Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2016 (1)


  1. Hasil dari \dfrac{(125)^{\frac{2}{3}}- (25)^{\frac{1}{2}}}{(81)^{\frac{1}{4}}+ (27)^{\frac{1}{3}}} adalah …

    A. \dfrac{8}{3}

    B. \dfrac{10}{3}

    C. \dfrac{14}{3}

    D. \dfrac{16}{3}

    E. \dfrac{20}{3}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \dfrac{(125)^{\frac{2}{3}}- (25)^{\frac{1}{2}}}{(81)^{\frac{1}{4}}+ (27)^{\frac{1}{3}}} &= \dfrac{(5^3)^{\frac{2}{3}}- (5^2)^{\frac{1}{2}}}{(3^4)^{\frac{1}{4}}+ (3^3)^{\frac{1}{3}}}\\ &= \dfrac{5^2- 5}{3+ 3}\\ &= \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3}. \end{array}

    JAWABAN : B

  2. Bentuk sederhana \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}} adalah …

    A. \dfrac{3}{4}\sqrt{30}+\sqrt{10}

    B. \dfrac{3}{4}\sqrt{30}+\dfrac{3}{4}\sqrt{10}

    C. \dfrac{3}{4}\sqrt{30}-\dfrac{3}{4}\sqrt{10}

    D. \dfrac{3}{4}\sqrt{10}-\dfrac{3}{4}\sqrt{30}

    E. -\dfrac{3}{4}\sqrt{10}-\dfrac{3}{4}\sqrt{30}

    PEMBAHASAN.

    \begin{array}{rcl} \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}} &&= \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}}\\ &&= \dfrac{3\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2-6}\\ &&= \dfrac{3\sqrt{10}-3\sqrt{30}}{-4}\\ &&= \dfrac{3\sqrt{10}}{-4} + \dfrac{3\sqrt{30}}{4}\\ &&= \dfrac{3}{4}\sqrt{30}-\dfrac{3}{4}\sqrt{10}. \end{array}

    JAWABAN : C

  3. Hasil dari \left[ \dfrac{^3\log 2 \cdot ^4\log 27 + ^3\log 81}{^2\log 8- ^2\log 4} \right]^2 adalah …

    A. \dfrac{121}{4}

    B. \dfrac{81}{4}

    C. \dfrac{25}{4}

    D. 6

    E. \dfrac{1}{2}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rcl} \left[ \dfrac{^3\log 2 \cdot ^4\log 27 + ^3\log 81}{^2\log 8- ^2\log 4} \right]^2 &&= \left[ \dfrac{^3\log 2 \cdot ^{2^2}\log 3^3 + ^3\log 3^4}{^2\log \left( \dfrac{8}{4} \right)} \right]^2\\ &&= \left[ \dfrac{^3\log 2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot ^{2}\log 3 + 4 \cdot ^3\log 3}{^2\log 2} \right]^2\\ &&= \left[ \dfrac{\dfrac{3}{2} + 4}{1} \right]^2\\ &&= \left[ \dfrac{11}{2} \right]^2 = \dfrac{121}{2}. \end{array}

    JAWABAN : A

  4. Nilai x yang memenuhi ^{\frac{1}{3}}\log (x+\sqrt{3}) + ^{\frac{1}{3}}\log (x-\sqrt{3}) > 0 adalah …

    A. x<-\sqrt{3} atau 0<x<2

    B. -2<x<-\sqrt{3} atau \sqrt{3}<x<2

    C. \sqrt{3} <x< 2

    D. -2<x<2

    E. -\sqrt{3}<x<2

    PEMBAHASAN.

    \begin{array}{rl} ^{\frac{1}{3}}\log (x+\sqrt{3}) + ^{\frac{1}{3}}\log (x-\sqrt{3}) &> 0\\ ^{\frac{1}{3}}\log (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) &> 0\\ ^{\frac{1}{3}}\log (x^2-3) &> 0\\ x^2-3 &> \left( \dfrac{1}{3} \right)^0\\ x^2-3 &> 1\\ x^2-4 &> 0\\ (x-2)(x+2) &> 0\\ x=2 \text{ atau } x&=-2. \end{array}

    Dengan menggunakan garis bilangan, maka diperoleh


    Jadi, -2<x<2

    Syarat numerus pada logaritma

    x+\sqrt{3} > 0 \Leftrightarrow x > -\sqrt{3}

    x-\sqrt{3} > 0 \Leftrightarrow x > \sqrt{3}

    Dengan menggunakan garis bilangan, maka diperoleh


    Jadi, x<-\sqrt{3} atau x<\sqrt{3}. Dengan menggabungkan kedua garis bilangan tersebut, maka diperoleh


    Jadi, kesimpulannya adalah -2<x<-\sqrt{3} atau \sqrt{3}<x<2.

