Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2017 (1)

Hasil dari $\dfrac{^{\sqrt{5}}\log 81 \cdot ^9\log 16 \cdot ^{\sqrt{2}}\log \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\log 72 -^{\sqrt{6}}\log 2} = \ldots$

A. 6

B. 12

C. 24

D. 36

E. 48

PEMBAHASAN.

$\dfrac{^{\sqrt{5}}\log 81 \cdot ^9\log 16 \cdot ^{\sqrt{2}}\log \sqrt{125}}{^{\sqrt{6}}\log 72 -^{\sqrt{6}}\log 2}= \dfrac{^{5^{\frac{1}{2}}}\log 9^2 \cdot ^9\log 2^4 \cdot ^{2^{\frac{1}{2}}}\log 5^{\frac{3}{2}}}{^{\sqrt{6}}\log \dfrac{72}{2}}$

$= \dfrac{\dfrac{2}{1/2} (^{5}\log 9) \cdot 4 (^9\log 2) \cdot \dfrac{3/2}{1/2} (^2\log 5)}{^{\sqrt{6}}\log 36}$

$= \dfrac{4 (^{5}\log 9) \cdot 4 (^9\log 2) \cdot 3 (^2\log 5)}{^{6^{\dfrac{1}{2}}}\log 6^2}$

$= \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ^{5}\log 9 \cdot ^9\log 2 \cdot ^2\log 5}{ \dfrac{2}{1/2} (^6\log 6)}$

$= \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ^5\log 5}{ 4 \cdot ^6\log 6}$

$= \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1}{ 4 \cdot 1}$

$= 4 \cdot 3 = 12$ .

JAWABAN : B
Hasil dari $\left( \dfrac{25^{-\frac{3}{8}} 2^{\frac{7}{5}}}{16^{-\frac{2}{5}} 5^{\frac{5}{4}}} \right)$ adalah …

A. $\dfrac{2}{5}$

B. $\dfrac{8}{25}$

C. $\dfrac{4}{25}$

D. $\dfrac{8}{125}$

E. $\dfrac{4}{125}$

PEMBAHASAN.

$\dfrac{25^{-\frac{3}{8}} 2^{\frac{7}{5}}}{16^{-\frac{2}{5}} 5^{\frac{5}{4}}} = \dfrac{(5^2)^{-\frac{3}{8}} 2^{\frac{7}{5}}}{(2^4)^{-\frac{2}{5}} 5^{\frac{5}{4}}}$

$= \dfrac{5^{-\frac{3}{4}} 2^{\frac{7}{5}}}{2^{-\frac{8}{5}} 5^{\frac{5}{4}}}$

$= 5^{(-\frac{3}{4}-\frac{5}{4})} 2^{(\frac{7}{5}-(-\frac{8}{5}))}$

$= 5^{-\frac{8}{4}} 2^{\frac{15}{5}}$

$= 5^{-2} 2^{3}$

$= \dfrac{2^3}{5^2}$

$= \dfrac{8}{25}$ .

JAWABAN : B
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $3 \cdot4^x -7 \cdot 2^x + 2 > 0$ adalah …

A. $x<-1$ atau $x>^2\log 3$

B. $x<^2\log \dfrac{1}{3}$ atau $x>1$

C. $^2\log \dfrac{1}{3} <x< 1$

D. $x<1$ atau $x>^2\log \dfrac{1}{3}$

E. $1<x<^2\log \dfrac{1}{3}$

PEMBAHASAN.

Misal $m = 2^x$ , sehinga diperoleh

$3 \cdot 4^x -7 \cdot 2^x + 2 > 0$

$3 \cdot (2^2)^x -7 \cdot 2^x + 2 > 0$

$3 \cdot 2^{2x} -7 \cdot 2^x + 2 > 0$

$3m^2 - 7m + 2 > 0$

$(3m-6)(3m-1) > 0$

$m=2 \text{ atau } m = \dfrac{1}{3}$ .

Dengan menggunakan garis bilangan diperoleh $m < \dfrac{1}{3}$ atau $m > 2$ . Selanjutnya didapat

$= 2^x > 2 \Rightarrow x>1$

$m = 2^x < \dfrac{1}{3} \Rightarrow x <~^2\log \dfrac{1}{3}$ .

Jadi, dapat disimpulkan bahwa $1<x<~^2\log \dfrac{1}{3}$ .

JAWABAN : E
Bentuk sederhana $\dfrac{(\sqrt{10}-\sqrt{5})(\sqrt{10}+\sqrt{5})}{2\sqrt{11}+\sqrt{19}}$ adalah …

A. $5(2\sqrt{11}-sqrt{19})$

B. $\dfrac{1}{5}(2\sqrt{11}+\sqrt{19})$

C. $\dfrac{1}{5}(2\sqrt{11}-\sqrt{19})$

D. $-\dfrac{1}{5}(2\sqrt{11}-\sqrt{19})$

E. $-\dfrac{1}{5}(2\sqrt{11}+\sqrt{19})$

PEMBAHASAN.

$\dfrac{(\sqrt{10}-\sqrt{5})(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{2\sqrt{11} + \sqrt{19}} = \dfrac{(\sqrt{10}- \sqrt{5})(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{2\sqrt{11} + \sqrt{19}} \times \dfrac{2\sqrt{11} -\sqrt{19}}{2\sqrt{11} -\sqrt{19}}$

$= \dfrac{(\sqrt{10} -\sqrt{5})(\sqrt{10} + \sqrt{5})(2\sqrt{11} -\sqrt{19})}{(2\sqrt{11})^2 -(\sqrt{19})^2}$

$= \dfrac{(10 -5)(2\sqrt{11} -\sqrt{19})}{44-19}$

$= \dfrac{5(2\sqrt{11} -\sqrt{19})}{25}$

$= \dfrac{2\sqrt{11} -\sqrt{19}}{5}$

$= \dfrac{1}{5}(2\sqrt{11} -\sqrt{19})$ .

JAWABAN : C
Jika grafik fungsi $y = 2x^2 + (p-1)x + 2$ menyinggung sumbu- $X$ , nilai $p$ yang memenuhi adalah …

A. $p=5$ atau $p=2$

B. $p=-5$ atau $p=2$

C. $p=5$ atau $p=3$

D. $p=-5$ atau $p=3$

E. $p=5$ atau $p=-3$

PEMBAHASAN.

Fungsi $f(x)$ menyinggung sumbu- $X$ artinya nilai diskriminan $D=0$ , sehingga didapat

$D = b^2-4ac$

$0 = (p-1)^2-4(2)(2)$

$= p^2-2p+1-16$

$= p^2-2p-15$

$= (p+5)(p-3)$ .

Sehingga didapat $p=-5$ atau $p=3$ .

JAWABAN : D
Jika fungsi $f(x) = \dfrac{2x+3}{x-5}, x \neq 5$ dan $g(x) = 3x+1$ maka $(g \circ f)^{-1} (x) = \ldots$

A. $\dfrac{5x+4}{x+7}, x \neq -7$

B. $\dfrac{5x+7}{x-4}, x \neq 4$

C. $\dfrac{5x+4}{x-7}, x \neq -7$

D. $\dfrac{5x-4}{x-7}, x \neq 7$

E. $\dfrac{5x-7}{x-4}, x \neq 4$

PEMBAHASAN.

Perhatikan bahwa,

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

$= g\left( \dfrac{2x+3}{x-5} \right)$

$= 3 \left( \dfrac{2x+3}{x-5} \right) + 1$

$= \dfrac{6x+9}{x-5} + \dfrac{x-5}{x-5}$

$= \dfrac{(6x+9)+(x-5)}{x-5}$

$= \dfrac{7x+4}{x-5}$ .

Selanjutnya akan dicari $(g \circ f)^{-1} (x)$ . Perhatikan,

$latex \dfrac{7x+4}{x-5} = y

$7x+4 = y(x-5)$

$7x+4 = xy-5y$

$7x-xy = -5y-4$

$(7-y)x = -5y-4$

$latex x = \dfrac{-5y-4}{7-y}

$= \dfrac{-(5y+4)}{7-y} = \dfrac{5y+4}{y-7}$ .

Jadi, diperoleh $(g \circ f)^{-1} (x) = \dfrac{5x+4}{x-7}$ .

JAWABAN : C
Diketahui fungsi $f : R\to R$ dan $g : R \to R$ . Jika $g(x) = 2x-4$ dan $(g \circ f)(x) = 4x^2-24x+32$ , fugsi $f(-2)$ adalah …

A. 12

B. 24

C. 32

D. 50

E. 97

PEMBAHASAN.

Pertama akan dicari invers dari $g(x)$ . Perhatikan bahwa,

$y = 2x-4$

$y+4 = 2x$

$x = \dfrac{y+4}{2}$ .

