Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2017 (4)


  1. Dikatahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak 6\sqrt{2} cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah …

    A. 2\sqrt{2}

    B. 2\sqrt{3}

    C. 3\sqrt{2}

    D. 3\sqrt{3}

    E. 3\sqrt{6}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan gambar berikut


    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} AT &= TC = 6\sqrt{2}\\ AC &= \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}. \end{array}

    Karena AT=TC=AC, maka segitiga $ATC$ adalah segitiga sama sisi. Oleh karena itu, jarak A ke sisi TC adalah AE yang merupakan tinggi segitiga ATC dengan TC sebagai alasnya dan TE=EC = 3\sqrt{2}. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} AE &= \sqrt{AT^2 - TE^2}\\ &= \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2}\\ &= \sqrt{72 - 18}\\ &= \sqrt{54} = 3\sqrt{6}. \end{array}

    JAWABAN : E

  2. Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegas = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang ABCD adalah …

    A. 15^0

    B. 30^0

    C. 45^0

    D. 60^0

    E. 90^0

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan gambar berikut


    Sudut yang dibentuk antara garis TA dan bidang ABCD sama dengan sudut A dari segitiga ATC. Karena AT=TC maka segitiga ATC adalah segitiga sama kaki, sehingga garis tinggi TO merupakan garis yang membagi AC sama besar, yaitu AO=AC. Perhatikan

    \begin{array}{rl} AT &= TC = 4\\ AC &= \sqrt{4^2+4^2} = 4\sqrt{2}\\ AO &= \dfrac{1}{2} AC = 2\sqrt{2}. \end{array}

    Oleh karena itu, untuk menghitung nilai \angle A dapat memanfaatkan segitiga siku-siku AOT.

    \begin{array}{rl} \cos \angle A &= \dfrac{AO}{AT}\\ &= \dfrac{2\sqrt{2}}{4}\\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{2}\\ \angle A &= 60^0. \end{array}

    JAWABAN : D

  3. Persamaan peta garis 2x+3y+1=0 karena dilatasi [0,3] dilanjutkan pencerminan terhadap garis y=x adalah …

    A. 3x+2y+3=0

    B. 3x-2y-3=0

    C. 2x+3y-3=0

    D. 2x-3y+3=0

    E. 2x+2y+3=0

    PEMBAHASAN.

    Matriks dilatasi k=3, yaitu \begin{bmatrix} 3&0\\ 0&3 \end{bmatrix} dan matriks pencerminan terhadap y=x adalah \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}. Perhatikan

    \begin{array}{rl} \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3&0\\ 0&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0&3\\ 3&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 3y\\3x \end{bmatrix}. \end{array}

    Sehingga diperoleh y = \dfrac{1}{3}x' dan x = \dfrac{1}{3}y'. Selanjutnya didapat

    \begin{array}{rl} 2x + 3y + 1 &= 0\\ 2 \left( \dfrac{1}{3}y' \right) + 3 \left( \dfrac{1}{3}x' \right) + 1 &= 0\\ \dfrac{2}{3}y' + x' + 1 &= 0\\ 2y' + 3x' + 3 &= 0. \end{array}

    Jadi diperoleh bayangan dari persamaan garis 2x + 3y + 1 = 0 adalah 3x + 2y + 3 = 0.

    JAWABAN : A

  4. Persamaan lingkaran dengan pusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis x=5, adalah …

    A. x^2+y^2+4x-6y+9=0

    B. x^2+y^2-4x+6y+9=0

    C. x^2+y^2-4x+6y+4=0

    D. x^2+y^2-4x-6y+9=0

    E. x^2+y^2-4x-6y+4=0

    PEMBAHASAN.

    Karena menyinggung sumbu-X maka jari-jari lingkarannya adalah |y|, yaitu 3. Berakibat

    \begin{array}{rl} (x-2)^2 + (y+3)^2 &= 3^3\\ x^2-4x+4 + y^2+6y+9 &= 9\\ x^2+y^2-4x+6y+4 &= 0. \end{array}$

    JAWABAN : C

  5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+2x-6y+5=0 yang sejajar garis 2x-y+7 = 0 adalah …

    A. 2x-y+10 = 0

    B. 2x-y+5 = 0

    C. 2x-y+3 = 0

    D. 2x-y+1 = 0

    E. 2x-y-5 = 0

    PEMBAHASAN.

    Persamaan Lingkaran : x^2+y^2+2x-6y+5=0

    Titik Pusat:

    P(a,b) = \left( -\dfrac{1}{2}A , -\dfrac{1}{2}B \right) = \left( -\dfrac{1}{2}(2) , -\dfrac{1}{2}(-6) \right) = (-1,3)

    Jari-jari:

    \begin{array}{rl} r &= \sqrt{\left( -\dfrac{1}{2}A \right)^2 + \left( -\dfrac{1}{2}B \right)^2-C}\\ &= \sqrt{(-1)^2 + 3^2-5}\\ &= \sqrt{5}. \end{array}

    Gradien garis 2x-y+7=0;

    2x-y+7 = 0 \Leftrightarrow y = 2x+7

    Jadi, m=2. Karena persamaan garis singgung sejajar dengan garis 2x-y+7=0, maka m_1=m_2, berakibat gradiennya sama dengan m=2.

    Persamaannya garis singgung :

    \begin{array}{rl} y-b &= m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}\\ y-3 &= 2(x+1) \pm \sqrt{5}\sqrt{1+2^2}\\ y-3 &= (2x+2) \pm \sqrt{5} \sqrt{5}\\ y-3 &= (2x+2) \pm 5. \end{array}

    Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

    \begin{array}{lccr} y-3=(2x+2)+5 &&& y-3=(2x+2)-5\\ 2x+2+5-y+3=0 &&& 2x+2-5-y+3=0\\ 2x-y+10=0. &&& 2x-y=0. \end{array}

    JAWABAN : A

  6. Perhatikan data pada histogram berikut!

    Modus dari data pada histogram tersebut adalah …

    A. 42,25

    B. 42,75

    C. 43,25

    D. 43,45

    E. 43,75

    PEMBAHASAN.

    Dari histogram pada soal, jelas terlihat bahwa kelas modus berapa pada frekuensi f=16. Perhatikan,

    t_b : tepi bawah kelas modus

    t_b = \dfrac{1}{2}(37 + 42) = 39,5

    d_1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

    d_1 = 16-10 = 6

    d_2 &: selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

    d_2 = 16-14=2

    i : lebar kelas

    i = 42-37=5

    Selanjutnya akan dicari modus. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} M_o &= t_b + \left( \dfrac{d_1}{d_1+d_2} \right)i\\ &= 39,5 + \left( \dfrac{6}{6+2} \right) 5\\ &= 39,5 + \left( \dfrac{6}{8} \right) 5\\ &= 39,5 + 3,75 = 43,25. \end{array}

    JAWABAN : C

  7. Dalam suatu ulangan siswa harus mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang tersedia dengan syarat soal bernomor bilangan prima wajib dikerjakan. Banyak cara siswa mengerjakan soal yang tersisa adalah …

    A. 12

    B. 15

    C. 24

    D. 30

    E. 48

    PEMBAHASAN.

    Bilangan prima : 2, 3, 5, 7. Karena bilangan prima wajib dikerjakan, berarti ada 4 soal yang belum dikerjakan dari 6 soal yang tersedia. Sehingga banyak cara untuk mengerjakan 4 soal dari 6 soal adalah _6C_4.

    \begin{array}{rl} _6C_4 &= \dfrac{6!}{4!(6-4)!}\\ &= \dfrac{4! \cdot 5 \cdot 6}{4!2!}\\ &= \dfrac{5 \cdot 6}{2!} = 15. \end{array}

    Jadi, ada 15 cara mengerjakan 8 soal dari 10 soal yang tersedia.

