Teorema Ceva


Jika diberikan segitiga ABC sebarang kemudian dibuat ruas garis dari titik-titik segitiga tersebut, yaitu A, B, dan C ke sisi yang berlawanan dengan masing-masing titik tersebut sedemikian hingga terbentuk garis AX, BY dan CZ, dimana X terletak pada sisi BC, Y terletak pada sisi AC dan Z terletak pada sisi AB. Selanjutnya ruas garis AX, BY dan CZ disebut Cevian.

cevian_01

Nama garis ini berasal dari matematkawan Italia yang bernama Giovanni Ceva. Berikut teoremanya.

Teorema 1.

Jika tiga cevian AX, BY dan CZ melalui masing-masing titik segitiga ABC, maka

\dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} \dfrac{AZ}{ZB} = 1

Bukti.

Perhatikan gambar berikut ini.

cevian_02

Dari gambar di atas, dengan memandang BC sebagai alas segitiga ABC, diperoleh bahwa

\dfrac{BX}{XC} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot BX \cdot t}{\frac{1}{2} \cdot XC \cdot t} = \dfrac{L \triangle ABX}{L \triangle AXC}

Dengan cara yang sama, dengan memperhatikan segitiga BPC, maka diperoleh

\dfrac{BX}{XC} = \dfrac{L \triangle PBX}{L \triangle PXC}.

Oleh karena itu, didapat

\dfrac{BX}{XC} = \dfrac{ L \triangle ABX-L \triangle PBX}{ L \triangle AXC-L \triangle PXC} = \dfrac{L \triangle ABP}{L \triangle ACP}

Dengan cara yang sama, dengan memandang AC dan AB sebagai alas segitiga ABC, berturut-turut diperoleh bahwa

\dfrac{CY}{YA} = \dfrac{L \triangle BCP}{L \triangle ABP} dan \dfrac{AZ}{AB} = \dfrac{L \triangle ACP}{L \triangle CBP}

Oleh karena itu, didapat

\dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} \dfrac{AZ}{AB} = \dfrac{L \triangle ABP}{L \triangle ACP} \dfrac{L \triangle BCP}{L \triangle ABP} \dfrac{L \triangle ACP}{L \triangle BCP} = 1

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s