Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu


Misal diberikan elips dengan persamaan \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1. Selanjutnya misalkan terdapat garis y = mx + n sedemikian hingga menyinggung elips. Karena garis y menyinggung elips, maka berakibat diskriminannya sama dengan nol, yaitu D=0. Perhatikan.

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(mx+n)^2}{q} = 1

\dfrac{qx^2 + p(mx+n)^2}{pq} = 1

qx^2 + p(m^2x^2+2mnx+n^2) = pq

qx^2 + pm^2x^2 + 2pmnx + pn^2- pq = 0

(x^2 + pm^2)x^2 + 2pmnx + p(n^2- q) = 0

Karena diskiriminannya sama dengan nol, dipeorleh

D = 0

b^2-4ac = 0

(2pmn^2-4(q + pm^2)p(n^2-q) = 0

4p^2m^2n^2-(4pq + 4p^2m^2)(n^2-q) = 0

4p^2m^2n^2-4pqn^2 + 4pq^2-4p^2m^2n^2 + 4p^2m^2q = 0

-4pqn^2 + 4pq^2 + 4p^2qm^2 = 0

4pq(-n^2 + q + pm^2) = 0

-n^2 + q + pm^2 = 0

n^2 = q + pm^2

n = \pm \sqrt{q + pm^2}

Sehingga, diperoleh persamaan garis singgung elips adalah.

y = mx \pm \sqrt{q + pm^2}

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung jika diketahui persamaan elipsnya adalah \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{36} = 1 dan dengan gradient m = 3.

Penyelesaian.

Dengan enggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

y = 3x \pm \sqrt{36 + 16(3)^2}

= 3x \pm \sqrt{36 + 16(9)}

= 3x \pm \sqrt{36 + 144}

= 3x \pm \sqrt{180}

= 3x \pm \sqrt{2.3.3.3.5}

= 3x \pm 6\sqrt{5}

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{36} = 1 dan dengan gradient m = 3 adalah y = 3x + 6\sqrt{5} atau y = 3x-6\sqrt{5}.

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung elips 16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0 yang bergradien m=-1.

Penyelesaian.

Perhatikan.

16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0

16x^2 -64x + 25y^2 -336 = 0

16(x^2 -4x) + 25y^2 -336 = 0

16(x^2 -4x + 4 -4) + 25(y-0)^2 -336 = 0

16(x^2 -4x + 4) -64 + 25(y-0)^2 -336 = 0

16(x-2)^2 + 25(y-0)^2 -400 = 0

\dfrac{(x-2)^2}{25} + \dfrac{(y-0)^2}{8} = 1

Dari persaman di atas, diperoleh bahwa p=25 dan q=8. Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

y = -x \pm \sqrt{8 + 25(-1)^2}

= -x \pm \sqrt{8 + 25}

= -x \pm \sqrt{33}

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips 16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0 dan dengan gradient m = -1 adalah y = -x + \sqrt{33} atau y = -x -\sqrt{33}.

Contoh 3.

Cari persamaan garis singgung elips 9x^2 + 4y^2 -18x -16y -11 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3y + 4x = 5.

Penyelesaian.

Perhatikan.

9x^2 + 4y^2 -18x -8y -11 = 0

9x^2 -18x + 4y^2 -16y -11 = 0

9(x^2 -2x) + 4(y^2 -4y) -11 = 0

9(x^2 -2x + 1 -1) + 4(y^2 -4y + 4 -4) -11 = 0

9((x-1)^2-1) + 4((y-2)^2 -4) -11 = 0

9(x-1)^2 -9 + 4(y-2)^2 -16 -11 = 0

9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 -36 = 0

9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 36

\dfrac{(x-1)^2}{4} + \dfrac{(y-2)^2}{9} = 1

Dari persaman di atas, diperoleh bahwa p=4 dan q=9. Selanjutnya, diperoleh gradient garisya adalah

3y + 4x = 5

3y = 5 -4x

y = \dfrac{5}{3} -\dfrac{4}{3}x

m_1 = \dfrac{4}{3}

Karena persamaan garis singgungnya tegrak lurus dengan garis 3y + 4x = 5, maka syarat gradient garisnya adalah m_1 \cdot m_2 = -1. Sehingga diperoleh m = m_2 = -\dfrac{3}{4}.

Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

y = -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{4 + 9\left( -\dfrac{3}{4} \right)^2}

= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{4 + 9 \dfrac{9}{16}}

= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{\dfrac{64}{16}+ \dfrac{81}{16}}

= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{\dfrac{145}{16}}

= -\dfrac{3}{4}x \pm \dfrac{1}{4} \sqrt{145}

4y = -3x \pm \sqrt{145}

4y + 3x = \pm \sqrt{145}

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips 9x^2 + 4y^2 -18x -16y -11 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3y + 4x = 5 adalah 4y + 3x = \sqrt{145} atau 4y + 3x = -\sqrt{145}.

Iklan

5 comments on “Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu

  1. Ping-balik: Persamaan Garis SInggung Elips Melalui suatu Tititk (1) | Math IS Beautiful

  2. Sorry kak, Bukannya kalau pusat elips kagak di 0,0
    rumusnya jadi (y-b)= m (x-a) dst…..
    Kalau pakai cara di atas. pas di bikin grafiknya, elips dan garis kagak bersinggungan jadinya. Ada yang malah berpotongan.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s