Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2017 (1)


  1. Hasil dari \dfrac{^{\sqrt{5}}\log 81 \cdot ^9\log 16 \cdot ^{\sqrt{2}}\log \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\log 72 -^{\sqrt{6}}\log 2} = \ldots

    A. 6

    B. 12

    C. 24

    D. 36

    E. 48

    PEMBAHASAN.

    \dfrac{^{\sqrt{5}}\log 81 \cdot ^9\log 16 \cdot ^{\sqrt{2}}\log \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\log 72 -^{\sqrt{6}}\log 2}= \dfrac{^{5^{\frac{1}{2}}}\log 9^2 \cdot ^9\log 2^4 \cdot ^{2^{\frac{1}{2}}}\log 5^{\frac{3}{2}}}{^{\sqrt{6}}\log \dfrac{72}{2}}

    = \dfrac{\dfrac{2}{1/2} (^{5}\log 9) \cdot 4 (^9\log 2) \cdot \dfrac{3/2}{1/2} (^2\log 5)}{^{\sqrt{6}}\log 36}

    = \dfrac{4 (^{5}\log 9) \cdot 4 (^9\log 2) \cdot 3 (^2\log 5)}{^{6^{\dfrac{1}{2}}}\log 6^2}

    = \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ^{5}\log 9 \cdot ^9\log 2 \cdot ^2\log 5}{ \dfrac{2}{1/2} (^6\log 6)}

    = \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ^5\log 5}{ 4 \cdot ^6\log 6}

    = \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1}{ 4 \cdot 1}

    = 4 \cdot 3 = 12.

    JAWABAN : B

  2. Hasil dari \left( \dfrac{25^{-\frac{3}{8}} 2^{\frac{7}{5}}}{16^{-\frac{2}{5}} 5^{\frac{5}{4}}} \right) adalah …

    A. \dfrac{2}{5}

    B. \dfrac{8}{25}

    C. \dfrac{4}{25}

    D. \dfrac{8}{125}

    E. \dfrac{4}{125}

    PEMBAHASAN.

    \dfrac{25^{-\frac{3}{8}} 2^{\frac{7}{5}}}{16^{-\frac{2}{5}} 5^{\frac{5}{4}}} = \dfrac{(5^2)^{-\frac{3}{8}} 2^{\frac{7}{5}}}{(2^4)^{-\frac{2}{5}} 5^{\frac{5}{4}}}

    = \dfrac{5^{-\frac{3}{4}} 2^{\frac{7}{5}}}{2^{-\frac{8}{5}} 5^{\frac{5}{4}}}

    = 5^{(-\frac{3}{4}-\frac{5}{4})} 2^{(\frac{7}{5}-(-\frac{8}{5}))}

    = 5^{-\frac{8}{4}} 2^{\frac{15}{5}}

    = 5^{-2} 2^{3}

    = \dfrac{2^3}{5^2}

    = \dfrac{8}{25}.

    JAWABAN : B

  3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 \cdot4^x -7 \cdot 2^x + 2 > 0 adalah …

    A. x<-1 atau x>^2\log 3

    B. x<^2\log \dfrac{1}{3} atau x>1

    C. ^2\log \dfrac{1}{3} <x< 1

    D. x<1 atau x>^2\log \dfrac{1}{3}

    E. 1<x<^2\log \dfrac{1}{3}

    PEMBAHASAN.

    Misal m = 2^x, sehinga diperoleh

    3 \cdot 4^x -7 \cdot 2^x + 2 > 0

    3 \cdot (2^2)^x -7 \cdot 2^x + 2 > 0

    3 \cdot 2^{2x} -7 \cdot 2^x + 2 > 0

    3m^2 - 7m + 2 > 0

    (3m-6)(3m-1) > 0

    m=2 \text{ atau } m = \dfrac{1}{3}.

    Dengan menggunakan garis bilangan diperoleh m < \dfrac{1}{3} atau m > 2. Selanjutnya didapat

    = 2^x > 2 \Rightarrow x>1

    m = 2^x < \dfrac{1}{3} \Rightarrow x <~^2\log \dfrac{1}{3}.

    Jadi, dapat disimpulkan bahwa 1<x<~^2\log \dfrac{1}{3}.

    JAWABAN : E

  4. Bentuk sederhana \dfrac{(\sqrt{10}-\sqrt{5})(\sqrt{10}+\sqrt{5})}{2\sqrt{11}+\sqrt{19}} adalah …

    A. 5(2\sqrt{11}-sqrt{19})

    B. \dfrac{1}{5}(2\sqrt{11}+\sqrt{19})

    C. \dfrac{1}{5}(2\sqrt{11}-\sqrt{19})

    D. -\dfrac{1}{5}(2\sqrt{11}-\sqrt{19})

    E. -\dfrac{1}{5}(2\sqrt{11}+\sqrt{19})

    PEMBAHASAN.

    \dfrac{(\sqrt{10}-\sqrt{5})(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{2\sqrt{11} + \sqrt{19}} = \dfrac{(\sqrt{10}- \sqrt{5})(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{2\sqrt{11} + \sqrt{19}} \times \dfrac{2\sqrt{11} -\sqrt{19}}{2\sqrt{11} -\sqrt{19}}

    = \dfrac{(\sqrt{10} -\sqrt{5})(\sqrt{10} + \sqrt{5})(2\sqrt{11} -\sqrt{19})}{(2\sqrt{11})^2 -(\sqrt{19})^2}

    = \dfrac{(10 -5)(2\sqrt{11} -\sqrt{19})}{44-19}

    = \dfrac{5(2\sqrt{11} -\sqrt{19})}{25}

    = \dfrac{2\sqrt{11} -\sqrt{19}}{5}

    = \dfrac{1}{5}(2\sqrt{11} -\sqrt{19}).

    JAWABAN : C

  5. Jika grafik fungsi y = 2x^2 + (p-1)x + 2 menyinggung sumbu-X, nilai p yang memenuhi adalah …

    A. p=5 atau p=2

    B. p=-5 atau p=2

    C. p=5 atau p=3

    D. p=-5 atau p=3

    E. p=5 atau p=-3

    PEMBAHASAN.

    Fungsi f(x) menyinggung sumbu-X artinya nilai diskriminan D=0, sehingga didapat

    D = b^2-4ac

    0 = (p-1)^2-4(2)(2)

    = p^2-2p+1-16

    = p^2-2p-15

    = (p+5)(p-3).

    Sehingga didapat p=-5 atau p=3.

    JAWABAN : D

  6. Jika fungsi f(x) = \dfrac{2x+3}{x-5}, x \neq 5 dan g(x) = 3x+1 maka (g \circ f)^{-1} (x) = \ldots

    A. \dfrac{5x+4}{x+7}, x \neq -7

    B. \dfrac{5x+7}{x-4}, x \neq 4

    C. \dfrac{5x+4}{x-7}, x \neq -7

    D. \dfrac{5x-4}{x-7}, x \neq 7

    E. \dfrac{5x-7}{x-4}, x \neq 4

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan bahwa,

    (g \circ f)(x) = g(f(x))

    = g\left( \dfrac{2x+3}{x-5} \right)

    = 3 \left( \dfrac{2x+3}{x-5} \right) + 1

    = \dfrac{6x+9}{x-5} + \dfrac{x-5}{x-5}

    = \dfrac{(6x+9)+(x-5)}{x-5}

    = \dfrac{7x+4}{x-5}.

    Selanjutnya akan dicari (g \circ f)^{-1} (x). Perhatikan,

    $latex \dfrac{7x+4}{x-5} = y

    7x+4 = y(x-5)

    7x+4 = xy-5y

    7x-xy = -5y-4

    (7-y)x = -5y-4

    $latex x = \dfrac{-5y-4}{7-y}

    = \dfrac{-(5y+4)}{7-y} = \dfrac{5y+4}{y-7}.

    Jadi, diperoleh (g \circ f)^{-1} (x) = \dfrac{5x+4}{x-7}.

    JAWABAN : C

  7. Diketahui fungsi f : R\to R dan g : R \to R. Jika g(x) = 2x-4 dan (g \circ f)(x) = 4x^2-24x+32, fugsi f(-2) adalah …

    A. 12

    B. 24

    C. 32

    D. 50

    E. 97

    PEMBAHASAN.

    Pertama akan dicari invers dari g(x). Perhatikan bahwa,

    y = 2x-4

    y+4 = 2x

    x = \dfrac{y+4}{2}.

    Jadi, diperoleh $g^{-1}(x) = \dfrac{x+4}{2}$. Selanjutnya perhatikan,

    (g \circ f)(x) = 4x^2-24x+32

    g^{-1}(x) \circ (g \circ f)(x) = g^{-1}(x) \circ (4x^2-24x+32)

    g(x) = g^{-1}(x) \circ (4x^2-24x+32)

    = \dfrac{x+4}{2} \circ (4x^2-24x+32)

    = \dfrac{(4x^2-24x+32)+4}{2}

    = \dfrac{4x^2-24x+36}{2}

    g(-2) = \dfrac{4(-2)^2-24(-2)+36}{2}

    = \dfrac{16+48+36}{2}

    = \dfrac{100}{2} = 50.

    JAWABAN : D

  8. Akar-akar persamaan x^2-2x-(p+5) = 0 adalah x_1 dan x_2, dengan x_1^2 + x_2^2 = 28. Nilai p yang memenuhi adalah …

    A. -16

    B. -14

    C. -7

    D. 7

    E. 14

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan bahwa (x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2, x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = 2, dan x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -(p+5) sehingga diperoleh

    x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2

    28 = 2^2 - 2(-(p+5))

    = 4+2p+10

    28-4-10 = 2p

    14 = 2p

    7 = p.

    JAWABAN : D

  9. Jika persamaan kuadrat x^2+(p+1)x+(2-p) = 0 memiliki akar-akar yang tidak real, nilai p yang memenuhi persamaan tersebut adalah …

    A. -1<p<7

    B. -7<p<1

    C. -7 \leq p \leq 1

    D. p \leq -7 atau p \geq 7

    E. p < -7 atau p > 7

    PEMBAHASAN.

    Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar yang tidak real syaratnya adalah D<0

    D < 0

    b^2-4ac < 0

    (p+1)^2-4(1)(2-p) < 0

    p^2+2p+1-8+4p < 0

    p^2+6p-7 < 0

    (p+7)(p-1) <0.

    Sehingga didapat p=-1 atau p=1. Dengan menggunakan garis bilangan, maka dapat disimpulkan bahwa -7<p<1.

    JAWABAN : B

  10. Akar-akar persamaan kuadrat 3x^2-x-5 = 0 adalah x_1 dan x_2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x_1-1) dan (3x_2-1) adalah …

    A. x^2+x-17 = 0

    B. x^2+x+13 = 0

    C. x^2+x-15 = 0

    D. x^2-x-15 = 0

    E. x^2-x+15 = 0

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan, bahwa x_1+x_2 = -\dfrac{(-1)}{3} = \dfrac{1}{3} dan x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{5}{3}. Misal y_1 = 3x_1-1 dan y_2 = 3x_2-1, diperoleh

    y_1 + y_2 = (3x_1-1) + (3x_2-1)

    = 3x_1+3x_2-2

    = 3(x_1+x_2)-2

    = 3\left( \dfrac{1}{3} \right)-2 = -1

    y_1 y_2 = (3x_1-1)(3x_2-1)

    = 9x_1x_2 -3x_1- 3x_2 + 1

    = 9(x_1x_2) -3(x_1+x_2) + 1

    =9\left( -\dfrac{5}{3} \right)) -3\left( \dfrac{1}{3} \right)) + 1

    = -15-1+1 = -15.

    Selanjutnya bentuk persamaan kuadrat baru, yaitu

    y^2 -(y_1+y_2)y + (y_1y_2) = 0

    y^2 -(-1)y -15 = 0

    y^2 + y -15 = 0.

    Sehingga didapat persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3x_1-1 dan 3x_2-1 adalah x^2+x-15=0.

    JAWABAN : C

Pembahasan lengkap Ujian Nasional Matematika SMA 2017 dapat didownload DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

w

Connecting to %s