    JAWABAN : B

  5. Persamaan kuadrat x^2-(p+3)x+12 = 0 mempunyai akar-akar \alpha dan \beta. Jika \alpha = 3 \beta, nilai p yang memenuhi adalah …

    A. 5 atau -11

    B. -5 atau 11

    C. 5 atau 11

    D. -5 atau 6

    E. 5 atau 6

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \alpha + \beta &= 3\beta+\beta\\ -\dfrac{b}{a} &= 4\beta\\ \dfrac{p+3}{1} &= 4\beta\\ \beta &= \dfrac{p+3}{4}. \end{array}

    Selanjutnya perhatikan,

    \begin{array}{rl} \alpha \beta &= 3\beta\beta\\ \dfrac{c}{a} &= 3\beta^2\\ \dfrac{12}{1} &= 3\left( \dfrac{p+3}{4} \right)^2\\ 12 &= 3\left( \dfrac{(p+3)^2}{16} \right)\\ 4 &= \dfrac{p^2+6p+9}{16}\\ 64 &= p^2+6p+9\\ p^2+6p-55 &= 0\\ (p+11)(p-5) &= 0. \end{array}.

    Jadi, diperoleh p=-11 atau p=5.

    JAWABAN : A

  6. Diketahui fungsi f(x) = (a+1)x^2- 2ax + (a-2) definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah …

    A. a<2

    B. a>-2

    C. a<-1

    D. a<-2

    E. a>1

    PEMBAHASAN.

    Definit negatif artinya nilai diskriminannya kurang dari nol. Perhatikan,

    \begin{array}{rcl} b^2-4ac &< 0\\ (-2a)^2-4(a+1)(a-2) &< 0\\ 4a^2-4(a^2-a-2) &<0\\ 4a^2-4a^2+4a+8 &< 0\\ 4a+8 &< 0\\ 4a &< -8\\ a &< -2. \end{array}

    JAWABAN : D

  7. Ibu Abdaya berbelanja di swalayan membeli 5kg bakso rasa daging sapi dan 4 kg bakso rasa ikan dengan harga Rp 550.000,00. Secara bersama di swalayan tersebut ibu Rita zahara membeli 4 kg bakso rasa daging sapi dan 5 kg bakso rasa ikan dengan harga Rp530.000,00. Di swalayan yang sama ibu Emi membeli 2 kg bakso rasa daging sapi dan 3 kg bakso rasa ikan, uang yg harus di bayarkan ibu Emi adalah …

    A. Rp240.000,00

    B. Rp280.000,00

    C. Rp285.000,00

    D. Rp290.000,00

    E. Rp310.000,00

    PEMBAHASAN.

    Misal x = bakso rasa daging sapi, y = bakso rasa ikan

    \begin{array}{lcl} 5x+4y=550.000 && \ldots \text{ (i)}\\ 4x+5y=530.000 && \ldots \text{ (ii)} \end{array}

    Eliminasi persamaan (i) dan (ii),

    \begin{array}{l} 5x+4y=550.000~~(\times 4)\\ \underline{4x+5y=530.000~~(\times 5)}~~-\\ ~~\\ 20x+16y=2.200.000\\ \underline{20x+25y=2.650.000}~~-\\ ~~\\ -9y = -450.000\\ y = 50.000 \end{array}

    Selanjutnya substitusikan nilai y=50.000 ke persamaan (i), diperoleh

    \begin{array}{rcl} 5x+4y &= 550.000\\ 5x+4(50.000) &= 550.000\\ 5x+200.000 &= 550.000\\ 5x &= 350.000\\ x &= 70.000 \end{array}

    Selanjutnya diperoleh 2x+3y = 2(50.000) + 3(70.000) = 310.000. Jadi, untuk membeli 2 kg bakso rasa daging sapi dan 3 kg bakso rasa ikan, ibu Emi harus membayar Rp.310.000

    JAWABAN : E

  8. Seorang penjahit memiliki persediaan 20 m kain polos dan 20 m kain bergaris untuk membuat 2 jenis pakaian. Pakaian model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris. Pakaian model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris. Pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah …

    A. Rp1.400.000,00

    B. Rp1.600.000,00

    C. Rp1.800.000,00

    D. Rp1.900.000,00

    E. Rp2.000.000,00

    PEMBAHASAN.

