Invers Kiri dan Kanan Matriks

Apabila berbicara tentang invers matriks, maka kita perlu pahami syarat cukup suatu matriks mempunyai invers, karena tidak semua matriks mempunya invers. Matriks seperti apa yang mempunyai invers? Yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Secara umum matriks $A_{n \times n}$ merupakan invers dari matriks $B_{n \times n}$ jika dan hanya jika $AB = I_n = BA$ . Perhatikan matriks berikut ini,

Contoh 1.

$A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}$ .

$AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 5&-1&0 \end{pmatrix}$ .

$BA = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}$ .

$= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2$ .

Jadi, $B$ adalah invers kiri dari matriks $A$ tapi $B$ bukan invers kanan dari $A$ .

Dari contoh di atas, dapat dibuat suatu definisi untuk invers kiri (atau kanan) suatu matriks. Berikut definisinya,

Definisi 2.

Diberikan $A$ adalah matriks berukuran $m \times n$ . Jika $L$ adalah matriks berukuran $n \times m$ yang memenuhi sifat $LA = I_m$ , maka $L$ disebut invers kiri $A$ . Selanjutnya, jika $R$ adalah matriks berukuran $n \times m$ yang memenuhi sifat $AR = I_n$ , maka $R$ disebut invers kanan $A$ .

Contoh 3.

Perhatikan matriks $B'= \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix}$ .

$AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -29&6&5\\ -40&9&8\\ -105&21&22 \end{pmatrix}$ .

$BA = \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}$ .

$= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2$ .

Jadi, $B'$ merupakan invers kiri $A$ . Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa invers kiri (atau kanan) suatu matriks tidak tunggal.

Contoh 4.

Carilah invers kanan dari matriks

$A = \begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&3&4\\ 1&1&4&2 \end{pmatrix}$

Sesuai dengan definisi invers kanan, maka diperoleh

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&3&4\\ 1&1&4&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ x_4&y_4&z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

Atau dengan kata lain, untuk mencari invers kanan dari matriks tersebut, kita harus menyelesaiakan system persamaan berikut.

$A \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$ , $A \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$ , dan $A \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3\\ z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$

Selanjutnya, kita akan menggunakan OBE, perhatikan.

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 1&1&4&2 &|& 0&0&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ \\ B_3-B_1\end{matrix}$

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 0&1&4&0 &|& -1&0&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ \\ B_3-B_2\end{matrix}$

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 0&0&1&-4 &|& -1&-1&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ B_2-3B_3\\ \\ \end{matrix}$

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&0&16 &|& 3&4&-3\\ 0&0&1&-4 &|& -1&-1&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ B_2-3B_3\\ \\ \end{matrix}$

Sehingga diperoleh,

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&0&16\\ 0&0&1&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ x_4&y_4&z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}$

Kemudian, dengan mengambil $x_4 = y_4 = z_4 =0$ , didapat.

$\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&0&16\\ 0&0&1&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ 0&0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}$

Jadi, diperoleh

$x_1 = 1, x_2= 3$ , dan $x_3 = -1$

$y_1 = 0, y_2= 4$ , dan $y_3 = -1$

$z_1 = 0, x_2= -3$ , dan $x_3 = 1$

Dengan, kata lain, invers kanan dari matriks $A$ adalah $\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$ .

Contoh 5.

Carilah invers kiri dari matriks $A = \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&2\\ 0&1 \end{pmatrix}$

Untuk mencari invers kiri, kita menggunakan OBE seperti pada contoh sebelumnya, tapi kita gunakan transpose dari matriks $A$ , yaitu $A^t = \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&2&1 \end{pmatrix}$ . Perhatikan,

$\begin{pmatrix} 1&1&0 &|& 1&0\\ 0&2&1 &|& 0&1 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} \\ 1/2B_2-B_1\end{matrix}$

$\begin{pmatrix} 1&0&-1/2 &|& 1&-1/2\\ 0&1&1/2 &|& 0&1/2 \end{pmatrix}$ $\begin{matrix} B_1-B_2\\ \\ \end{matrix}$

Sehingga diperoleh invers kana dari matriks $A^t$ adalah

$\begin{pmatrix} 1&-1/2\\ 0&1/2\\ 0&0 \end{pmatrix}$

Oleh karena itu, invers kiri dari matriks $A$ adalah $\begin{pmatrix} 1&0&0\\ -1/2&1/2&0 \end{pmatrix}$ .

One comment on “Invers Kiri dan Kanan Matriks”

kuningitis

Agustus 28, 2017 @ 3:52 pm

materinya menarik, posting lagi min dengan materi yang lebih keren…

Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	kautsar muafa pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Erkyu pada Turunan log x, ln x, a^x dan e…
	yakob pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	linsa pada Koleksi Buku
	nenengwindi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Aleyn pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	Arif pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Justin pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…
	putri manna pada Problem (15) : Menyelesaikan T…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

One comment on “Invers Kiri dan Kanan Matriks”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan