Invers Kiri dan Kanan Matriks


Apabila berbicara tentang invers matriks, maka kita perlu pahami syarat cukup suatu matriks mempunyai invers, karena tidak semua matriks mempunya invers. Matriks seperti apa yang mempunyai invers? Yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Secara umum matriks A_{n \times n} merupakan invers dari matriks B_{n \times n} jika dan hanya jika AB = I_n = BA. Perhatikan matriks berikut ini,

Contoh 1.

A = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}.

AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 5&-1&0 \end{pmatrix}.

BA = \begin{pmatrix} 3&-2&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}.

= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2.

Jadi, B adalah invers kiri dari matriks A tapi B bukan invers kanan dari A.

Dari contoh di atas, dapat dibuat suatu definisi untuk invers kiri (atau kanan) suatu matriks. Berikut definisinya,

Definisi 2.

Diberikan A adalah matriks berukuran m \times n. Jika L adalah matriks berukuran n \times m yang memenuhi sifat LA = I_m, maka L disebut invers kiri A. Selanjutnya, jika R adalah matriks berukuran n \times m yang memenuhi sifat AR = I_n, maka R disebut invers kanan A.

Contoh 3.

Perhatikan matriks B'= \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix}.

AB = \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -29&6&5\\ -40&9&8\\ -105&21&22 \end{pmatrix}.

BA = \begin{pmatrix} -7&0&2\\ -11&3&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 1&3\\ 4&7 \end{pmatrix}.

= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = I_2.

Jadi, B' merupakan invers kiri A. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa invers kiri (atau kanan) suatu matriks tidak tunggal.

Contoh 4.

Carilah invers kanan dari matriks

A = \begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&3&4\\ 1&1&4&2 \end{pmatrix}

Sesuai dengan definisi invers kanan, maka diperoleh

\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&3&4\\ 1&1&4&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ x_4&y_4&z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

Atau dengan kata lain, untuk mencari invers kanan dari matriks tersebut, kita harus menyelesaiakan system persamaan berikut.

A \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, A \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, dan A \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3\\ z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}

Selanjutnya, kita akan menggunakan OBE, perhatikan.

\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 1&1&4&2 &|& 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ B_3-B_1\end{matrix}

\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 0&1&4&0 &|& -1&0&1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ B_3-B_2\end{matrix}

\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&3&4 &|& 0&1&0\\ 0&0&1&-4 &|& -1&-1&1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ B_2-3B_3\\ \\ \end{matrix}

\begin{pmatrix} 1&0&0&2 &|& 1&0&0\\ 0&1&0&16 &|& 3&4&-3\\ 0&0&1&-4 &|& -1&-1&1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ B_2-3B_3\\ \\ \end{matrix}

Sehingga diperoleh,

\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&0&16\\ 0&0&1&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ x_4&y_4&z_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}

Kemudian, dengan mengambil x_4 = y_4 = z_4 =0, didapat.

\begin{pmatrix} 1&0&0&2\\ 0&1&0&16\\ 0&0&1&-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\ 0&0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}

Jadi, diperoleh

x_1 = 1, x_2= 3, dan x_3 = -1

y_1 = 0, y_2= 4, dan y_3 = -1

z_1 = 0, x_2= -3, dan x_3 = 1

Dengan, kata lain, invers kanan dari matriks A adalah \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 3&4&-3\\ -1&-1&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.

Contoh 5.

Carilah invers kiri dari matriks A = \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&2\\ 0&1 \end{pmatrix}

Untuk mencari invers kiri, kita menggunakan OBE seperti pada contoh sebelumnya, tapi kita gunakan transpose dari matriks A, yaitu A^t = \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&2&1 \end{pmatrix}. Perhatikan,

\begin{pmatrix} 1&1&0 &|& 1&0\\ 0&2&1 &|& 0&1 \end{pmatrix} \begin{matrix} \\  1/2B_2-B_1\end{matrix}

\begin{pmatrix} 1&0&-1/2 &|& 1&-1/2\\ 0&1&1/2 &|& 0&1/2 \end{pmatrix} \begin{matrix}  B_1-B_2\\ \\ \end{matrix}

Sehingga diperoleh invers kana dari matriks A^t adalah

\begin{pmatrix} 1&-1/2\\ 0&1/2\\ 0&0 \end{pmatrix}

Oleh karena itu, invers kiri dari matriks A adalah \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -1/2&1/2&0 \end{pmatrix}.

 

Iklan

One comment on “Invers Kiri dan Kanan Matriks

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s