Jadi, diperoleh $g^{-1}(x) = \dfrac{x+4}{2}$. Selanjutnya perhatikan,

$(g \circ f)(x) = 4x^2-24x+32$

$g^{-1}(x) \circ (g \circ f)(x) = g^{-1}(x) \circ (4x^2-24x+32)$

$g(x) = g^{-1}(x) \circ (4x^2-24x+32)$

$= \dfrac{x+4}{2} \circ (4x^2-24x+32)$

$= \dfrac{(4x^2-24x+32)+4}{2}$

$= \dfrac{4x^2-24x+36}{2}$

$g(-2) = \dfrac{4(-2)^2-24(-2)+36}{2}$

$= \dfrac{16+48+36}{2}$

$= \dfrac{100}{2} = 50$ .

JAWABAN : D
Akar-akar persamaan $x^2-2x-(p+5) = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ , dengan $x_1^2 + x_2^2 = 28$ . Nilai $p$ yang memenuhi adalah …

A. -16

B. -14

C. -7

D. 7

E. 14

PEMBAHASAN.

Perhatikan bahwa $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$ , $x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} = 2$ , dan $x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -(p+5)$ sehingga diperoleh

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

$28 = 2^2 - 2(-(p+5))$

$= 4+2p+10$

$28-4-10 = 2p$

$14 = 2p$

$7 = p$ .

JAWABAN : D
Jika persamaan kuadrat $x^2+(p+1)x+(2-p) = 0$ memiliki akar-akar yang tidak real, nilai $p$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah …

A. $-1<p<7$

B. $-7<p<1$

C. $-7 \leq p \leq 1$

D. $p \leq -7$ atau $p \geq 7$

E. $p < -7$ atau $p > 7$

PEMBAHASAN.

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar yang tidak real syaratnya adalah $D<0$

$D < 0$

$b^2-4ac < 0$

$(p+1)^2-4(1)(2-p) < 0$

$p^2+2p+1-8+4p < 0$

$p^2+6p-7 < 0$

$(p+7)(p-1) <0$ .

Sehingga didapat $p=-1$ atau $p=1$ . Dengan menggunakan garis bilangan, maka dapat disimpulkan bahwa $-7<p<1$ .

JAWABAN : B
Akar-akar persamaan kuadrat $3x^2-x-5 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$ . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_1-1)$ dan $(3x_2-1)$ adalah …

A. $x^2+x-17 = 0$

B. $x^2+x+13 = 0$

C. $x^2+x-15 = 0$

D. $x^2-x-15 = 0$

E. $x^2-x+15 = 0$

PEMBAHASAN.

Perhatikan, bahwa $x_1+x_2 = -\dfrac{(-1)}{3} = \dfrac{1}{3}$ dan $x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{5}{3}$ . Misal $y_1 = 3x_1-1$ dan $y_2 = 3x_2-1$ , diperoleh

$y_1 + y_2 = (3x_1-1) + (3x_2-1)$

$= 3x_1+3x_2-2$

$= 3(x_1+x_2)-2$

$= 3\left( \dfrac{1}{3} \right)-2 = -1$

$y_1 y_2 = (3x_1-1)(3x_2-1)$

$= 9x_1x_2 -3x_1- 3x_2 + 1$

$= 9(x_1x_2) -3(x_1+x_2) + 1$

$=9\left( -\dfrac{5}{3} \right)) -3\left( \dfrac{1}{3} \right)) + 1$

$= -15-1+1 = -15$ .

Selanjutnya bentuk persamaan kuadrat baru, yaitu

$y^2 -(y_1+y_2)y + (y_1y_2) = 0$

$y^2 -(-1)y -15 = 0$

$y^2 + y -15 = 0$ .

Sehingga didapat persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $3x_1-1$ dan $3x_2-1$ adalah $x^2+x-15=0$ .

JAWABAN : C

Pembahasan lengkap Ujian Nasional Matematika SMA 2017 dapat didownload DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	aginta di Barisan dan Deret Geometr…
	Elda di Koleksi Buku
	Yuli di Koleksi Buku
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Interpolasi Lagrange
	sarah di Tanya Jawab MATEMATIKA
	sarah di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Putri Rizki Neranyra… di Tanya Jawab MATEMATIKA
	edwin suryaputra di Interpolasi Lagrange

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan