Des 9 2017

Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2015/2016 (2)


  1. Suku banyak f(x)=2x^3-5x^2+ax+18 habis dibagi oleh (x-3). Hasil bagi f(x) oleh (x+1) adalah …

    A. 2x^2-7x+2

    B. 2x^2+7x-2

    C. 2x^2-7x-2

    D. x^2-6x-3

    E. x^2-6x+3

    PEMBAHASAN.

    f(x) habis dibagi oleh x-3 artinya, nilai f(x) untuk x=3 sama dengan 0 (nol). Sehingga diperoleh

    \begin{array}{rl} f(3) &= 2(3)^3-5(3)^2+a(3)+18\\ 0 &= 54-45+3a+18\\ 0 &= 27+3a\\ -3a &= 27\\ a &= -9. \end{array}

    Berakibat diperoleh f(x)=2x^3-5x^2-9x+18. Dengan menggunakan pembagian, didapat

    JAWABAN : C

  2. Diketahui (x-2) dan (x+1) adalah faktor-faktor persamaan suku banyak x^3+ax^2+bx+10=0. Jika x_1, x_2 dan x_3 adalah akar-akar persamaan tersebut dengan x_1<x_2<x_3, nilai 2x_1-x_2+x_3 adalah …

    A. -2

    B. 1

    C. 2

    D. 5

    E. 9

    PEMBAHASAN.

    Karena (x-2) dan (x+1) adalah faktor dari x^3+ax^2+bx+10=0, artinya

    \begin{array}{lcl} \text{untuk } x=2 && \text{untuk } x=-1\\ 2^3+a(2)^2+b(2)+10 = 0 && (-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+10 = 0\\ 8+4a+2b+10 = 0 && -1+a-b+10 = 0\\ 4a+2b+18 = 0 && a-b+9 = 0\\ 4a+2b = -18 \ldots \text{ (i)} && a-b = -9 \ldots \text{ (ii)} \end{array}

    Dari persamaan (ii) diperoleh a=b-9, selanjutnya disubstitusi ke persamaan (i), didapat

    \begin{array}{rl} 4(b-9)+2b &= -18\\ 4b-36+2b &= -18\\ 6b &= 18\\ b &= 3. \end{array}

    Selanjutnya dengan mensubtitusikan nilai b=3 ke a=b-9, diperoleh a=-6. Jadi diperoleh persamaan suku banyak yaitu x^3-6x^2+3x+10=0. Selanjutnya untuk menyelesaiakan soal ini, akan dimanfaatkan Horner. Perhatikan,

    Dari Metode Horner tersebut diperoleh x^2-4x-5 = 0, selanjutnya dengan memfaktorkan didapat (x-5)(x+1)=0. Oleh karena itu didapat x=5 atau x=-1. Karena x_1<x_2<x_3, maka didapat x_1=-1, x_2=2, dan x_3=5. Jadi, 2x_1-x_2+x_3 = 2(-1)-2+5 = 1

    JAWABAN : A

  3. Diketahui matriks 2\begin{pmatrix} x&6\\ 1&12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2\\ 4&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&3\\ 2&y \end{pmatrix}. Nilai 2x-3y = \ldots

    A. -19

    B. -17

    C. -13

    D. -7

    E. -4

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} 2\begin{pmatrix} x&6\\ 1&12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1&2\\ 4&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&3\\ 2&y \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 2x&12\\ 2&24 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3&3+2y\\ 2&12+3y \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 2x+1&13\\ 2&27 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3&3+2y\\ 2&12+3y \end{pmatrix} \end{array}

    Dari persamaan matriks terakhir, didapat 2x+1 = 3 \Leftrightarrow x=1 dan 13=3+2y \Leftrightarrow y=5. Jadi, didapat 2x-3y = 2(1)-3(5) = -13.

    JAWABAN : C

  4. Diketahui persamaan matriks : X \begin{pmatrix} 3&2\\ 7&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&1\\ 2&3 \end{pmatrix}, dengan matriks X berordo 2 \times 2. Determinan matriks X adalah …

    A. 13

    B. 28

    C. 37

    D. 53

    E. 71

    PEMBAHASAN.

    Sifat : \det(XA) = \det(X) \det(A). Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \det(X) \det \begin{pmatrix} 3&2\\ 7&5 \end{pmatrix} &= \det \begin{pmatrix} 5&1\\ 2&3 \end{pmatrix}\\ \det(X) (3 \cdot 5 -7 \cdot 2) &= 5 \cdot 3 -2 \cdot 1\\ \det(X) (15 -14) &= 15 -2\\ \det(X) &= 13. \end{array}

    JAWABAN : A

  5. Suatu barisan aritmetika memiliki suku kedua adalah 8, suku keempat adalah 14, dan suku terakhir 23. Jumlah semua suku barisan tersebut adalah …

    A. 56

    B. 77

    C. 98

    D. 105

    E. 112

    PEMBAHASAN.

    Perhtatikan,

    \begin{array}{ll} u_2 = a+b= 8 &~~\ldots \text{ (i)}\\ u_4 = a+3b = 14 &~~\ldots \text{ (ii)}\\ u_n = a+(n-1)b = 23 &~~\ldots \text{ (iii)} \end{array}

    Dari persamaan (i) didapat a=8-b, dengan mensubstitusikan ke persamaan (ii), didapat (8-b)+3b = 14 \Leftrightarrow b=3. Sehingga didapat a=5. Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai a=5 dan b=3 ke persamaan (iii), didapat

    \begin{array}{rl} a+(n-1)b &= 23\\ 5+(n-1)3 &= 23\\ 5+3n-3 &= 23\\ 3n &= 21\\ n &= 7. \end{array}

    Selanjutnya, perhatikan

    \begin{array}{rl} S_n &= \dfrac{n}{2} (2a+(n-1)b)\\ S_7 &= \dfrac{7}{2} (2 \cdot 5+(7-1)3)\\ &= \dfrac{7}{2} (10+18)\\ &= \dfrac{7}{2} \cdot 28\\ &= 7 \cdot 14 = 98. \end{array}

    JAWABAN : C

  6. Aturan Main :

    Dalam kotak tersedia 10 bendera dan harus dipindahkan ke dalam botol yang tersedia satu demi satu (tidak sekaligus). Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol no. 10 untuk mengambil bendera dalam kotak. Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah …

    A. 164 meter

    B. 880 meter

    C. 920 meter

    D. 1.000 meter

    E. 1.840 meter

    PEMBAHASAN.

    Soal ini dapat dipandang sebagai barisan aritmatika. Misalkan peserta lomba mulai dari Kotak bendera dengan menempatkan bendera pertama pada botol 1 kemudian balik lagi ke kotak bendera dengan jarak u_1=2\times 10 = 20. Selanjutnya peserta mengambil bendera kedua yang akan ditempatkan pada botol kedua kemudian balik lagi ke Kotak bendera dengan jarak u_2=2 \times (10+8)=32. Kemudian peserta mengambil bendera ketiga yang akan ditempatkan pada botol ketiga kemudian balik lagi ke Kotak bendera dengan jarak u_3=2 \times (10+8+8)=52. Demikian seterusnya sampai peserta mengambil bendera yang kesepuluh, tapi ketika peserta sudah sampai pada botol ke-10, peserta tidak kembali ke Kotak bendera. Akan tetapi perlu diingat bahwa peserta mulai dari STAR ke Kotak itu juga memiliki jarak yang sama dengan ketika peserta mengambil bendera di Kotak menuju botol ke-10, sehingga memiliki jarak u_{10}. Oleh karena itu, jarak tempuh peserta untuk memindahkan bendera dari Kotak sampai botol ke-10 adalah merupakan jumlah 10 suku dari barisan aritmatika tersebut. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} S_{n} &= \dfrac{n}{2} (2a+(n-1)b)\\ S_{10} &= \dfrac{10}{2} (2(20)+(10-1)16)\\ &= 5 (40+(9)16)\\ &=5 (40+144)\\ &= 5 (184) = 920. \end{array}

    JAWABAN : C

  7. Seorang pedagang pada bulan pertama menabung sebesar Rp20.000,00. Ternyata usahanya sukses sehingga tiap bulan ia menabung 1\dfrac{1}{2} kali tabungan bulan sebelumnya. Besar uang yang ditabung pedagang tersebut pada bulan keempat adalah …

    A. Rp151.875,00

    B. Rp160.000,00

    C. Rp162.000,00

    D. Rp180.000,00

    E. Rp196.000,00

    PEMBAHASAN.

    Soal ini merupakan soal terkait barisan geometri dengan suku pertama a=20.000 dan rasio r = 1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} S_n &= \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\ S_4 &= \dfrac{20.000 \left( \left(\dfrac{3}{2} \right)^4 -1 \right)}{\dfrac{3}{2}-1}\\ &= \dfrac{20.000 \left( \dfrac{81}{16} -\dfrac{16}{16} \right)}{\dfrac{1}{2}}\\ &= \dfrac{20.000 \left( \dfrac{65}{16} \right)}{\dfrac{1}{2}}\\ &= 20.000 \left( \dfrac{65}{16} \right) \cdot \dfrac{2}{1}\\ &= 20.000 \left( \dfrac{65}{8} \right) = 162.500 \end{array}

    JAWABAN : C

  8. Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri \cos 2x + \sin x = 0 untuk 0^0<x<360^0 adalah …

    A. \{ 60^0, 120^0, 150^0 \}

    B. \{ 60^0, 150^0, 300^0 \}

    C. \{ 90^0, 210^0, 300^0 \}

    D. \{ 90^0, 210^0, 330^0 \}

    E. \{ 120^0, 250^0, 330^0 \}

    PEMBAHASAN.

    \begin{array}{rl} \cos 2x + \sin x &= 0\\ \cos^2 x -sin^2 x + \sin x &= 0\\ (1-\sin^2 x) -sin^2 x + \sin x &= 0\\ -2\sin^2 x + \sin x + 1 &= 0\\ 2\sin^2 x - \sin x - 1 &= 0\\ (2\sin x-2)(2\sin x+1) &= 0\\ \sin x = 1 \text{ atau } \sin x&=-\dfrac{1}{2}. \end{array}

    Selanjutnya perhatikan,

    \begin{array}{rlccrl} \sin x &= 1 = \sin 90^0 &&& \sin x &= -\dfrac{1}{2} = \sin 210^0\\ \alpha &= 90 &&& \alpha &= 210\\ &&&&&\\ x &= \alpha + k \cdot 360 &&& x &= \alpha + k \cdot 360\\ & \text{untuk } k=0 &&& &\text{untuk } k=0\\ x &= 90 + 0 \cdot 360 &&& x &= 210 + 0 \cdot 360\\ &= 90 &&& &= 210\\ & \text{untuk } k=1 &&& &\text{untuk } k=1\\ x &= 90 + 1 \cdot 360 &&& x &= 210 + 1 \cdot 360\\ &= 90 + 360 &&& &= 210 + 360\\ &= 450 \text{ (tidak memenuhi)} &&& &= 570 \text{ (tidak memenuhi)}\\ &&&&&\\ x &= (180-\alpha) + k \cdot 360 &&& x &= (180-\alpha) + k \cdot 360\\ & \text{untuk } k=0 &&& &\text{untuk } k=0\\ x &= (180-90) + 0 \cdot 360 &&& x &= (180-210) + 0 \cdot 360\\ &= 90 &&& &= -30 \text{ (tidak memenuhi)}\\ & \text{untuk } k=1 &&& &\text{untuk } k=1\\ x &= (180-90) + 1 \cdot 360 &&& x &= (180-210) + 1 \cdot 360\\ &= 90 + 360 &&& &= -30 + 360^0\\ &= 450 \text{ (tidak memenuhi)} &&& &= 330 \end{array}

    Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah \{ 90^0, 210^0, 330^0 \}.

    JAWABAN : D

  9. Persamaan grafik fungsi trigonometri berikut adalah …

    Gambar

    A. y = \cos (2x-30^0)

    B. y = \sin (2x+30^0)

    C. y = -\cos (2x-30^0)

    D. y = -\sin (2x-30^0)

    E. y = -\cos (2x+30^0)

    PEMBAHASAN.

    Grafik trigonometri pada soal di atas bisa merupakan grafik sinus maupun kosinus, tergantung fase awalnya.

    Pertama yang dapat kita ketahui dari grafik tersebut adalah amplitudo (A) dan periode (T), yaitu A = \pm 1 dan T = 180^0 = \pi

    Periode (T) dapat digunakan untuk menentukan bilangan gelombang (k), yaitu

    k = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2.

    Asumsikan grafik tersebut adalah grafik sinus, maka fase awalnya \theta = 30^0 dan amplitudonya adalah A = 1. Persamaan grafik tersebut adalah:

    \begin{array}{rl} y &= A \sin k(x-\theta)\\ &= 1 \sin 2(x-30^0)\\ &= \sin (2x-60^0) \end{array}

    Akan tetapi persamaan ini tidak ada pada pilihan ganda. Ini berarti bahwa persamaan trigonometri yang dimaksud adalah persamaan kosinus.

    Fase awal persamaan kosinus pada grafik di atas adalah \theta = -15^0 atau \theta = 75^0.

    Asumsikan fase awal \theta = -15^0, grafiknya dimulai dari bawah kemudian bergerak ke atas. Hal ini berarti grafik kosinusnya adalah negatif atau amplitudonya A=-1.

    \begin{array}{rl} y &= A \cos k(x-\theta)\\ &= -1 \cos 2(x-(-15^0))\\ &= -\cos (2x + 30^0). \end{array}

    JAWABAN : E

  10. Nilai dari \dfrac{\sin 100^0 + \sin 20^0}{\cos 250^0 + \cos 190^0} adalah …

    A. -1

    B. -\dfrac{1}{3} \sqrt{3}

    C. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

    D. \sqrt{2}

    E. \sqrt{3}

    PEMBAHASAN.

    \begin{array}{rl} \dfrac{\sin 100^0 + \sin 20^0}{\cos 250^0 + \cos 190^0} &= \dfrac{2 \sin \dfrac{1}{2}(100^0+20^0) \cos \dfrac{1}{2}(100^0-20^0)}{2 \cos \dfrac{1}{2}(250^0+190^0) \cos \dfrac{1}{2}(250^0-190^0)}\\ &= \dfrac{2 \sin 60^0 \cos 40^0}{2 \cos 220^0 \cos 30^0}\\ &= \dfrac{2 \sin 60^0 \cos 40^0}{2 \cos (180^0+40^0) \cos 30^0}\\ &= \dfrac{2 \sin 60^0 \cos 40^0}{-2 \cos 40^0 \cos 30^0}\\ &= \dfrac{2 \sin 60^0}{-2 \cos 30^0}\\ &= \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3}}{-2 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3}} = -1. \end{array}

    JAWABAN : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s