Pembahasan TKPA SBMPTN 2014 (Kode Soal 683) (2)

Suatu pin kartu ATM terdiri dari 3 angka berbeda, tetapi angka pertama tidak boleh nol. Peluang bahwa kartu ATM tersebut mempunyai nomor cantik 123, 234, 345, 567, 678, atau 789 adalah …

A. $\dfrac{3}{500}$

B. $\dfrac{3}{448}$

C. $\dfrac{3}{360}$

D. $\dfrac{3}{324}$

E. $\dfrac{3}{243}$

PEMBAHASAN.

Jumlah digit yang menyusun pin adalah ada 10 digit, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Digit pertama tidak boleh nol sehingga ada sembilan kemungkinan. Kemudian karena tidak boleh angka yang sama dan karena sudah terpakai satu angka pada digit pertama, berakibat sembilan angka yang dapat mengisi digit kedua. Dan dengan alasan yang sama, digit ketiga dapat diisi oleh delapan angka. Perhatikan,Jadi banyak PIN yang terbentuk adalah $9 \times 9 \times 8 = 648$ . Karena nomor yang cantik yang terbentuk sejumlah 6, maka peluang PIN ATM memiliki nomor cantik adalah $\dfrac{6}{648} = \dfrac{3}{324}$ .

JAWABAN : D
Jika $f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}$ , $g(x) = x-2$ dan $(g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \dfrac{7}{2}$ , maka $a=\ldots$

A. -4

B. -3

C. 2

D. 3

E. 4

PEMBAHASAN.

Misal $y = \dfrac{ax+1}{3x-1}$ , berakibat

$\begin{array}{rl} y &= \dfrac{ax+1}{3x-1}\\ y(3x-1) &= ax+1\\ 3xy-y &= ax+1\\ 3xy-ax &= y+1\\ (3y-a)x &= y+1\\ x &= \dfrac{y+1}{3y-a} \end{array}$

Jadi, $f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{3x-a}$ . Selanjutnya misal $y=x-2$ , berakibat $x=y+2$ . Jadi, $g^{-1}(x) = x+2$ . Perhatikan,

$\begin{array}{rl} (g^{-1} \circ f^{-1})(2) &= \dfrac{7}{2}\\ g^{-1} (f^{-1}(2)) &= \dfrac{7}{2}\\ g^{-1} \left( \dfrac{2+1}{3(2)-a} \right) &= \dfrac{7}{2}\\ g^{-1} \left( \dfrac{3}{6-a} \right) &= \dfrac{7}{2}\\ \dfrac{3}{6-a} + 2 &= \dfrac{7}{2}\\ \dfrac{3}{6-a} &= \dfrac{7}{2}-2\\ \dfrac{3}{6-a} &= \dfrac{7}{2}-\dfrac{4}{2}\\ \dfrac{3}{6-a} &= \dfrac{3}{2}\\ 3 \cdot 2 &= 3(6-a)\\ 6 &= 18-3a\\ 3a &= 18-6\\ a &= \dfrac{12}{3} = 4. \end{array}$

JAWABAN : E
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos sedangkan model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat di buat adalah …

A. 10

B. 20

C. 22

D. 25

E. 30

PEMBAHASAN.

Misal pakaian model A adalah $x$ dan pakaian model B adalah $y$ . Perhatikan,

Tabel

Dari tabel di atas, diperoleh model matematikanya sebagai berikut

$\begin{array}{l} x + 2y \leq 40 ~~...\text{ (i)}\\ 1,5x + 0,5y \leq 15\\ \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}y \leq 15\\ 3x + y \leq 30 ~~...\text{ (ii)} \end{array}$

Selanjutnya eliminasi persamaan (i) dan (ii), perhatikan,

$\begin{array}{l} x+2y = 40~~(\times 1)\\ \underline{3x+y = 30~~(\times 2)}~~-\\ ~~\\ x+2y = 40~~(\times 1)\\ \underline{6x+2y = 60~~(\times 2)}~~-\\ ~~\\ -3x = -30\\ x=10. \end{array}$

Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai $x=10$ ke persamaan (i), yaitu $x+2y = 40$ , sehingga didapat $y=15$ . Jadi, $x+y=25$ .

JAWABAN : D
Jika $a>2$ , maka grafik fungsi $f(x) = ax^2+2ax+2$

A. berada di atas sumbu $X$

B. berada di bawah sumbu $X$

C. menyinggung sumbu $X$

D. memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda

E. memotong sumbu $X$ di $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ dengan $x_1>0$ dan $x_2>0$

PEMBAHASAN.

Perhatikan, jika $a>0$ maka diperoleh persamaan kuadrat $f(x) = 2x^2+4x+2$ . Hal ini berarti grafik dari fungsi $f(x)$ terbuka ke atas dan akan ada kemungkinan grafiknya berada di atas sumbu $X$ (tidak mungkin berada di bawah sumbu $X$ karena kurvanya terbuka ke atas). Selanjutnya, untuk menentukan apakah grafik fungsi $f(x)$ berada di atas sumbu $X$ atau tidak, harus dicek apakah nilai diskriminannya kurang dari nol, $D<0$ . Perhatikan,

$D = b^2-4ac = 4^2-4(2)(2) = 16-16=0$

Karena $D=0$ berakibat grafik fungsi $f(x)$ menyinggung sumbu $X$ .

JAWABAN : C
Nilai maksimum $a$ sehingga sistem persamaan $\left\{ \begin{matrix} x+y &=4a\\ 2x^2+y^2 &= 12a \end{matrix} \right.$

A. $-1$

B. $0$

C. $\dfrac{3}{4}$

D. $\dfrac{9}{8}$

E. $2$

PEMBAHASAN.

Perhatikan,

$x+y =4a \Leftrightarrow y=4a-x$

Selanjutnya substitusi ke persamaan $2x^2+y^2 = 12a$ , diperoleh

$\begin{array}{rl} 2x^2+(4a-x)^2 &= 12a\\ 2x^2+16a^2-8ax+x^2 &= 12a\\ 3x^2-8ax+16a^2-12a &= 0. \end{array}$

Agar sistem persamaan tersebut mempunya solusi, syaratnya adalah $D>0$ . Perhatikan

$\begin{array}{rl} D &> 0\\ b^2-4ac &> 0\\ (-8a)^2-4(3)(16a^2-12a) &> 0\\ 64a^2-4(3)(4)(4a^2-3a) &> 0\\ 4a^2+3(4a^2-3a) &> 0\\ 4a^2-12a^2+9a &> 0\\ a(-8a+9) &> 0\\ a=0 \text{ atau } a&=\dfrac{9}{8}. \end{array}$

JAWABAN : D
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$ . jika rata-rata $20\%$ data diantaranya adalah $p+0,1$ , $40\%$ lainnya adalah $p-0,1$ , $10\%$ lainnya lagi adalah $p-0,5$ , dan rata-rata $30\%$ data sisanya adalah $p+q$ , maka $q = \ldots$

A. $\dfrac{1}{5}$

B. $\dfrac{7}{30}$

C. $\dfrac{4}{15}$

D. $\dfrac{3}{10}$

E. $\dfrac{1}{3}$

PEMBAHASAN.

Jumlah data adalah 30, maka $20\%$ dari data adalah 6, $40\%$ dari data adalah 12, $10\%$ dari data adalah 3, dan $30\%$ dari data adalah 9. Misalkan jumlah data dari $20\%$ adalah $a$ , jumlah data dari $40\%$ adalah $b$ , jumlah data dari $10\%$ adalah $c$ , dan jumlah data dari $30\%$ adalah $d$ , maka jumlah data keseluruhan adalah $a+b+c+d$ . Sehingga didapat,

$\begin{array}{rl} \dfrac{a}{6} = p+0,1 &\Rightarrow a=6p+0,6\\ \dfrac{b}{12} = p-0,1 &\Rightarrow b=12p-1,2\\ \dfrac{c}{3} = p-0,5 &\Rightarrow c=3p-1,5\\ \dfrac{d}{9} = p+q &\Rightarrow a=9p+9q. \end{array}$

Selanjutnya perhatikan,

$\begin{array}{rl} \dfrac{a+b+c+d}{30} &= p\\ (6p+0,6) + (12p-1,2) + (3p-1,5) + (9p+9q) &= 30p\\ 30p -2,1 + 9q &= 30p\\ 9q &= 2,1 = \dfrac{21}{10}\\ q &= \dfrac{21}{10 \cdot 9} = \dfrac{7}{30}. \end{array}$

JAWABAN : B
Jika $^b \log a = -2$ dan $^3\log b = (^3\log 2)(1+~^2\log 4a)$ , maka $4a+b = \ldots$

A. 768

B. 72

C. 36

D. 12

E. 3

PEMBAHASAN.

Perhatikan,

$^b \log a = -2 \Leftrightarrow a=b^{-2}$

Selanjutnya disubstitusikan ke persamaan yang kedua, didapat

$\begin{array}{rl} ^3\log b &= (^3\log 2)(1+~^2\log 4a)\\ &= ~^3\log 2 + ^3\log 2 \cdot ^2\log 4a\\ &= ~^3\log 2 + ^3\log 4a\\ &= ~^3\log (2 \cdot 4a)\\ &= ~^3\log 8a\\ &= ~^3\log 8(b^{-2})\\ ^3\log b &= ~^3\log 8b^{-2}. \end{array}$

Jadi, diperoleh $b=8b^{-2} \Leftrightarrow b^3 = 8 \Leftrightarrow b=2$ . Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai $b=2$ ke persamaan $a=b^{-2}$ , diperoleh $a=\dfrac{1}{4}$ . Jadi, diperoleh $4a+b = 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 2 = 3$ .

JAWABAN : E
Persamaan kuadrat $px^2-qx+4=0$ mempunyai akar positif $\alpha$ dan $\beta$ dengan $\alpha = 4 \beta$ . Jika grafik fungsi $f(x) = px^2-qx+4$ mempunyai sumbu simetri $x = \dfrac{5}{2}$ , maka nilai $p$ dan $q$ masing-masing adalah …

A. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\dfrac{5}{2}$

B. $\dfrac{1}{2}$ dan $\dfrac{5}{2}$

C. $1$ dan $5$

D. $\sqrt{2}$ dan $10$

E. $2$ dan $20$

PEMBAHASAN.

Persamaan kuadrat $px^2-qx+4=0$ mempunyai akar positif $\alpha$ dan $\beta$ dengan $\alpha = 4 \beta$ , artinya

$\begin{array}{rl} \alpha \cdot \beta &= \dfrac{c}{a}\\ 4\beta \cdot \beta &= \dfrac{4}{p}\\ p &= \dfrac{4}{4\beta^2} = \dfrac{1}{\beta^2}.\\ \alpha + \beta &= \dfrac{-b}{a}\\ 4\beta + \beta &= \dfrac{q}{p}\\ 5\beta &= \dfrac{q}{\dfrac{1}{\beta^2}}\\ q &= \dfrac{5}{\beta}. \end{array}$

Selanjutnya, sumbu simetri fungsi kuadrat adalah $x = \dfrac{-b}{2a}$ . Didapat,

$\begin{array}{rl} \dfrac{q}{2p} &= \dfrac{5}{2}\\ \dfrac{\dfrac{5}{\beta}}{2 \cdot \dfrac{1}{\beta^2}} &= \dfrac{5}{2}\\ \dfrac{5 \beta}{2} &= \dfrac{5}{2}\\ \beta &= 1. \end{array}$

Oleh karena itu, didapat $p = \dfrac{1}{\beta^2} = 1$ dan $q = \dfrac{5}{\beta} = 5$ .

JAWABAN : C

Untuk pembahasan lengkapnya, silahkan download DISINI dan untuk Tes Potensi Akademik lengkapnya ada DISINI

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Ming Ari pada Teknik Integral : Integral Fun…
	Taufiqur pada Koleksi Buku
	Subhan pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Domain Dan Kodomain pada Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Kshaarii12 pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Naysilla Ramadhani pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Fauzan Alfikri pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Dwi Lestari pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Amaludin pada Soal dan Pembahasan Tes Kemamp…
	Shasa pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan