Pembahasan TKPA SBMPTN 2014 (Kode Soal 683) (2)


  1. Suatu pin kartu ATM terdiri dari 3 angka berbeda, tetapi angka pertama tidak boleh nol. Peluang bahwa kartu ATM tersebut mempunyai nomor cantik 123, 234, 345, 567, 678, atau 789 adalah …

    A. \dfrac{3}{500}

    B. \dfrac{3}{448}

    C. \dfrac{3}{360}

    D. \dfrac{3}{324}

    E. \dfrac{3}{243}

    PEMBAHASAN.

    Jumlah digit yang menyusun pin adalah ada 10 digit, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Digit pertama tidak boleh nol sehingga ada sembilan kemungkinan. Kemudian karena tidak boleh angka yang sama dan karena sudah terpakai satu angka pada digit pertama, berakibat sembilan angka yang dapat mengisi digit kedua. Dan dengan alasan yang sama, digit ketiga dapat diisi oleh delapan angka. Perhatikan,Jadi banyak PIN yang terbentuk adalah 9 \times 9 \times 8 = 648. Karena nomor yang cantik yang terbentuk sejumlah 6, maka peluang PIN ATM memiliki nomor cantik adalah \dfrac{6}{648} = \dfrac{3}{324}.

    JAWABAN : D

  2. Jika f(x) = \dfrac{ax+1}{3x-1}, g(x) = x-2 dan (g^{-1} \circ f^{-1})(2) = \dfrac{7}{2}, maka a=\ldots

    A. -4

    B. -3

    C. 2

    D. 3

    E. 4

    PEMBAHASAN.

    Misal y = \dfrac{ax+1}{3x-1}, berakibat

    \begin{array}{rl} y &= \dfrac{ax+1}{3x-1}\\ y(3x-1) &= ax+1\\ 3xy-y &= ax+1\\ 3xy-ax &= y+1\\ (3y-a)x &= y+1\\ x &= \dfrac{y+1}{3y-a} \end{array}

    Jadi, f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{3x-a}. Selanjutnya misal y=x-2, berakibat x=y+2. Jadi, g^{-1}(x) = x+2. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} (g^{-1} \circ f^{-1})(2) &= \dfrac{7}{2}\\ g^{-1} (f^{-1}(2)) &= \dfrac{7}{2}\\ g^{-1} \left( \dfrac{2+1}{3(2)-a} \right) &= \dfrac{7}{2}\\ g^{-1} \left( \dfrac{3}{6-a} \right) &= \dfrac{7}{2}\\ \dfrac{3}{6-a} + 2 &= \dfrac{7}{2}\\ \dfrac{3}{6-a} &= \dfrac{7}{2}-2\\ \dfrac{3}{6-a} &= \dfrac{7}{2}-\dfrac{4}{2}\\ \dfrac{3}{6-a} &= \dfrac{3}{2}\\ 3 \cdot 2 &= 3(6-a)\\ 6 &= 18-3a\\ 3a &= 18-6\\ a &= \dfrac{12}{3} = 4. \end{array}

    JAWABAN : E

  3. Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos sedangkan model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat di buat adalah …

    A. 10

    B. 20

    C. 22

    D. 25

    E. 30

    PEMBAHASAN.

    Misal pakaian model A adalah x dan pakaian model B adalah y. Perhatikan,

    Tabel

    Dari tabel di atas, diperoleh model matematikanya sebagai berikut

    \begin{array}{l} x + 2y \leq 40 ~~...\text{ (i)}\\ 1,5x + 0,5y \leq 15\\ \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}y \leq 15\\ 3x + y \leq 30 ~~...\text{ (ii)} \end{array}

    Selanjutnya eliminasi persamaan (i) dan (ii), perhatikan,

    \begin{array}{l} x+2y = 40~~(\times 1)\\ \underline{3x+y = 30~~(\times 2)}~~-\\ ~~\\ x+2y = 40~~(\times 1)\\ \underline{6x+2y = 60~~(\times 2)}~~-\\ ~~\\ -3x = -30\\ x=10. \end{array}

    Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai x=10 ke persamaan (i), yaitu x+2y = 40, sehingga didapat y=15. Jadi, x+y=25.