    JAWABAN : B

  8. Banyak bilangan genap yang terdiri dari 3 angka berbeda yang dapat disusun dari angka 0, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 adalah …

    A. 210

    B. 120

    C. 105

    D. 90

    E. 75

    PEMBAHASAN.
    Bilangan genap, berarti angka satuannya harus angka genap, sehingga untuk angka satuan hanya bisa diisi oleh 4 angka, yaitu 0, 2, 4, dan 6.
    Angka puluhan diisi oleh 6 angka karena satu angka sudah terpakai.
    Angka ratusan diisi oleh 5 angka karena dua angka sudah terpakai. Jadi, banyak bilangan genap yang terbentuk adalah 4 \cdot 6 \cdot 5 = 120

    JAWABAN :

  9. Diberikan 5 huruf konsonan c, k, m, r, dan s serta 3 huruf vokal a, i, dan u. Dari huruf tersebut akan dibuat sebuah password yang terdiri atas 5 huruf dengan 3 huruf konsonan dan 2 huruf vokal berbeda. Banyak password yang terbentuk adalah …

    A. 1.400

    B. 2.500

    C. 3.600

    D. 4.700

    E. 5.800

    PEMBAHASAN.

    Konosnan (K) : c, k, m, r, dan s = 5 huruf

    Vokal (V) : a, i, dan u = 3 huruf

    Karena password akan dibentuk terdiri atas 5 huruf dengan 3 huruf konsonan dan 2 huruf vokal berbeda, sehingga memiliki beberapa kemungkinan posisi karakter yang diisi oleh huruf konsonan dan vokal.

    a. Kemungkinan 1 : KKKVV

    b. Kemungkinan 2 : KKVVK

    c. Kemungkinan 3 : KVVKK

    d. Kemungkinan 4 : VVKKK

    e. Kemungkinan 5 : KKVKV

    f. Kemungkinan 6 : KVKKV

    g. Kemungkinan 7 : VKKKV

    h. Kemungkinan 8 : VKVKK

    i. Kemungkinan 9 : VKKVK

    j. Kemungkinan 10 : KVKVK

    Selanjutnya untuk semua kemungkinan di atas memiliki jumlah susunan yang sama. Satu kemungkinan memiliki _5P_3 \times _3P_2 cara, yaitu

    _5P_3 \times _3P_2 = (5 \times 4 \times 3) \times (3 \times 2) = 360

    Sehingga untuk sepuluh kemungkinan ada 3.600 cara. Jadi, banyak password akan dibentuk terdiri atas 5 huruf dengan 3 huruf konsonan dan 2 huruf vokal berbeda adalah 3.600

    JAWABAN : C

  10. Perhatikan data pada table berikut!

    Kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah …

    A. 52,00

    B. 55,00

    C. 56,20

    D. 56,25

    E. 57,64

    PEMBAHASAN.

    Jumlah frekuensi adalah N=20.

    Kelas kuartil atas adalah \dfrac{3}{4} \times 20 = 15. Jadi, kelas kuartil atas (Q_3) berapa pada data ke-15. Perhatikan,

    b_i : tepi bawah kelas kuartil ke-i

    b_i = 56-0,5 = 55,5

    f : frekuensi kelas kuartil

    f = 7

    F &: frekuensi komulatif kelas sebelum kelas kuartil

    F = 1+3+6=10

    l : lebar kelas

    l=3.

    Selanjutnya akan dicari Kuartil atas. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} Q_3 &= b_i + l\left( \dfrac{\dfrac{i}{4}N-F}{f} \right)\\ &= 55,5 + 3\left( \dfrac{\dfrac{3}{4} \times 20-10}{7} \right)\\ &= 55,5 + 3\left( \dfrac{15-10}{7} \right)\\ &= 55,5 + \dfrac{15}{7}\\ &= 55,5 + 2,14 = 57,64. \end{array}

    JAWABAN : E

Pembahasan lengkap Ujian Nasional Matematika SMA 2017 dapat didownload DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.


Kalian lagi persiapan untuk Ujian Nasional? Kalian tidak harus ikut bimbingan belajar, bisa belajar lewat video. Check it out ke Quipper Video

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s