Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu


Misal diberikan elips dengan persamaan \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1. Selanjutnya misalkan terdapat garis y = mx + n sedemikian hingga menyinggung elips. Karena garis y menyinggung elips, maka berakibat diskriminannya sama dengan nol, yaitu D=0. Perhatikan.

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(mx+n)^2}{q} = 1

\dfrac{qx^2 + p(mx+n)^2}{pq} = 1

qx^2 + p(m^2x^2+2mnx+n^2) = pq

qx^2 + pm^2x^2 + 2pmnx + pn^2- pq = 0

(x^2 + pm^2)x^2 + 2pmnx + p(n^2- q) = 0

Karena diskiriminannya sama dengan nol, dipeorleh

D = 0

b^2-4ac = 0

(2pmn^2-4(q + pm^2)p(n^2-q) = 0

4p^2m^2n^2-(4pq + 4p^2m^2)(n^2-q) = 0

4p^2m^2n^2-4pqn^2 + 4pq^2-4p^2m^2n^2 + 4p^2m^2q = 0

-4pqn^2 + 4pq^2 + 4p^2qm^2 = 0

4pq(-n^2 + q + pm^2) = 0

-n^2 + q + pm^2 = 0

n^2 = q + pm^2

n = \pm \sqrt{q + pm^2}

Sehingga, diperoleh persamaan garis singgung elips adalah.

y = mx \pm \sqrt{q + pm^2}

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung jika diketahui persamaan elipsnya adalah \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{36} = 1 dan dengan gradient m = 3.

Penyelesaian.

Dengan enggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

y = 3x \pm \sqrt{36 + 16(3)^2}

= 3x \pm \sqrt{36 + 16(9)}

= 3x \pm \sqrt{36 + 144}

= 3x \pm \sqrt{180}

= 3x \pm \sqrt{2.3.3.3.5}

= 3x \pm 6\sqrt{5}

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{36} = 1 dan dengan gradient m = 3 adalah y = 3x + 6\sqrt{5} atau y = 3x-6\sqrt{5}.

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung elips 16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0 yang bergradien m=-1.

Penyelesaian.

Perhatikan.

16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0

16x^2 -64x + 25y^2 -336 = 0

16(x^2 -4x) + 25y^2 -336 = 0

16(x^2 -4x + 4 -4) + 25(y-0)^2 -336 = 0

16(x^2 -4x + 4) -64 + 25(y-0)^2 -336 = 0

16(x-2)^2 + 25(y-0)^2 -400 = 0

\dfrac{(x-2)^2}{25} + \dfrac{(y-0)^2}{8} = 1

Dari persaman di atas, diperoleh bahwa p=25 dan q=8. Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

y = -x \pm \sqrt{8 + 25(-1)^2}

= -x \pm \sqrt{8 + 25}

= -x \pm \sqrt{33}

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips 16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0 dan dengan gradient m = -1 adalah y = -x + \sqrt{33} atau y = -x -\sqrt{33}.

Contoh 3.

Cari persamaan garis singgung elips 9x^2 + 4y^2 -18x -16y -11 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3y + 4x = 5.

Penyelesaian.

Perhatikan.

9x^2 + 4y^2 -18x -8y -11 = 0

9x^2 -18x + 4y^2 -16y -11 = 0

9(x^2 -2x) + 4(y^2 -4y) -11 = 0

9(x^2 -2x + 1 -1) + 4(y^2 -4y + 4 -4) -11 = 0

9((x-1)^2-1) + 4((y-2)^2 -4) -11 = 0

9(x-1)^2 -9 + 4(y-2)^2 -16 -11 = 0

9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 -36 = 0

9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 36

\dfrac{(x-1)^2}{4} + \dfrac{(y-2)^2}{9} = 1

Dari persaman di atas, diperoleh bahwa p=4 dan q=9. Selanjutnya, diperoleh gradient garisya adalah

3y + 4x = 5

3y = 5 -4x

y = \dfrac{5}{3} -\dfrac{4}{3}x

m_1 = \dfrac{4}{3}

Karena persamaan garis singgungnya tegrak lurus dengan garis 3y + 4x = 5, maka syarat gradient garisnya adalah m_1 \cdot m_2 = -1. Sehingga diperoleh m = m_2 = -\dfrac{3}{4}.

Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

y = -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{4 + 9\left( -\dfrac{3}{4} \right)^2}

= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{4 + 9 \dfrac{9}{16}}

= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{\dfrac{64}{16}+ \dfrac{81}{16}}

= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{\dfrac{145}{16}}

= -\dfrac{3}{4}x \pm \dfrac{1}{4} \sqrt{145}

4y = -3x \pm \sqrt{145}

4y + 3x = \pm \sqrt{145}

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips 9x^2 + 4y^2 -18x -16y -11 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3y + 4x = 5 adalah 4y + 3x = \sqrt{145} atau 4y + 3x = -\sqrt{145}.

3 comments on “Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu

  1. Ping-balik: Persamaan Garis SInggung Elips Melalui suatu Tititk (1) | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s