Agu 7 2016

Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu

Misal diberikan elips dengan persamaan $\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1$ . Selanjutnya misalkan terdapat garis $y = mx + n$ sedemikian hingga menyinggung elips. Karena garis $y$ menyinggung elips, maka berakibat diskriminannya sama dengan nol, yaitu $D=0$ . Perhatikan.

$\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1$

$\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(mx+n)^2}{q} = 1$

$\dfrac{qx^2 + p(mx+n)^2}{pq} = 1$

$qx^2 + p(m^2x^2+2mnx+n^2) = pq$

$qx^2 + pm^2x^2 + 2pmnx + pn^2- pq = 0$

$(x^2 + pm^2)x^2 + 2pmnx + p(n^2- q) = 0$

Karena diskiriminannya sama dengan nol, dipeorleh

$D = 0$

$b^2-4ac = 0$

$(2pmn^2-4(q + pm^2)p(n^2-q) = 0$

$4p^2m^2n^2-(4pq + 4p^2m^2)(n^2-q) = 0$

$4p^2m^2n^2-4pqn^2 + 4pq^2-4p^2m^2n^2 + 4p^2m^2q = 0$

$-4pqn^2 + 4pq^2 + 4p^2qm^2 = 0$

$4pq(-n^2 + q + pm^2) = 0$

$-n^2 + q + pm^2 = 0$

$n^2 = q + pm^2$

$n = \pm \sqrt{q + pm^2}$

Sehingga, diperoleh persamaan garis singgung elips adalah.

$y = mx \pm \sqrt{q + pm^2}$

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung jika diketahui persamaan elipsnya adalah $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{36} = 1$ dan dengan gradient $m = 3$ .

Penyelesaian.

Dengan enggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

$y = 3x \pm \sqrt{36 + 16(3)^2}$

$= 3x \pm \sqrt{36 + 16(9)}$

$= 3x \pm \sqrt{36 + 144}$

$= 3x \pm \sqrt{180}$

$= 3x \pm \sqrt{2.3.3.3.5}$

$= 3x \pm 6\sqrt{5}$

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{36} = 1$ dan dengan gradient $m = 3$ adalah $y = 3x + 6\sqrt{5}$ atau $y = 3x-6\sqrt{5}$ .

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung elips $16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0$ yang bergradien $m=-1$ .

Penyelesaian.

Perhatikan.

$16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0$

$16x^2 -64x + 25y^2 -336 = 0$

$16(x^2 -4x) + 25y^2 -336 = 0$

$16(x^2 -4x + 4 -4) + 25(y-0)^2 -336 = 0$

$16(x^2 -4x + 4) -64 + 25(y-0)^2 -336 = 0$

$16(x-2)^2 + 25(y-0)^2 -400 = 0$

$\dfrac{(x-2)^2}{25} + \dfrac{(y-0)^2}{8} = 1$

Dari persaman di atas, diperoleh bahwa $p=25$ dan $q=8$ . Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

$y = -x \pm \sqrt{8 + 25(-1)^2}$

$= -x \pm \sqrt{8 + 25}$

$= -x \pm \sqrt{33}$

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips $16x^2 + 25y^2 -64x -336 = 0$ dan dengan gradient $m = -1$ adalah $y = -x + \sqrt{33}$ atau $y = -x -\sqrt{33}$ .

Contoh 3.

Cari persamaan garis singgung elips $9x^2 + 4y^2 -18x -16y -11 = 0$ yang tegak lurus dengan garis $3y + 4x = 5$ .

Penyelesaian.

Perhatikan.

$9x^2 + 4y^2 -18x -8y -11 = 0$

$9x^2 -18x + 4y^2 -16y -11 = 0$

$9(x^2 -2x) + 4(y^2 -4y) -11 = 0$

$9(x^2 -2x + 1 -1) + 4(y^2 -4y + 4 -4) -11 = 0$

$9((x-1)^2-1) + 4((y-2)^2 -4) -11 = 0$

$9(x-1)^2 -9 + 4(y-2)^2 -16 -11 = 0$

$9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 -36 = 0$

$9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 36$

$\dfrac{(x-1)^2}{4} + \dfrac{(y-2)^2}{9} = 1$

Dari persaman di atas, diperoleh bahwa $p=4$ dan $q=9$ . Selanjutnya, diperoleh gradient garisya adalah

$3y + 4x = 5$

$3y = 5 -4x$

$y = \dfrac{5}{3} -\dfrac{4}{3}x$

$m_1 = \dfrac{4}{3}$

Karena persamaan garis singgungnya tegrak lurus dengan garis $3y + 4x = 5$ , maka syarat gradient garisnya adalah $m_1 \cdot m_2 = -1$ . Sehingga diperoleh $m = m_2 = -\dfrac{3}{4}$ .

Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh

$y = -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{4 + 9\left( -\dfrac{3}{4} \right)^2}$

$= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{4 + 9 \dfrac{9}{16}}$

$= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{\dfrac{64}{16}+ \dfrac{81}{16}}$

$= -\dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{\dfrac{145}{16}}$

$= -\dfrac{3}{4}x \pm \dfrac{1}{4} \sqrt{145}$

$4y = -3x \pm \sqrt{145}$

$4y + 3x = \pm \sqrt{145}$

Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips $9x^2 + 4y^2 -18x -16y -11 = 0$ yang tegak lurus dengan garis $3y + 4x = 5$ adalah $4y + 3x = \sqrt{145}$ atau $4y + 3x = -\sqrt{145}$ .

5 comments on “Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu”

petrusfendiyanto

Agustus 7, 2016 @ 7:22 pm

gan..cara menulis menggunakan latex atau equation gmna caranya gan supa rapi ..maturnuwun

Balas
- aim
  
  Agustus 7, 2016 @ 7:28 pm
  
  Kalo nulis $\LaTeX$ -nya sendiri, tutorialnya disni https://aimprof08.wordpress.com/category/latex-for-wordpress/
  Tpi klo mslah rapinya, sya nulis di ms.word dulu, baru kemudian sya posting lewat word atau pake bantuan Notepad++
  
  Balas
Ping-balik: Persamaan Garis SInggung Elips Melalui suatu Tititk (1) | Math IS Beautiful
k

Februari 5, 2017 @ 10:58 pm

Sorry kak, Bukannya kalau pusat elips kagak di 0,0
rumusnya jadi (y-b)= m (x-a) dst…..
Kalau pakai cara di atas. pas di bikin grafiknya, elips dan garis kagak bersinggungan jadinya. Ada yang malah berpotongan.

Balas
- aim
  
  Februari 17, 2017 @ 9:04 am
  
  eh iya, mgkn ada yang kurang asumsi ditulisan ini mas.
  Terimakasih koreksinya.
  Tapi pada tulisan ini, asumsinya pusat elipsya di (0,0)
  
  Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	yudi pada Penyelesaian Persamaan Diferen…
	Pembuktian Integral… pada Turunan Fungsi dan Sifat-…
	Pembuktian Integral… pada Pembuktian Integral csc^2 x dx…
	Pembuktian Integral… pada Turunan Fungsi dan Sifat-…
	Pembuktian Integral… pada Pembuktian Integral sin dx =…
	aim pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	FNWP pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Kiki Mustaqim pada Turunan dari Invers Fungsi…
	aim pada Pembahasan TKPA Matematika Das…
	Ayu pada Pembahasan TKPA Matematika Das…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

5 comments on “Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan