Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2017 (4)

Dikatahui limas beraturan $T.ABCD$ dengan panjang rusuk tegak $6\sqrt{2}$ cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik $A$ ke $TC$ adalah …

A. $2\sqrt{2}$

B. $2\sqrt{3}$

C. $3\sqrt{2}$

D. $3\sqrt{3}$

E. $3\sqrt{6}$

PEMBAHASAN.

Perhatikan gambar berikut

Perhatikan,

$\begin{array}{rl} AT &= TC = 6\sqrt{2}\\ AC &= \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}. \end{array}$

Karena $AT=TC=AC$ , maka segitiga $ATC$ adalah segitiga sama sisi. Oleh karena itu, jarak $A$ ke sisi $TC$ adalah $AE$ yang merupakan tinggi segitiga $ATC$ dengan $TC$ sebagai alasnya dan $TE=EC = 3\sqrt{2}$ . Perhatikan,

$\begin{array}{rl} AE &= \sqrt{AT^2 - TE^2}\\ &= \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2}\\ &= \sqrt{72 - 18}\\ &= \sqrt{54} = 3\sqrt{6}. \end{array}$

JAWABAN : E
Diketahui limas alas segiempat beraturan $T.ABCD$ . Panjang rusuk tegas = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis $TA$ dan bidang $ABCD$ adalah …

A. $15^0$

B. $30^0$

C. $45^0$

D. $60^0$

E. $90^0$

PEMBAHASAN.

Perhatikan gambar berikut

Sudut yang dibentuk antara garis $TA$ dan bidang $ABCD$ sama dengan sudut $A$ dari segitiga $ATC$ . Karena $AT=TC$ maka segitiga $ATC$ adalah segitiga sama kaki, sehingga garis tinggi $TO$ merupakan garis yang membagi $AC$ sama besar, yaitu $AO=AC$ . Perhatikan

$\begin{array}{rl} AT &= TC = 4\\ AC &= \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}\\ AO &= \dfrac{1}{2} AC = 2\sqrt{2}. \end{array}$

Oleh karena itu, untuk menghitung nilai $\angle A$ dapat memanfaatkan segitiga siku-siku $AOT$ .

$\begin{array}{rl} \cos \angle A &= \dfrac{AO}{AT}\\ &= \dfrac{2\sqrt{2}}{4}\\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{2}\\ \angle A &= 60^0. \end{array}$

JAWABAN : D
Persamaan peta garis $2x+3y+1=0$ karena dilatasi $[0,3]$ dilanjutkan pencerminan terhadap garis $y=x$ adalah …

A. $3x+2y+3=0$

B. $3x-2y-3=0$

C. $2x+3y-3=0$

D. $2x-3y+3=0$

E. $2x+2y+3=0$

PEMBAHASAN.

Matriks dilatasi $k=3$ , yaitu $\begin{bmatrix} 3&0\\ 0&3 \end{bmatrix}$ dan matriks pencerminan terhadap $y=x$ adalah $\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}$ . Perhatikan

$\begin{array}{rl} \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3&0\\ 0&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0&3\\ 3&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 3y\\3x \end{bmatrix}. \end{array}$

Sehingga diperoleh $y = \dfrac{1}{3}x'$ dan $x = \dfrac{1}{3}y'$ . Selanjutnya didapat

$\begin{array}{rl} 2x + 3y + 1 &= 0\\ 2 \left( \dfrac{1}{3}y' \right) + 3 \left( \dfrac{1}{3}x' \right) + 1 &= 0\\ \dfrac{2}{3}y' + x' + 1 &= 0\\ 2y' + 3x' + 3 &= 0. \end{array}$

Jadi diperoleh bayangan dari persamaan garis $2x + 3y + 1 = 0$ adalah $3x + 2y + 3 = 0$ .

JAWABAN : A
Persamaan lingkaran dengan pusat di titik $(2,-3)$ dan menyinggung garis $x=5$ , adalah …

A. $x^2+y^2+4x-6y+9=0$

B. $x^2+y^2-4x+6y+9=0$

C. $x^2+y^2-4x+6y+4=0$

D. $x^2+y^2-4x-6y+9=0$

E. $x^2+y^2-4x-6y+4=0$

PEMBAHASAN.

Karena menyinggung sumbu- $X$ maka jari-jari lingkarannya adalah $|y|$ , yaitu $3$ . Berakibat

$\begin{array}{rl} (x-2)^2 + (y+3)^2 &= 3^3\\ x^2-4x+4 + y^2+6y+9 &= 9\\ x^2+y^2-4x+6y+4 &= 0. \end{array}$ $

JAWABAN : C
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+2x-6y+5=0$ yang sejajar garis $2x-y+7 = 0$ adalah …

A. $2x-y+10 = 0$

B. $2x-y+5 = 0$

C. $2x-y+3 = 0$

D. $2x-y+1 = 0$

E. $2x-y-5 = 0$

PEMBAHASAN.

Persamaan Lingkaran : $x^2+y^2+2x-6y+5=0$

Titik Pusat:

$P(a,b) = \left( -\dfrac{1}{2}A , -\dfrac{1}{2}B \right) = \left( -\dfrac{1}{2}(2) , -\dfrac{1}{2}(-6) \right) = (-1,3)$

Jari-jari:

$\begin{array}{rl} r &= \sqrt{\left( -\dfrac{1}{2}A \right)^2 + \left( -\dfrac{1}{2}B \right)^2-C}\\ &= \sqrt{(-1)^2 + 3^2-5}\\ &= \sqrt{5}. \end{array}$

Gradien garis $2x-y+7=0$ ;

$2x-y+7 = 0 \Leftrightarrow y = 2x+7$

Jadi, $m=2$ . Karena persamaan garis singgung sejajar dengan garis $2x-y+7=0$ , maka $m_1=m_2$ , berakibat gradiennya sama dengan $m=2$ .

Persamaannya garis singgung :

$\begin{array}{rl} y-b &= m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}\\ y-3 &= 2(x+1) \pm \sqrt{5}\sqrt{1+2^2}\\ y-3 &= (2x+2) \pm \sqrt{5} \sqrt{5}\\ y-3 &= (2x+2) \pm 5. \end{array}$

Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

$\begin{array}{lccr} y-3=(2x+2)+5 &&& y-3=(2x+2)-5\\ 2x+2+5-y+3=0 &&& 2x+2-5-y+3=0\\ 2x-y+10=0. &&& 2x-y=0. \end{array}$

JAWABAN : A
Perhatikan data pada histogram berikut!

Modus dari data pada histogram tersebut adalah …

A. 42,25

B. 42,75

C. 43,25

D. 43,45

E. 43,75

PEMBAHASAN.

Dari histogram pada soal, jelas terlihat bahwa kelas modus berapa pada frekuensi $f=16$ . Perhatikan,

$t_b$ : tepi bawah kelas modus

$t_b = \dfrac{1}{2}(37 + 42) = 39,5$

$d_1$ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

$d_1 = 16-10 = 6$

$d_2$ &: selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

$d_2 = 16-14=2$

$i$ : lebar kelas

$i = 42-37=5$

Selanjutnya akan dicari modus. Perhatikan,

$\begin{array}{rl} M_o &= t_b + \left( \dfrac{d_1}{d_1+d_2} \right)i\\ &= 39,5 + \left( \dfrac{6}{6+2} \right) 5\\ &= 39,5 + \left( \dfrac{6}{8} \right) 5\\ &= 39,5 + 3,75 = 43,25. \end{array}$

JAWABAN : C
Dalam suatu ulangan siswa harus mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang tersedia dengan syarat soal bernomor bilangan prima wajib dikerjakan. Banyak cara siswa mengerjakan soal yang tersisa adalah …

A. 12

B. 15

C. 24

D. 30

E. 48

PEMBAHASAN.

Bilangan prima : 2, 3, 5, 7. Karena bilangan prima wajib dikerjakan, berarti ada 4 soal yang belum dikerjakan dari 6 soal yang tersedia. Sehingga banyak cara untuk mengerjakan 4 soal dari 6 soal adalah $_6C_4$ .

$\begin{array}{rl} _6C_4 &= \dfrac{6!}{4!(6-4)!}\\ &= \dfrac{4! \cdot 5 \cdot 6}{4!2!}\\ &= \dfrac{5 \cdot 6}{2!} = 15. \end{array}$

Jadi, ada 15 cara mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang tersedia.

JAWABAN : B
Banyak bilangan genap yang terdiri dari 3 angka berbeda yang dapat disusun dari angka 0, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 adalah …

A. 210

B. 120

C. 105

D. 90

E. 75

PEMBAHASAN.
Bilangan genap, berarti angka satuannya harus angka genap, sehingga untuk angka satuan hanya bisa diisi oleh 4 angka, yaitu 0, 2, 4, dan 6.
Angka puluhan diisi oleh 6 angka karena satu angka sudah terpakai.
Angka ratusan diisi oleh 5 angka karena dua angka sudah terpakai. Jadi, banyak bilangan genap yang terbentuk adalah $4 \cdot 6 \cdot 5 = 120$

JAWABAN :
Diberikan 5 huruf konsonan c, k, m, r, dan s serta 3 huruf vokal a, i, dan u. Dari huruf tersebut akan dibuat sebuah password yang terdiri atas 5 huruf dengan 3 huruf konsonan dan 2 huruf vokal berbeda. Banyak password yang terbentuk adalah …

A. 1.400

B. 2.500

C. 3.600

D. 4.700

E. 5.800

PEMBAHASAN.

Konosnan (K) : c, k, m, r, dan s = 5 huruf

Vokal (V) : a, i, dan u = 3 huruf

Karena password akan dibentuk terdiri atas 5 huruf dengan 3 huruf konsonan dan 2 huruf vokal berbeda, sehingga memiliki beberapa kemungkinan posisi karakter yang diisi oleh huruf konsonan dan vokal.

a. Kemungkinan 1 : KKKVV

b. Kemungkinan 2 : KKVVK

c. Kemungkinan 3 : KVVKK

d. Kemungkinan 4 : VVKKK

e. Kemungkinan 5 : KKVKV

f. Kemungkinan 6 : KVKKV

g. Kemungkinan 7 : VKKKV

h. Kemungkinan 8 : VKVKK

i. Kemungkinan 9 : VKKVK

j. Kemungkinan 10 : KVKVK

Selanjutnya untuk semua kemungkinan di atas memiliki jumlah susunan yang sama. Satu kemungkinan memiliki $_5P_3 \times _3P_2$ cara, yaitu

$_5P_3 \times _3P_2 = (5 \times 4 \times 3) \times (3 \times 2) = 360$

Sehingga untuk sepuluh kemungkinan ada 3.600 cara. Jadi, banyak password akan dibentuk terdiri atas 5 huruf dengan 3 huruf konsonan dan 2 huruf vokal berbeda adalah 3.600

JAWABAN : C
Perhatikan data pada table berikut!

Kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah …

A. 52,00

B. 55,00

C. 56,20

D. 56,25

E. 57,64

PEMBAHASAN.

Jumlah frekuensi adalah $N=20$ .

Kelas kuartil atas adalah $\dfrac{3}{4} \times 20 = 15$ . Jadi, kelas kuartil atas ( $Q_3$ ) berapa pada data ke-15. Perhatikan,

$b_i$ : tepi bawah kelas kuartil ke- $i$

$b_i = 56-0,5 = 55,5$

$f$ : frekuensi kelas kuartil

$f = 7$

$F$ &: frekuensi komulatif kelas sebelum kelas kuartil

$F = 1+3+6=10$

$l$ : lebar kelas

$l=3$ .

Selanjutnya akan dicari Kuartil atas. Perhatikan,

$\begin{array}{rl} Q_3 &= b_i + l\left( \dfrac{\dfrac{i}{4}N-F}{f} \right)\\ &= 55,5 + 3\left( \dfrac{\dfrac{3}{4} \times 20-10}{7} \right)\\ &= 55,5 + 3\left( \dfrac{15-10}{7} \right)\\ &= 55,5 + \dfrac{15}{7}\\ &= 55,5 + 2,14 = 57,64. \end{array}$

JAWABAN : E

Pembahasan lengkap Ujian Nasional Matematika SMA 2017 dapat didownload DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	aginta di Barisan dan Deret Geometr…
	Elda di Koleksi Buku
	Yuli di Koleksi Buku
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim di Interpolasi Lagrange
	sarah di Tanya Jawab MATEMATIKA
	sarah di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Putri Rizki Neranyra… di Tanya Jawab MATEMATIKA
	edwin suryaputra di Interpolasi Lagrange

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan