Invers Kiri dan Kanan Matriks

Apabila berbicara tentang invers matriks, maka kita perlu pahami syarat cukup suatu matriks mempunyai invers, karena tidak semua matriks mempunya invers. Matriks seperti apa yang mempunyai invers? Yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Secara umum matriks $A_{n \times n}$ merupakan invers dari matriks $B_{n \times n}$ jika dan hanya jika $AB = I_n = BA$ . Perhatikan matriks berikut ini,

Contoh 1.

$A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}$ .

$AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 5&-1&0 \end{pmatrix}$ .

$BA = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}$ .

$= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2$ .

Jadi, $B$ adalah invers kiri dari matriks $A$ tapi $B$ bukan invers kanan dari $A$ .

Dari contoh di atas, dapat dibuat suatu definisi untuk invers kiri (atau kanan) suatu matriks. Berikut definisinya,

Definisi 2.

Diberikan $A$ adalah matriks berukuran $m \times n$ . Jika $L$ adalah matriks berukuran $n \times m$ yang memenuhi sifat $LA = I_m$ , maka $L$ disebut invers kiri $A$ . Selanjutnya, jika $R$ adalah matriks berukuran $n \times m$ yang memenuhi sifat $AR = I_n$ , maka $R$ disebut invers kanan $A$ .

Contoh 3.

Perhatikan matriks $B'= \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix}$ .

$AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -29&6&5\\ -40&9&8\\ -105&21&22 \end{pmatrix}$ .

$BA = \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}$ .

$= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2$ .

Jadi, $B'$ merupakan invers kiri $A$ . Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa invers kiri (atau kanan) suatu matriks tidak tunggal.

Contoh 4.

Carilah invers kanan dari matriks

$A = \begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&3&4\\ 1&1&4&2 \end{pmatrix}$

Sesuai dengan definisi invers kanan, maka diperoleh

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&3&4\\ 1&1&4&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ x_4&y_4&z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

Atau dengan kata lain, untuk mencari invers kanan dari matriks tersebut, kita harus menyelesaiakan system persamaan berikut.

$A \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$ , $A \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$ , dan $A \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3\\ z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$

Selanjutnya, kita akan menggunakan OBE, perhatikan.

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 1&1&4&2 &|& 0&0&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ \\ B_3-B_1\end{matrix}$

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 0&1&4&0 &|& -1&0&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ \\ B_3-B_2\end{matrix}$

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 0&0&1&-4 &|& -1&-1&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ B_2-3B_3\\ \\ \end{matrix}$

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&0&16 &|& 3&4&-3\\ 0&0&1&-4 &|& -1&-1&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ B_2-3B_3\\ \\ \end{matrix}$

Sehingga diperoleh,

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&0&16\\ 0&0&1&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ x_4&y_4&z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}$

Kemudian, dengan mengambil $x_4 = y_4 = z_4 =0$ , didapat.

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&0&16\\ 0&0&1&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ 0&0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}$

Jadi, diperoleh

$x_1 = 1, x_2= 3$ , dan $x_3 = -1$

$y_1 = 0, y_2= 4$ , dan $y_3 = -1$

$z_1 = 0, x_2= -3$ , dan $x_3 = 1$

Dengan, kata lain, invers kanan dari matriks $A$ adalah $\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$ .

Contoh 5.

Carilah invers kiri dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&2\\ 0&1 \end{pmatrix}$

Untuk mencari invers kiri, kita menggunakan OBE seperti pada contoh sebelumnya, tapi kita gunakan transpose dari matriks $A$ , yaitu $A^t = \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&2&1 \end{pmatrix}$ . Perhatikan,

$\begin{pmatrix} 1&1&0 &|& 1&0\\ 0&2&1 &|& 0&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ 1/2B_2-B_1\end{matrix}$

$\begin{pmatrix} 1&0&-1/2 &|& 1&-1/2\\ 0&1&1/2 &|& 0&1/2 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} B_1-B_2\\ \\ \end{matrix}$

Sehingga diperoleh invers kana dari matriks $A^t$ adalah

$\begin{pmatrix} 1&-1/2\\ 0&1/2\\ 0&0 \end{pmatrix}$

Oleh karena itu, invers kiri dari matriks $A$ adalah $\begin{pmatrix} 1&0&0\\ -1/2&1/2&0 \end{pmatrix}$ .

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Firman di Tanya Jawab MATEMATIKA
	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Carles di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Indah Qurratua'yun S… di Kumpulan Soal Test Matematika…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Pada (Surjektif)
	MATEMATIKA DAN ILMU… di Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	aim di Metode Newton-Raphson (Newton-…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan