Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2016 (3)


  1. Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah 030^0 dan tiba di pelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan 150^0 dan tiba di pelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam. Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah …


    A. 200\sqrt{2} mil

    B. 200\sqrt{3} mil

    C. 200\sqrt{6} mil

    D. 200\sqrt{7} mil

    E. 600 mil

    PEMBAHASAN.

    Waktu tempuh dari pelabuhan A ke B adalah 4 jam dan waktu tempuh dari pelabuhan B ke C : 20.00 dikurangi 12.00 = 8 jam. Sehingga diperoleh jarak A ke B, yaitu s_{AB} dan jarak B ke C, yaitu s_{BC}. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} s_{AB} &= v \times t_{AB} = 50 \times 4 = 200\\ s_{BC} &= v \times t_{BC} = 50 \times 8 = 400. \end{array}

    Dari gambar di soal, didapat \angle UBA = 180^0-030^0 = 150^0 dan \angle ABC = 360^0-150^0- 150^0 = 60^0. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} AC^2 &= AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^0\\ &= 200^2 + 400^2 - 2 \cdot 200 \cdot 400 \cdot \dfrac{1}{2}\\ &= 40000 + 160000 - 80000\\ AC &= \sqrt{120000}\\ &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 100 \cdot 100 \cdot 3} = 200\sqrt{3}. \end{array}

    Jadi, jarak antara pelabuhan C dan A adalah 200\sqrt{3} mil.

    JAWABAN : B

  2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak dari titik E ke garis BD adalah …

    A. 8\sqrt{6}~cm

    B. 8\sqrt{3}~cm

    C. 8\sqrt{2}~cm

    D. 4\sqrt{6}~cm

    E. 4\sqrt{3}~cm

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan gambar berikut ini,


    Dari gambar di atas, jarak titik E ke garis BD adalah jarak titik E ke titik O, dengan O adalah titik tengah pada garis BD. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} AC &= 8\sqrt{2}\\ AO &= \dfrac{1}{2}AC = 4\sqrt{2}\\ EO &= \sqrt{EA^2+AO^2}\\ &= \sqrt{8^2+(4\sqrt{2})^2}\\ &= \sqrt{64+32}\\ &= \sqrt{96}\\ &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = 4\sqrt{6} \end{array}

    JAWABAN : D

  3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah …

    A. \dfrac{1}{2}

    B. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

    C. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

    D. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

    E. \dfrac{1}{3} \sqrt{6}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan gambar berikut ini,


    Sudut yang dibentuk antara garis $AH$ dengan bidang BDHF sama dengan sudut yang dibentuk oleh segitiga AHB. Dengan kata lain, sama dengan \sin \angle AHB. Jika diperhatikan, segitiga AHB merupakan segitiga siku-siku, di mana sudut HAB adalah sudut siku-sikunya. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} AH &= 16\sqrt{2}\\ AB &= 16\\ HB &= \sqrt{AH^2+AB^2}\\ &= \sqrt{(16\sqrt{2})^2+16^2}\\ &= \sqrt{16^2 \cdot 2 + 16^2}\\ &= \sqrt{16^2 \cdot (2 + 1)}\\ &= 16 \sqrt{3}\\ \sin \angle AHB &= \dfrac{AB}{HB}\\ &= \dfrac{16}{16 \sqrt{3}}\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \end{array}

    JAWABAN : B

  4. Persamaan bayang kurva y = 3x^2+2x-1 oleh pencerminan terhadap sumbu x yang dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah …

    A. y = -3x^2-2x-1

    B. y = -3x^2-2x+1

    C. y = -3x^2+2x-1

    D. y = 3x^2+2x+1

    E. y = 3x^2-2x+1

    PEMBAHASAN.

    Pencerminan terhadap sumbu x : \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.

    Pencerminan terhadap sumbu y : \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.

    \begin{array}{rl} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -x\\ -y \end{pmatrix}. \end{array}

    Sehingga didapat x=-x' dan y=-y'. Oleh karena itu, didapat

    \begin{array}{rl} y &= 3x^2+2x-1\\ -y' &= 3(-x')^2+2(-x')-1\\ -y' &= 3x'^2+2x'-1\\ y' &= -3x'^2-2x'+1 \end{array}

    Jadi, diperoleh bayangan dari persamaan garis adalah y = -3x^2-2x+1.

    JAWABAN : B

  5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+2x-4y-15 = 0 yang sejajar dengan garis 2x+y+3 = 0 adalah …

    A. 2x+y+10 = 0

    B. 2x+y+6 = 0

    C. 2x+y+4 = 0

    D. 2x+y-6 = 0

    E. 2x+y-8 = 0

    PEMBAHASAN.

    Persamaan Lingkaran : x^2+y^2+2x-4y-15 = 0

    Titik Pusat: P(a,b) = \left( -\dfrac{1}{2}A , -\dfrac{1}{2}B \right) = \left( -\dfrac{1}{2}(2) , -\dfrac{1}{2}(-4) \right) = (-1,2)

    Jari-jari:

    \begin{array}{rl} r &= \sqrt{\left( -\dfrac{1}{2}A \right)^2 + \left( -\dfrac{1}{2}B \right)^2-C}\\ &= \sqrt{(-1)^2 + 2^2-(-15)}\\ &= \sqrt{20}. \end{array}

    Gradien garis 2x+y+3 = 0:

    \begin{array}{rl} 2x-y+3 &= 0\\ y &= 2x+3\\ \end{array}

    Jadi, m=2. Karena persamaan garis singgung sejajar dengan garis 2x-y+3=0, maka m_1=m_2, berakibat gradiennya sama dengan m=2.

    Persamaannya garis singgung :

    \begin{array}{rl} y-b &= m(x-a) \pm r\sqrt{1+m^2}\\ y-2 &= 2(x+1) \pm \sqrt{20}\sqrt{1+2^2}\\ y-2 &= (2x+2) \pm \sqrt{20} \sqrt{5}\\ y-2 &= (2x+2) \pm 10. \end{array}

    Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

    \begin{array}{rccl} y-2 = (2x+2) + 10 &&& y-2 = (2x+2) - 10\\ 2x+2+10-y+2 = 0 &&& 2x+2-10-y+2 = 0\\ 2x-y+14 = 0. &&& 2x-y-6 = 0 \end{array}

    JAWABAN : D

  6. Nilai \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3} -(2x-5) \right) = \ldots

    A. -6

    B. -4

    C. -1

    D. 4

    E. 6

    PEMBAHASAN.

    Rumus : \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+qx+r} \right) = \dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}.

    Perhatikan bahwa,

    \begin{array}{rl} \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3} -(2x-5) \right) &= \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{(2x-5)^2} \right)\\ &= \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25} \right)\\ &= \dfrac{4-(-20)}{2\sqrt{4}}\\ &= \dfrac{24}{2\cdot 2} = 6. \end{array}

    JAWABAN : E

  7. Nilai \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{\tan^2 2x} adalah …

    A. \dfrac{1}{8}

    B. \dfrac{1}{4}

    C. \dfrac{1}{2}

    D. 1

    E. 2

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{\tan^2 2x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\left( \cos \left( 2 \cdot \dfrac{1}{2}x \right) \right)}{\tan^2 2x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\left( \cos^2 \dfrac{1}{2}x -\sin^2 \dfrac{1}{2}x \right)}{\tan^2 2x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\left( 1 -\sin^2 \dfrac{1}{2}x -\sin^2 \dfrac{1}{2}x \right)}{\tan^2 2x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\left( 1 -2\sin^2 \dfrac{1}{2}x \right)}{\tan^2 2x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin^2 \dfrac{1}{2}x}{\tan^2 2x}\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin \dfrac{1}{2}x \sin \dfrac{1}{2}x}{\tan 2x \tan 2x}\\ &= \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{8}. \end{array}

    JAWABAN : A

  8. Turunan pertama dari fungsi f(x) = \cos^5 (\pi-2x) adalah …

    A. f'(x) = 5 \cos^3 (\pi-2x) \sin (2\pi-4x)

    B. f'(x) = 5 \cos^3 (\pi-2x) \sin (\pi-2x)

    C. f'(x) = 5 \cos^3 (\pi-2x) \cos (2\pi-4x)

    D. f'(x) = -5 \cos^3 (\pi-2x) \sin (2\pi-4x)

    E. f'(x) = -5 \cos^3 (\pi-2x) \sin (\pi-2x)

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} f(x) &= \cos^5 (\pi-2x)\\ f'(x) &= 5 \cos^4 (\pi-2x) (-\sin (\pi-2x)) (-2)\\ &= 5 \cdot 2 \cos^4 (\pi-2x) \sin (\pi-2x)\\ &= 5 \cos^3 (\pi-2x) (2 \cos (\pi-2x) \sin (\pi-2x))\\ &= 5 \cos^3 (\pi-2x) (\sin ((\pi-2x)+(\pi-2x)) -\sin ((\pi-2x)-(\pi-2x)))\\ &= 5 \cos^3 (\pi-2x) (\sin (2\pi-4x) -\sin 0)\\ &= 5 \cos^3 (\pi-2x) \sin (2\pi-4x). \end{array}

    JAWABAN : C

  9. Persamaan garis singgung kurva y = 2x^2-3x+5 melalui titik berabsis 2 pada kurva tersebut adalah …

    A. y = 5x+5

    B. y = 5x-3

    C. y = 5x-17

    D. y = 4x+3

    E. y = 4x-3

    PEMBAHASAN.

    Gradien garis adalah turunan pertama kurva y pada x=2, yaitu y' = 4x-3. Berakibat y'(2) = 4(2)-3=5 atau m=5. Selanjutnya akan dicari titik ordinat y, yaitu

    y = 2(2)^2-3(2)+5 = 8-6+5 = 7.

    Jadi, diperoleh titik koordinatnya adalah (2,7). Perhatikan,

    \begin{array}{rl} y-y_1 &= m(x-x_1)\\ y-7 &= 5(x-2)\\ y-7 &= 5x-10\\ y &= 5x-3. \end{array}

    JAWABAN : B

  10. Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar.


    Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?

    A. 80.000~m^2

    B. 40.000~m^2

    C. 20.000~m^2

    D. 5.000~m^2

    E. 2.500~m^2

    PEMBAHASAN.

    Karena salah satu sisinya dibatasi oleh tembok, sehingga sisi yang bertembok tidak dibatasi oleh pagar, oleh karena itu berakibat

    \begin{array}{rl} \text{Panjang Kawat } &= 2l + p\\ 800 &= 2l+p\\ p &= 800-2l. \end{array}

    Selanjutnya perhatikan,

    \begin{array}{rl} \text{Luas } &= pl\\ L &= (800-2l)l\\ &= 800l-2l^2 \end{array}

    Syarat luas maksimum adalah L'=0. Sehingga didapat

    L' = 800-4l=0 \Leftrightarrow l=200

    Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai l ke p = 800-2l didapat p=400. Jadi, diperoleh luasnya adalah p \times l = 400 \times 200 = 80.000.

    JAWABAN : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Kalian lagi persiapan untuk Ujian Nasional? Kalian tidak harus ikut bimbingan belajar, bisa belajar lewat video. Check it out ke Quipper Video

Iklan

3 comments on “Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2016 (3)

  1. Kalau yang no 10 itu gak dikali 4 kalau kata guru saya di kali 4 panjng dan lebarnya soalnya ada 4 kawat.. jadi saya bingung yang benar yang mana

  2. Kalau yang no 10 itu dikalikan 4 gak panjang dan lebarnya kata guru saya di kali 4 soalnya ada 4 kawat. Tapi di jawaban ats gak di kali 4 .. jadi saya bingung yang benar yang mana

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s