Persamaan Garis SInggung Elips Melalui suatu Tititk (1)


Seperti pada tulisan sebelumnya, Persamaan Garis Singgung Elips dengan Gradien Tertentu, pada kesempatan ini akan dibahas lagi Persamaan Garis Singgung Elips tapi melalui suatu titik. Titik yang dimaksud adalah bisa terletak pada Elips itu sendiri atau diluar elips. Yang pertama, perhatikan untuk titik yang melalui elips (untuk kasus titik yang terletak diluar elips, akan dibahas pada tulisan selanjutnya). Misal diberikan elips dengan pusat di (0,0), yaitu \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} =1 dan titik (x_1, y_1) yang melalui elips. Sehingga diperoleh persamaan garis yang melalui titik tersebut adalah y-y_1 = m(x-x_1). Selanjutnya, disubtitusi persamaan garis tersebut ke dalam persaaan elips, diperoleh,

\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{(y_1 + m(x-x_1))^2}{q} = 1

\dfrac{q x^2 + p(y_1 + m(x-x_1))^2}{pq} = 1

qx^2 + p(y_1 + m(x-x_1))^2) = pq

qx^2 + p(y_1^2 + 2 y_1 m(x-x_1) + m^2(x-x_1)^2) = pq

qx^2 + p(y_1^2 + 2 y_1 mx -2y_1x_1 + m^2(x^2 -2x_1x + x_1^2)) = pq

qx^2 + py_1^2 + 2 p y_1 mx -2py_1x_1 + pm^2x^2 -2pm^2x_1x + pm^2x_1^2 = pq

(pm^2+q)x^2 + (2py_1m -2pm^2x_1)x + (py_1^2 -2py_1x_1 + pm^2x_1^2) = pq

(pm^2+q)x^2 + (2py_1m -2pm^2x_1)x + (py_1^2 -2py_1x_1 + pm^2x_1^2 -pq) = 0

Syarat menyinggung D = 0, atau dengan kata lain persamaan kuadrat di atas memeiliki dua akar kembar, yaitu x_1 = x_2.

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

2 x_1 = -\dfrac{b}{a}

2 x_1 = -\dfrac{(2py_1m -2pm^2x_1)}{(pm^2+q)}

2x_1(pm^2+q) = -(2py_1m -2pm^2x_1)

2x_1pm^2 + 2qx_1 = -2py_1m + 2pm^2x_1

2qx_1 = -2py_1m

m = -\dfrac{qx_1}{py_1}

Selanjutnya disubtitusi ke persamaan garis, diperoleh

y-y_1 = -\left( \dfrac{qx_1}{py_1} \right)(x-x_1)

(y-y_1)py_1 = -(qx_1)(x-x_1)

py_1y -py_1^2 = -qx_1x + qx_1^2

\dfrac{y_1y -y_1^2}{q} = \dfrac{-x_1x + x_1^2}{p}

\dfrac{y_1y}{q} -\dfrac{y_1^2}{q} = -\dfrac{x_1x}{p} + \dfrac{x_1^2}{p}

\dfrac{y_1y}{q} + \dfrac{x_1x}{p} = \dfrac{x_1^2}{p} + \dfrac{y_1^2}{q}

\dfrac{x_1x}{p} + \dfrac{y_1y}{q} = 1

Jadi, persamaan garis singgu elips melalui titik (x_1, y_1) adalah

\dfrac{x_1x}{p} + \dfrac{y_1y}{q} = 1

Selanjutnya bagaimana jika pusat elipsnya buka (0,0), yaitu berpusat di titik (a,b) ? Atau dengan kata lain, persamaan elips tersebut adalah \dfrac{(x-a)^2}{p} + \dfrac{(y-b)^2}{q} = 1. Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh persamaan garis singgung elipsnya adalah

\dfrac{(x_1-a)(x-a)}{p} + \dfrac{(y_1-b)(y-b)}{q} = 1

Contoh 1.

Tentukan persamaan garis singgung elips \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1 yang melalui \left( \dfrac{5}{2} \sqrt{3}, 2 \right).

Penyelesaian.

Sebelum mencari persamaan garis singgung, terlebih dahulu selidiki apakah titik \left( \dfrac{5}{2} \sqrt{3}, 2 \right) melalui persamaan elips tersebut. Perhatikan,

\dfrac{\left( \frac{5}{2} \sqrt{3} \right)^2}{25} + \dfrac{2^2}{16} = \dfrac{\left( \frac{3.25}{4} \right)}{25} + \dfrac{4}{16}

= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}

= 1

Jadi, titik \left( \dfrac{5}{2} \sqrt{3}, 2 \right) melalui persamaan elips. Selanjutnya, akan dicari persamaan garis singgungnya. Perhatikan,

\dfrac{x_1x}{p} + \dfrac{y_1y}{q} = 1

\dfrac{\frac{5}{2} \sqrt{3}x}{25} + \dfrac{2y}{16} = 1

\dfrac{\sqrt{3}x}{10} + \dfrac{2y}{16} = 1

16\sqrt{3}x + 20y = 160

Contoh 2.

Tentukan persamaan garis singgung dari persamaan elips x^2+2y^2-16 = 0 melalui titik (2\sqrt{2}, 2).

Penyelesaian.

Perhatikan,

x^2+2y^2-16 = 0

x^2+2y^2 = 16

\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{8} = 1

Seperti pada Contoh 1, terlebih dahulu dicek apakah titik (2\sqrt{2}, 2) terletak persamaan elips. Perhatikan,

\dfrac{(2 \sqrt{2})^2}{16} + \dfrac{2^2}{8} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{4}{8}

= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1

Jadi, (2\sqrt{2}, 2) terletak pada elips tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan rumus garis singgung, diperoleh

\dfrac{2\sqrt{2}x}{16} + \dfrac{2y}{8} = 1

\dfrac{\sqrt{2}x}{8} + \dfrac{y}{4} = 1

4\sqrt{2}x + 8y = 32

Contoh 3.

Tentukan persamaan garis singgung elips \dfrac{(x-2)^2}{20} + \dfrac{(y+3)^2}{5} = 1 melalui titik (6,-2).

Penyelesaian.

Cek apakah titik (6,-2) melalui persamaan elips. Perhatikan,

\dfrac{(6-2)^2}{20} + \dfrac{(-2+3)^2}{5} =\dfrac{16}{20} + \dfrac{1}{5}

= \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = 1

Selanjutnya, akan dicari persamaan garis singgungnya. Karena titik pusatnya bukan di (0,0), maka kita akan menggunakan rumus

\dfrac{(x_1-a)(x-a)}{p} + \dfrac{(y_1-b)(y-b)}{q} = 1

Perhatikan,

\dfrac{(6-2)(x-2)}{20} + \dfrac{(-2+3)(y+3)}{5} = 1

\dfrac{4(x-2)}{20} + \dfrac{(y+3)}{5} = 1

\dfrac{(x-2)}{5} + \dfrac{(y+3)}{5} = 1

x-2 + y+3 = 5

x + y = 4

Contoh 4.

Tentukan persamaan garis singgung elips 2x^2 + y^2 + 20x + 6y -53 = 0 melalui titik (-4,1).

Penyelesaian.

Perhatikan,

2x^2 + y^2 + 20x -6y -53 = 0

2x^2 + y^2 + 20x -6y + 59 = 6

2x^2+20x+50 + y^2-6y+9 = 6

2(x^2+10x+25) + (y^2-6y+9) = 6

2(x+5)^2 + (y-3)^2 = 6

\dfrac{(x+5)^2}{3} + \dfrac{(y-3)^2}{6} = 1

Selanjutnya, selidiki apakah titik (-4,1) terletak pada elips. Perhatikan,

\dfrac{(-4+5)^2}{3} + \dfrac{(1-3)^2}{6} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6}

= \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1

Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

\dfrac{(-4+5)(x+5)}{3} + \dfrac{(1-3)(y-3)}{6} = 1

\dfrac{(x+5)}{3} + \dfrac{-2(y-3)}{6} = 1

2(x+5) -2(y-3) = 6

2x + 10 -2y +  6 = 6

2x -2y = -10

x-y = -5

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s