Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2017 (2)


  1. Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} -2c&4\\ 2&5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -4&-a\\ -b-5&b \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -1&3\\ 0&2 \end{pmatrix}, dan D = \begin{pmatrix} 4&1\\ -2&3 \end{pmatrix}. Jika A+B=CD, nilai a+b+c = \ldots

    A. -6

    B. -2

    C. 0

    D. 6

    E. 8

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan bahwa,

    A+B = CD

    \begin{pmatrix} -2c&4\\ 2&5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4&-a\\ -b-5&b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1&3\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&1\\ -2&3 \end{pmatrix}

    \begin{pmatrix} -2c-4&4-a\\ -b-3&5+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10&8\\ -4&6 \end{pmatrix}

    Dari persamaan matrix di atas dan dengan sifat kesamaan dua matrix, diperoleh

    \begin{matrix} -2c-4 = -10 && 4-a = 8 && 5+b = 6\\ -2c = -6 && 4-8 = a && b = 1\\ c = 3 && a = -4 \end{matrix}

    Jadi, a+b+c = -4+1+3 = 0.

    JAWABAN : C

  2. Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 2&3\\ 3&4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -5&-2\\ 3&2 \end{pmatrix}, dan matriks AB = C. Matriks C^{-1} adalah invers matriks C, maka C^{-1} = \ldots

    A. \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2&-2\\ 3&-1 \end{pmatrix}

    B. \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} -2&2\\ 3&1 \end{pmatrix}

    C. \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 2&2\\ -3&1 \end{pmatrix}

    D. \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} 3&-2\\ 2&1 \end{pmatrix}

    E. \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix} -3&2\\ -2&1 \end{pmatrix}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    C = AB

    = \begin{pmatrix} 2&3\\ 3&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5&-2\\ 3&2 \end{pmatrix}

    = \begin{pmatrix} -1&2\\ -3&2 \end{pmatrix}.

    Sehinga diperoleh,

    C^{-1} = \dfrac{1}{(-1)(2)-(-3)(2)}\begin{pmatrix} 2&-2\\ 3&-1 \end{pmatrix}

    = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 2&-2\\ 3&-1 \end{pmatrix}.

    JAWABAN : A

  3. Di toko yang sama, Dira, Anita, dan Sita membeli alat-alat tulis. Dira membeli 2 buku tulis, 1 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp19.000,00. Anita membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 2 penggaris dengan harga Rp20.000,00. Sedangkan Sita membeli 3 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penggaris dengan harga Rp28.000,00. Harga yang harus dibayar untuk membeli 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah …

    A. Rp23.000,00

    B. Rp24.000,00

    C. Rp25.000,00

    D. Rp27.000,00

    E. Rp33.000,00

    PEMBAHASAN.

    Pertama akan dibuat model matematikanya. Misal x = buku tulis, y = pensil, dan z = penggaris. Sehingga diperoleh,

    \begin{matrix} 2x + y + z = 19.000 && \ldots &(i)\\ x + 2y + 2z = 20.000 && \ldots &(ii)\\ 3x + 2y + z = 28.000 && \ldots &(iii) \end{matrix}

    \begin{array}{lcccl} \text{ eliminasi pers (i) dan (ii)} && \text{ eliminasi pers (ii) dan (iii)}\\ 2x + y + z = 19.000~~(\times 2) && x + 2y + 2z = 20.000\\ x + 2y + 2z = 20.000~~(\times 1) && 3x + 2y + z = 28.000\\ \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}~~- && \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}~~- \\ 4x + 2y + 2z = 38.000 && -2x + z = -8.000 \ldots \text{ (iv)}\\ x + 2y + 2z = 20.000\\ \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}~~- && \\ 3x = 18.000 &&\\ x = 6.000 && \end{array}

    Selanjutnya substitusikan nilai x=6.000 ke persamaan (iv), sehingga diperoleh z=4.000. Kemudian nilai x dan z nya disubtitusi ke persamaan (i), didappat

    2x + y + z = 19.000

    2(6.000) + y + 4.000 = 19.000

    12.000 + y + 4.000 = 19.000

    y = 3.000.

    Selanjutnya diperoleh x+3y+2z = 6.000 + 3(3.000) + 2(4.000) = 23.000. Jadi, harga yang harus dibayar untuk membeli 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penggaris adalah Rp23.000.

    JAWABAN : A

  4. Perusahaan mebel memproduksi dua model meja makan. Biaya untuk membuat tiap meja makan model A adalah Rp1.200.000,00 sedangkan untuk meja makan model B adalah Rp1.600.000,00. Waktu yang diperlukan untuk membuat setiap meja makan model A adalah 2 hari dan tiap meja makan model B adalah 5 hari. Modal yang tersedia sebesar Rp22.000.000,00 dan waktu yang tersedia adalah 60 hari. Keuntungan tiap meja makan model A adalah Rp1.000.000,00 sedangkan tiap meja makan model B adalah Rp1.500.000,00. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah …

    A. Rp22.000.000,00

    B. Rp21.000.000,00

    C. Rp20.000.000,00

    D. Rp15.000.000,00

    E. Rp9.000.000,00

    PEMBAHASAN.

    Misal meja makan A adalah x dan meja makan B adalah y. Perhatikan,

    \begin{array}{cccc} & \text{biaya} & \text{hari} & \text{keuntungan}\\ &&&\\ x & 1.200.000 & 2 & 1.000.000\\ y & 1.600.000 & 5 & 1.500.000\\ &&&\\ & 22.000.0000 & 60 & \end{array}

    Dari tabel di atas, diperoleh model matematikanya sebagai berikut

    1.200.000x + 1.600.000y \leq 22.000.000

    3x + 4y \leq 55 … (i)

    2x + 5y \leq 60 … (ii).

    Fungsi Tujuan : f(x,y) = 1.000.000x+1.500.000y

    Dari gambar grafik pertidaksamaan di atas, akan dicari titik A, B dan C.

    Titik A : 3x + 4(0) = 55 \Leftrightarrow x = \dfrac{55}{3}

    Jadi, A \left( \dfrac{55}{3},0 \right)

    Titik B : 2(0) + 5y = 60 \Leftrightarrow y = 12

    Jadi, B \left( 0,12 \right)

    Titik C

    2x+5y = 60~~(\times 3)

    3x+4y = 55~~(\times 2)

    \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}~~-

    6x+15y = 180

    6x+8y = 110

    \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}~~-

    7y = 70

    y =10

    Selanjutnya di substitusi ke persamaan 2x+5y = 60, sehingga didapat 2x+5(10) = 60 \Leftrightarrow x=5. Jadi, C(5,10).

    \begin{array}{lcl} A \left( \dfrac{55}{3},0 \right) &:& f\left( \dfrac{55}{3},0 \right) = 1.000.000 \left( \dfrac{55}{3} \right) + 1.500.000(0) = \dfrac{55.000.000}{3}\\ B \left( 0,12 \right) &:& f(0,12) = 1.000.000(0)+1.500.000(12) = 18.000.000\\ C(5,10) &:& f(x,y) = 1.000.000(5)+1.500.000(10) = 20.000.000\end{array}

    Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp20.000.000

    JAWABAN : C

  5. Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I adalah Rp20.000,00 dengan keuntungan 40%. Modal untuk tas model II adalah Rp30.000,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp1.000.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 40 tas, keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah …

    A. 30\%

    B. 34\%

    C. 36\%

    D. 38\%

    E. 40\%

    PEMBAHASAN.

    Misal tas model I adalah x dan tas model II adalah y. Perhatikan,

    \begin{array}{ccc} & \text{biaya} & \text{untung}\\ &&\\ x & 20.000 & 8.000\\ y & 30.000 & 9.000\\ &&\\ 40 & 1.000.0000 \end{array}

    Dari tabel di atas, diperoleh model matematikanya sebagai berikut

    20.000x + 30.000y \leq 1.000.000

    2x + 3y \leq 100 … (i)

    x + y \leq 40 … (ii).

    Fungsi Tujuan : f(x,y) = 8.000x + 9.000y

    Dari gambar grafik pertidaksamaan di atas, akan dicari titik A, B dan C.

    Titik A : x + 0 = 40 \Leftrightarrow x = 40

    Jadi, A \left( 40,0 \right)

    Titik B : 2(0) + 3y = 100 \Leftrightarrow y = \dfrac{100}{3}

    Jadi, B \left( 0,\dfrac{100}{3} \right)

    Titik C

    2x+3y = 100~~(\times 1)

    x+y = 40~~(\times 2)

    ————— –

    2x+3y = 100

    2x+2y = 80

    ———— –

    y = 20

    Selanjutnya di substitusi ke persamaan x+y = 40, sehingga didapat x=2. Jadi, C(20,20).

    \begin{array}{lcl} A (40,0) &:& f(40,0) = 8.000(40)+9.000(0) = 320.000\\ B \left(0,\dfrac{100}{3} \right) &:& f\left( 0,\dfrac{100}{3} \right) = 8.000(0) + 9.000\left( \dfrac{100}{3} \right) = 300.000\\ C(20,20) &:& f(x,y) = 8.000(20)+9.000(20) = 340.000 \end{array}

    Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp340.000. Sedangkan modal dari pengrajin adalah

    Modal = 20 \cdot 20.000 + 20 \cdot 30.000 = 1.000.000

    Persentase keuntungan = \dfrac{340.000}{1.000.000} \times 100\% = 34\%

    JAWABAN : B

  6. Sebuah unsur radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 30 menit. Jika pada mulanya massa unsur tersebut 20 gram , massa unsur yg meluruh selama 2 jam adalah …

    A. 1,25 gram

    B. 2,50 gram

    C. 10,00 gram

    D. 17,50 gram

    E. 18,75 gram

    PEMBAHASAN.

    Dari soal diketahui bahwa a=20 gram, r = \dfrac{1}{2}, dan n = \dfrac{2\text{ jam}}{30 \text{ menit}} = \dfrac{120}{30} = 4. Selanjtunya perhatikan,

    u_n = ar^{n-1}

    = 20 \left( \dfrac{1}{2} \right)^3

    = 20 \left( \dfrac{1}{8} \right)

    = 2,50.

    JAWABAN : B

  7. Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri adalah 3 dan 81. Jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah …

    A. 3^{n+1}-3

    B. 3^{n+1}-1

    C. 2 \cdot 3^{n}-3

    D. \dfrac{1}{2} (3^{n}-1)

    E. \dfrac{1}{3} (3^{n}-1)

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \dfrac{u_5}{u_2} = \dfrac{81}{3}

    \dfrac{ar^4}{ar} = 27

    r^3 = 27

    r = 3.

    Selanjutnya didapat a = \dfrac{3}{r} = 1. Oleh karena itu diperoleh,

    S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}

    = \dfrac{1(3^n-1)}{3-1}

    = \dfrac{1}{2}(3^n-1).

    JAWABAN : D

  8. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dengan masing-masing potongan membentuk deret aritmatika. Bila potongan tali terpendek adalah 6 cm dan yang terpanjang 384 cm, panjang tali semula adalah …

    A. 1.375 cm

    B. 1.365 cm

    C. 1.265 cm

    D. 1.245 cm

    E. 762 cm

    PEMBAHASAN.

    Panjang tali semula yang dimaksud adalah S_7, yaitu

    S_7 = \dfrac{7}{2}(u_1 + u_7)

    = \dfrac{7}{2}(6 + 384)

    = \dfrac{7}{2}(390)

    = 1.365.

    JAWABAN : B

  9. Nilai \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3}-2x+3 \right) adalah …

    A. -4

    B. -2

    C. 0

    D. 2

    E. 4

    PEMBAHASAN.

    Rumus : \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+qx+r} \right) = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}.

    Perhatikan bahwa,

    \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3}-2x+3 \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-3) \right)

    = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{(2x-3)^2} \right)

    = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-12x+9} \right)

    = \dfrac{4-(-12)}{2\sqrt{4}}

    = \dfrac{16}{2\cdot 2} = 4.

    JAWABAN : E

  10. Nilai \lim_{x \to 2} \dfrac{2-\sqrt{x+2}}{x^2-6x+8} adalah …

    A. -\dfrac{1}{2}

    B. -\dfrac{1}{8}

    C. \dfrac{1}{8}

    D. \dfrac{1}{4}

    E. \dfrac{1}{2}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \lim_{x \to 2} \dfrac{2-\sqrt{x+2}}{x^2-6x+8} = \lim_{x \to 2} \dfrac{2-\sqrt{x+2}}{(x-4)(x-2)} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}}

    = \lim_{x \to 2} \dfrac{4-(x+2)}{(x-4)(x-2)(2+\sqrt{x+2})}

    = \lim_{x \to 2} \dfrac{2-x}{(x-4)(x-2)(2+\sqrt{x+2})}

    = \lim_{x \to 2} \dfrac{-(x-2)}{(x-4)(x-2)(2+\sqrt{x+2})}

    = \lim_{x \to 2} \dfrac{-1}{(x-4)(2+\sqrt{x+2})}

    = \dfrac{-1}{(2-4)(2+\sqrt{2+2})}

    = \dfrac{-1}{(-2)(2+2)} = \dfrac{1}{8}.

    JAWABAN : D

Pembahasan lengkap Ujian Nasional Matematika SMA 2017 dapat didownload DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Kalian lagi persiapan untuk Ujian Nasional? Kalian tidak harus ikut bimbingan belajar, bisa belajar lewat video. Check it out ke Quipper Video

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

w

Connecting to %s