Des 15 2017

Pembahasan Matematika Ujian Nasional SMA 2015/2016 (4)


  1. Hasil dari {\displaystyle \int x(3x-5)^4~dx} = \ldots

    A. -\dfrac{1}{54} (1+3x)(3x-5)^5+C

    B. -\dfrac{1}{108} (1-3x)(3x-5)^5+C

    C. -\dfrac{1}{270} (1+3x)(3x-5)^5+C

    D. \dfrac{1}{108} (1-3x)(3x-5)^5+C

    E. \dfrac{1}{54} (1+3x)(3x-5)^5+C

    PEMBAHASAN.

    Misal u = x dan dv = (3x-5)^4~dx, berakibat du=1~dx dan v = {\displaystyle \int} (3x-5)^4 = \dfrac{1}{5} (3x-5)^5 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{15} (3x-5)^5. Perhatkan,

    \begin{array}{rl} \int u dv &= uv-\int v du\\ &= x \cdot \dfrac{1}{15} (3x-5)^5 -\int \dfrac{1}{15} (3x-5)^5~dx\\ &= \dfrac{1}{15} x (3x-5)^5 -\dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{3} (3x-5)^6 + C\\ &= \dfrac{1}{15} x (3x-5)^5 -\dfrac{1}{15 \cdot 18} (3x-5)^6 + C\\ &= \dfrac{1}{15} (3x-5)^5 \left( x-\dfrac{1}{18} (3x-5) \right) + C\\ &= \dfrac{1}{15} (3x-5)^5 \left( \dfrac{18}{18}x-\dfrac{3}{18}x+\dfrac{5}{18} \right) + C\\ &= \dfrac{1}{15} (3x-5)^5 \left( \dfrac{15}{18}x+\dfrac{5}{18} \right) + C\\ &= \dfrac{1}{15} (3x-5)^5 \cdot \dfrac{5}{18} \left( 3x+1 \right) + C\\ &= \dfrac{1}{270} (3x-5)^5 \left( 3x+1 \right) + C. \end{array}

    JAWABAN : B

  2. Nilai dari {\displaystyle \int_{-1}^1 (2x^2-4x+3)~dx} = \ldots

    A. \dfrac{22}{3}

    B. 6

    C. \dfrac{16}{3}

    D. 4

    E. \dfrac{4}{3}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} {\displaystyle \int_{-1}^1 (2x^2-4x+3)~dx} &= \dfrac{2}{3}x^3 - 2x^2 +3x~\mathrel{\bigg|}_{-1}^1\\ &= \left( \dfrac{2}{3}(1)^3 - 2(1)^2 +3(1) \right) -\left( \dfrac{2}{3}(-1)^3 - 2(-1)^2 +3(-1) \right)\\ &= \left( \dfrac{2}{3} - 2 +3 \right) -\left( -\dfrac{2}{3} - 2 -3 \right)\\ &= \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-2+2+3+3\\ &= \dfrac{4}{3}+6 = \dfrac{22}{3}. \end{array}

    JAWABAN : A

  3. Hasil dari {\displaystyle \int \sin^2 2x \cos 2x~dx} = \ldots

    A. -\dfrac{1}{2} \sin^3 2x + C

    B. -\dfrac{1}{4} \sin^3 2x + C

    C. -\dfrac{1}{6} \sin^3 2x + C

    D. \dfrac{1}{6} \sin^3 2x + C

    E. \dfrac{1}{4} \sin^3 2x + C

    PEMBAHASAN.

    Misal u = \sin 2x maka du = 2 \cos 2x~dx. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} {\displaystyle \int \sin^2 2x \cos 2x~dx} &= {\displaystyle \int u^2 \cos 2x~\dfrac{du}{2 \cos 2x}}\\ &= {\displaystyle \int \dfrac{1}{2} u^2~du}\\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} u^3 + C\\ &= \dfrac{1}{6} \sin^3 2x + C. \end{array}

    JAWABAN : D

  4. Hasil dari {\displaystyle \int \dfrac{6x-9}{\sqrt{x^2-3x-5}}~dx} adalah …

    A. 2\sqrt{x^2-3x-5} + C

    B. 3\sqrt{x^2-3x-5} + C

    C. 6\sqrt{x^2-3x-5} + C

    D. 9\sqrt{x^2-3x-5} + C

    E. 18\sqrt{x^2-3x-5} + C

    PEMBAHASAN.

    Misal u = x^2-3x-5 maka du = 2x-3~dx. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} {\displaystyle \int \dfrac{6x-9}{\sqrt{x^2-3x-5}}~dx} &= {\displaystyle \int \dfrac{6x-9}{\sqrt{u}}~\dfrac{du}{2x-3}}\\ &= {\displaystyle \int \dfrac{3(2x-3)}{\sqrt{u}}~\dfrac{du}{2x-3}}\\ &= {\displaystyle \int 3u^{-1/2} ~du}\\ &= \dfrac{3}{1/2} 3u^{1/2} +C\\ &= 18(x^2-3x-5)^{1/2} +C\\ &= 18 \sqrt{x^2-3x-5} +C. \end{array}

    JAWABAN : E

  5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x-x^2, y=x^2-6x, garis x=0, dan x=4 adalah …

    A. 27\dfrac{2}{3} satuan

    B. 32\dfrac{1}{3} satuan

    C. 37\dfrac{1}{3} satuan

    D. 39\dfrac{2}{3} satuan

    E. 41\dfrac{1}{3} satuan

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan gambar berikut,

    Dari gambar tersebut, terlihat bahwa grafik fungsi f(x) lebih atas daripada g(x), sehingga diperoleh

    \begin{array}{rl} \text{Luas } &= {\displaystyle \int_0^4} ((4x-x^2)-(x^2-6x))~dx\\ &= {\displaystyle \int_0^4} ((4x-x^2)-(x^2-6x))~dx\\ &= {\displaystyle \int_0^4} -2x^2+10x~dx\\ &= -\dfrac{2}{3}x^3 +5x^2~\mathrel{\bigg|}_{0}^4\\ &= \left( -\dfrac{2}{3}(4)^3 +5(4)^2 \right) -\left( -\dfrac{2}{3}(0)^3 +5(0)^2 \right)\\ &= -\dfrac{128}{3} +80\\ &= -\dfrac{128}{3} + \dfrac{240}{3}\\ &= \dfrac{112}{3} = 37\dfrac{1}{3}. \end{array}

    JAWABAN : C

  6. Di sebuah toko tersedia 1 lusin lampu, 2 diantaranya rusak. Ada 3 orang akan membeli masing-masing 1 lampu. Peluang pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah …

    A. \dfrac{1}{66}

    B. \dfrac{1}{33}

    C. \dfrac{3}{22}

    D. \dfrac{1}{6}

    E. \dfrac{2}{11}

    PEMBAHASAN.

    Dalam kasus ini, ada tiga kemungkinan pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak.

    Kemungkinan 1 : Pembeli I mendapatkan lampu baik, pembeli II mendapatkan lampu baik, dan pembeli III mendapatkan lampu rusak. Artinya ketika pembeli I membeli lampu terdapat 10 lampu yang baik dari 12 lampu, ketika pembeli II membeli lampu terdapat 9 lampu yang baik dari 11 lampu, dan ketika pembeli III membeli lampu terdapat 2 lampu yang rusak dari 10 lampu. Sehingga peluangnya adalah

    P_1 = \dfrac{10}{12} \times \dfrac{9}{11} \times \dfrac{2}{10} = \dfrac{9}{66}

    Kemungkinan 2 : Pembeli I mendapatkan lampu baik, pembeli II mendapatkan lampu rusak, dan pembeli III mendapatkan lampu rusak. Artinya ketika pembeli I membeli lampu terdapat 10 lampu yang baik dari 12 lampu, ketika pembeli II membeli lampu terdapat 2 lampu yang rusak dari 11 lampu, dan ketika pembeli III membeli lampu terdapat 1 lampu yang rusak dari 10 lampu. Sehingga peluangnya adalah

    P_2 = \dfrac{10}{12} \times \dfrac{2}{11} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{66}

    Kemungkinan 3 : Pembeli I mendapatkan lampu rusak, pembeli II mendapatkan lampu baik, dan pembeli III mendapatkan lampu rusak. Artinya ketika pembeli I membeli lampu terdapat 2 lampu yang rusak dari 12 lampu, ketika pembeli II membeli lampu terdapat 10 lampu yang baik dari 11 lampu, dan ketika pembeli III membeli lampu terdapat 1 lampu yang rusak dari 10 lampu. Sehingga peluangnya adalah

    P_3 = \dfrac{2}{12} \times \dfrac{10}{11} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{66}

    Sehingga peluang pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah

    P = P_1+P_2+P_3 = \dfrac{9}{66} + \dfrac{1}{66} + \dfrac{1}{66} = \dfrac{1}{6}.

    JAWABAN : C

  7. Modus dari data yang disajikan dalam histogram berikut adalah …

    A. 47,5

    B. 46,5

    C. 46,4

    D. 45,2

    E. 44,7

    PEMBAHASAN.

    Dari histogram pada soal, jelas terlihat bahwa kelas modus berapa pada frekuensi f=12. Perhatikan,

    t_b : tepi bawah kelas modus

    t_b = 44,5

    d_1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

    d_1 = 12-8 = 4

    d_2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

    d_2 = 12-6=6

    i : lebar kelas

    i = 49,5-44,5=5

    Selanjutnya akan dicari modus. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} M_o &= t_b + \left( \dfrac{d_1}{d_1+d_2} \right)i\\ &= 44,5 + \left( \dfrac{4}{4+6} \right) 5\\ &= 44,5 + \left( \dfrac{4}{10} \right) 5\\ &= 44,5 + 2 = 46,5. \end{array}

    JAWABAN : B

  8. Perhatikan data pada tabel berikut!

    Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah …

    A. 48,5

    B. 51,5

    C. 52,5

    D. 54,5

    E. 58,5

    PEMBAHASAN.

    Dari tabel tersebut, diperoleh N = 40. Kelas kuartil bawah adalah \dfrac{1}{4} \times 40 = 10. Jadi, kelas kuartil bawah (Q_1) berada pada data ke-10. Perhatikan,

    b_i : tepi bawah kelas kuartil ke-i

    b_i = 51-0,5 = 50,5

    f : frekuensi kelas kuartil

    f = 10

    F : frekuensi komulatif kelas sebelum kelas kuartil

    F = 3+5=8

    l : lebar kelas

    l=10.

    Selanjutnya akan dicari Kuartil bawah. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} Q_1 &= b_i + l\left( \dfrac{\dfrac{i}{4}N-F}{f} \right)\\ &= 50,5 + 10\left( \dfrac{\dfrac{1}{4} \times 40-8}{10} \right)\\ &= 50,5 + 10\left( \dfrac{10-8}{10} \right)\\ &= 50,5 + 2= 52,5. \end{array}

    JAWABAN : C

  9. Dari angka 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka yang berbeda. Banyak bilangan yang lebih dari 4.000 adalah …

    A. 120

    B. 180

    C. 240

    D. 360

    E. 720

    PEMBAHASAN.

    Karena dari angka penyusun tersebut tidak ada angka nol, sehingga bilangan yang lebih dari 4.000 yaitu bilangan yang digit awalnya minimal 4. Oleh karena itu, digit awal untuk menyusun bilangan yang lebih besar dari 4.000 adalah 4, 5, 6, dan 7. Oleh karena digit pertama dapat ditempati oleh empat angka, selanjutnya digit kedua, ketiga dan keempat ditempati oleh 5, 4, dan 3 angka. Sehingga banyak bilangan yang dapat disusun yang lebih dari 4.000 adalah 4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240.

    JAWABAN : C

  10. Dalam sebuah ujian terdapat 10 soal, dari nomor 1 sampai nomor 10. Peserta ujian wajib mengerjakan soal nomor 1, 3, dan 5 serta harus mengerjakan 8 dari 10 soal. Banyak cara peserta ujian memilih soal yang dikerjakan adalah …

    A. 21

    B. 28

    C. 45

    D. 48

    E. 56

    PEMBAHASAN.

    Karena soal nomor 1, 3, dan 5 wajib dikerjakan, berarti tersisa 5 soal pilihan yang akan dikerjakan dari 7 soal yang ada. Sehingga banyak cara untuk mengerjakan 5 soal dari soal adalah

    _7C_5 = \dfrac{7!}{5!(7-5)!} = \dfrac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5!2!} = \dfrac{6 \cdot 7}{2} = 21.

    JAWABAN : A

Untuk pembahasan lengkapnya, silahkan download DISINI

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s