Menggambar Elips


Menurut  Wikipedia, Elips adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Lebih lanjut, Elips merupakan salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Sebelum lebih jauh, sudah diketahui bahwa bentuk standar/baku lingkaran dengan jari-jari r dan berpusat di (a,b) adalah

(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2

Jika kedua ruas dibagi oleh r^2, diperoleh

\dfrac{(x-a)^2}{r^2} + \dfrac{(y-b)^2}{r^2} = 1

Pada persamaan terakhir di atas, masing penyebut r^2 pada pecahan tersebut merupakan jarak vertical dan horizontal yang melalui titik pusat lingkaran tersebut. Bagaimana jika penyebut pada pecahan di atas tersebut berbeda ? Persamaan ini yang akan menjadi persamaan umum dari Elips. Perhatikan ilustrasi berikut. Misal dipunyai persamaan sebagai berikut.

\dfrac{(x-3)^2}{4^2} + \dfrac{(y-1)^2}{2^2} = 1

Pada persamaan tersebut, diperoleh bahwa titik pusatnya adalah (3,1). Dengan mensubstitusikan y=1, diperoleh

\dfrac{(x-3)^2}{4^2} + \dfrac{(1-1)^2}{4^2} = 1

\dfrac{(x-3)^2}{4^2} + 0 = 1

(x-3)^2 = 16

x-3 = \pm 4

x = 7 atau x = -1

Oleh karena itu, diperoleh (-1,1) dan (7,1). Sehingga berakibat jarak horizontal dari titik pusat ke grafik adalah -3-(-1) atau 7-3 adalah 4. Dengan cara yang sama, dengan mensubstitusikan x=3, diperoleh y = 3 atau y=-1. Oleh karena itu, diperoleh (3,-1) dan (3,3). Sehingga berakibat jarak vertical dari titik pusat ke grafik adalah 1-(-1) atau 3-1 adalah 2. Sehingga apabila digambarkan titik-titik koordinat yang diperoleh di atas, maka di dapat gambar sebagai berikut.

elips_01

Pada elips, jarak terjauh antar dua titik disebut Sumbu Mayor dan sumbu yang tegak lurus dengan sumbu mayor disebut Sumbu Minor. Dari penjelas diatas, dapat disimpulkan bawah Bentuk Baku Persamaan Elips adalah sebagai berikut.

\dfrac{(x-a)^2}{p^2} + \dfrac{(y-b)^2}{q^2} = 1

Dengan (a,b) adalah titik pusat serta p dan q adalah jarak horizontal atau/dan vertical dari titik pusat ke grafik. Secara umum, gambar Elips adalah sebagai berikut.

elips_02

Dari gambar di atas, terdapat dua kasus, yaitu yang pertama apabila p>q, maka yang merupakan sumbu mayor adalah sumbu yang sejajar dengan sumbu-x (sumbu horizontal) dan yang kedua apabila p<q, maka yang merupakan sumbu minor adalah sumbu yang sejajar dengan sumbu-y (sumbu vertikal).

Contoh 1.

Tentukanlah titik pusat, panjang jarak horizontal dan vertical dari titik pusat dari persamaan elips 4x^2 + 9y^2 + 16x-18y-11 = 0

Penyelesaian.

4x^2+9y^2+16x-18y-11=0

4x^2+16x+9y^2-18y-11=0

4(x^2+4x)+9(y^2-2y)-11=0

4(x^2+4x+4-4)+9(y^2-2y+1-1)-11=0

4((x+2)^2-4)+9((y-1)^2-1)-11=0

4(x+2)^2-16+9(y-1)^2-9-11=0

4(x+2)^2+9(y-1)^2-36=0

4(x+2)^2+9(y-1)^2 = 36

\dfrac{(x+2)^2}{9} + \dfrac{(y-1)^2}{4} = 1

Jadi, titik pusatnya adalah (-2,1) serta panjang garis horizontal dan vertical dari titik pusat adalah p = \sqrt{9} = 3 dan q = \sqrt{4} = 2.

Contoh 2.

Gambarlah elips dari persamaan sebagai berikut

\dfrac{(x-5)^2}{100} + \dfrac{(y-3)^2}{36} = 1

Penyelesaian.

Dari persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa elips tersebut mempunyai titik pusat (5,3) dengan p = \sqrt{100} = 10 dan q = \sqrt{36} = 6. Dengan mensubtitusikan x=5 ke persamaan elips, diperoleh titik koordinat (5,-3) dan (5,9). Selanjutnya dengan y=3 ke persamaan elips, diperoleh titik koordinat (15,3) dan (-5,3). Sehingga, diperoleh gambar sebagai berikut.

elips_03

Contoh 3.

Gambarlah elips dari persamaan sebagai berikut

16x^2 + 9y^2 = 144

Penyelesaian.

Sebelum meggambar elips, terlebih dahulu diubah kedalam bentuk persamaan baku. Perhatikan

16(x-0)^2 + 9(y-0)^2 = 144

\dfrac{16(x-0)^2}{144} + \dfrac{9(y-0)^2}{144} = 1

\dfrac{(x-0)^2}{9} + \dfrac{(y-0)^2}{16} = 1

Dari persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa elips tersebut mempunyai titik pusat (0,0) dengan p = \sqrt{9} = 3 dan q = \sqrt{16} = 4. Dengan mensubtitusikan x=0 ke persamaan elips, diperoleh titik koordinat (0,-4) dan (0,4). Selanjutnya dengan y=0 ke persamaan elips, diperoleh titik koordinat (-3,0) dan (3,0). Sehingga, diperoleh gambar sebagai berikut.

elips_04

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s