriks terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Carilah elemen pembagi nol kanan tapi bukan elemen pembagi nol kiri dan elemen pembagi nol kiri tapi bukan elemen pembagi nol kanan dari pada ring .
Pilih dan
sebagai elemen pembagi nol. Misal
. Perhatikan,
Jadi, adalah pembagi nol kanan tapi bukan pembagi nol kiri pada ring
.
Jadi, adalah pembagi nol kiri tapi bukan pembagi nol kanan pada ring
.
Contoh 3.
Misal diberikan ring , maka akan diperoleh bahwa setiap pembagi nol kiri pasti merupakan pembagi nol kanan, karena ring
merupakan ring komutatif. Dalam ring tersebut
dan
merupakan elemen pembagi nol. Tetapi
bukan merupakan elemen pembagi nol karena tidak terdapat
sedemikian hingga
atau
.
Teorema 4.
Jika dan
bukan pembagi nol di ring
maka
bukan pembagi nol.
Bukti.
Diketahui dan
bukan pembagi nol. Akan dibuktikan
bukan pembagi nol. Andaikan
merupakan pembagi nol (kiri), maka terdapat
sedemikian hingga
. Tetapi
. Karena
bukan pembagi nol dan
maka
. Selanjutnya, karena
bukan pembagi nol dan
maka $c = 0$. Kontradiksi dengan pengandaian bahwa
. Jadi, haruslah
yang berarti
bukan pembagi nol.
Contoh 5.
Misal diberikan ring , maka
dan
bukan merupakan elemen pembagi nol (silahkan dicek sendiri). Oleh karena itu diperoleh
. Seperti yang diketahui
bukan merupakan elemen pembagi nol.
Definisi 6.
Diberikan ring komutatif dengan elemen
. Maka
disebut daerah integral jika
tidak memuat pembagi nol.
Pada banyak tulisan, daerah integral sering dilambangkan dengan . Selanjutnya
merupakan daerah integral jika untuk setiap
yang memenuhi
berlaku
atau
.
Contoh 7.
Misal diberikan ring . Perhatikan tabel berikut,
|
[0] |
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[0] |
[1] |
[0] |
[1] |
[2] |
[3] |
[4] |
[2] |
[0] |
[2] |
[4] |
[1] |
[3] |
[3] |
[0] |
[3] |
[1] |
[4] |
[2] |
[4] |
[0] |
[4] |
[3] |
[2] |
[1] |
Jika diperhatikan pada tabel, jelas bahwa tidak terdapat elemen pembagi nol. Sehingga dapat disimpulkan bahwa merupakan Daerah Integral.
Teorema 8. (Hukum Pembatalan)
Jika daerah integral dan
dengan
serta
maka
.
Bukti.
Diketahui $latex D$ daerah integral. Ambil sebarang $latex a,b,c \in D$ dan . Perhatikan bahwa,
Karena dan
daerah integral, berakibat
, diperoleh
.
Teorema di atas merupakan hukum pembatalan kiri. Karena daerah integral merupakan ring komutatif, maka hukum pembatalan kiri ekuivalen dengan hukum pembatalan kanan.
Bagaimana membuktikan himpunan R adalah ring yg memiliki el pergandaan, jika x adalah unsur pembagi nol maka x bukan unsur satuan/unit?