    Misal x adalah pakaian model I dan y adalah pakaian model II

    Tabel 1

    Dari tabel di atas, diperoleh model matematikanya sebagai berikut

    \begin{array}{l} x + 2y \leq 20 ~~...\text{(i)}\\ 3x + y \leq 20 ~~...\text{(ii)} \end{array}

    Fungsi Tujuan : f(x,y) = 100.000x + 150.000y.

    Perhatikan grafik pertidaksamaan berikut

    Gambar 1

    Dari gambar grafik pertidaksamaan di atas, akan dicari titik A, B dan C.

    Titik A : 3x + 0 = 20 \Leftrightarrow x = \dfrac{20}{3}

    Jadi, A \left( \dfrac{20}{3},0 \right)

    Titik B : 0 + 2y = 20 \Leftrightarrow y = 10

    Jadi, B \left( 0,10 \right)

    Titik C :

    \begin{array}{l} x+2y = 20~~(\times 1)\\ 3x+y = 20~~(\times 2)\\ \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}~~-\\ x+2y = 20\\ 6x+2y = 40\\ \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~}~~-\\ -5x = -20\\ x=4. \end{array}

    Selanjutnya di substitusi ke persamaan x+2y = 20, sehingga didapat y=8. Jadi, C(4,8).

    \begin{array}{lcl} \text{ Titik } A \left( \dfrac{20}{3},0 \right) &:& f\left( \dfrac{20}{3},0 \right) = 100.000\left( \dfrac{20}{3} \right) + 150.000(0) = \dfrac{2.000.000}{3}\\ &&\\ \text{ Titik } B \left( 0, 10 \right) &:& f\left( 0,10 \right) = 100.000(0) + 150.000(10) = 1.500.000\\ &&\\ \text{ Titik } C (4,8) &:& f(x,y) = 100.000(4) + 150.000(8) = 1.600.000 \end{array}.

    Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp1.600.000.

    JAWABAN : B

  9. Diketahui fungsi f(x) = x^2+2x dan g(x) = x-3. Fungsi komposisi (f \circ g)(x) adalah …

    A. (f \circ g)(x) = x^2-4x+6

    B. (f \circ g)(x) = x^2-4x+3

    C. (f \circ g)(x) = x^2+2x+6

    D. (f \circ g)(x) = x^2+2x-6

    E. (f \circ g)(x) = x^2+3x-3

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} (f \circ g)(x) &= f(g(x))\\ &= f(x-3)\\ &= (x-3)^2+2(x-3)\\ &= x^2-6x+9+2x-6\\ &= x^2-4x+3 \end{array}.

    JAWABAN : B

  10. Diketahui fungsi f : R \to R dan g : R \to R didefinisikan f(x) = \dfrac{3x+1}{x-5}, x \neq 5 dan g(x) = x-3. Invers dari (f \circ g)(x) adalah …

    A. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-8x+8}{x-3}, x \neq 3

    B. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-3x+8}{x+8}, x \neq -8

    C. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{3x-8}{x-8}, x \neq 8

    D. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{8x-8}{x-3}, x \neq 3

    E. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{8x+8}{x+3}, x \neq -3

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} (f \circ g)(x) &= f(g(x))\\ &= f(x-3)\\ &= \dfrac{3(x-3)+1}{(x-3)-5}\\ &= \dfrac{3x-9+1}{x-3-5}\\ &= \dfrac{3x-8}{x-8} \end{array}.

    Selanjutnya akan dicari inevers dari (f \circ g)(x), misal y = \dfrac{3x-8}{x-8}. Perhatikan,

    \begin{array}{rcl} y &= \dfrac{3x-8}{x-8}\\ y(x-8) &= 3x-8\\ xy-8y &= 3x-8\\ xy-3x &= 8y-8\\ x(y-3) &= 8y-8\\ x &= \dfrac{8y-8}{y-3} \end{array}.

    Jadi, didapat (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{8x-8}{x-3}, x \neq 3.

    JAWABAN : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

w

Connecting to %s