    JAWABAN : D

  4. Jika a>2, maka grafik fungsi f(x) = ax^2+2ax+2

    A. berada di atas sumbu X

    B. berada di bawah sumbu X

    C. menyinggung sumbu X

    D. memotong sumbu X di dua titik berbeda

    E. memotong sumbu X di (x_1,0) dan (x_2,0) dengan x_1>0 dan x_2>0

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan, jika a>0 maka diperoleh persamaan kuadrat f(x) = 2x^2+4x+2. Hal ini berarti grafik dari fungsi f(x) terbuka ke atas dan akan ada kemungkinan grafiknya berada di atas sumbu X (tidak mungkin berada di bawah sumbu X karena kurvanya terbuka ke atas). Selanjutnya, untuk menentukan apakah grafik fungsi f(x) berada di atas sumbu X atau tidak, harus dicek apakah nilai diskriminannya kurang dari nol, D<0. Perhatikan,

    D = b^2-4ac = 4^2-4(2)(2) = 16-16=0

    Karena D=0 berakibat grafik fungsi f(x) menyinggung sumbu X.

    JAWABAN : C

  5. Nilai maksimum a sehingga sistem persamaan \left\{ \begin{matrix} x+y &=4a\\ 2x^2+y^2 &= 12a \end{matrix} \right.

    A. -1

    B. 0

    C. \dfrac{3}{4}

    D. \dfrac{9}{8}

    E. 2

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    x+y =4a \Leftrightarrow y=4a-x

    Selanjutnya substitusi ke persamaan 2x^2+y^2 = 12a, diperoleh

    \begin{array}{rl} 2x^2+(4a-x)^2 &= 12a\\ 2x^2+16a^2-8ax+x^2 &= 12a\\ 3x^2-8ax+16a^2-12a &= 0. \end{array}

    Agar sistem persamaan tersebut mempunya solusi, syaratnya adalah D>0. Perhatikan

    \begin{array}{rl} D &> 0\\ b^2-4ac &> 0\\ (-8a)^2-4(3)(16a^2-12a) &> 0\\ 64a^2-4(3)(4)(4a^2-3a) &> 0\\ 4a^2+3(4a^2-3a) &> 0\\ 4a^2-12a^2+9a &> 0\\ a(-8a+9) &> 0\\ a=0 \text{ atau } a&=\dfrac{9}{8}. \end{array}

    JAWABAN : D

  6. Tiga puluh data mempunyai rata-rata p. jika rata-rata 20\% data diantaranya adalah p+0,1 , 40\% lainnya adalah p-0,1, 10\% lainnya lagi adalah p-0,5, dan rata-rata 30\% data sisanya adalah p+q , maka q = \ldots

    A. \dfrac{1}{5}

    B. \dfrac{7}{30}

    C. \dfrac{4}{15}

    D. \dfrac{3}{10}

    E. \dfrac{1}{3}

    PEMBAHASAN.

    Jumlah data adalah 30, maka 20\% dari data adalah 6, 40\% dari data adalah 12, 10\% dari data adalah 3, dan 30\% dari data adalah 9. Misalkan jumlah data dari 20\% adalah a, jumlah data dari 40\% adalah b, jumlah data dari 10\% adalah c, dan jumlah data dari 30\% adalah d, maka jumlah data keseluruhan adalah a+b+c+d. Sehingga didapat,

    \begin{array}{rl} \dfrac{a}{6} = p+0,1 &\Rightarrow a=6p+0,6\\ \dfrac{b}{12} = p-0,1 &\Rightarrow b=12p-1,2\\ \dfrac{c}{3} = p-0,5 &\Rightarrow c=3p-1,5\\ \dfrac{d}{9} = p+q &\Rightarrow a=9p+9q. \end{array}

    Selanjutnya perhatikan,

    \begin{array}{rl} \dfrac{a+b+c+d}{30} &= p\\ (6p+0,6) + (12p-1,2) + (3p-1,5) + (9p+9q) &= 30p\\ 30p -2,1 + 9q &= 30p\\ 9q &= 2,1 = \dfrac{21}{10}\\ q &= \dfrac{21}{10 \cdot 9} = \dfrac{7}{30}. \end{array}

    JAWABAN : B

  7. Jika ^b \log a = -2 dan ^3\log b = (^3\log 2)(1+~^2\log 4a), maka 4a+b = \ldots

    A. 768

    B. 72

    C. 36

    D. 12

    E. 3

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    ^b \log a = -2 \Leftrightarrow a=b^{-2}

    Selanjutnya disubstitusikan ke persamaan yang kedua, didapat

    \begin{array}{rl} ^3\log b &= (^3\log 2)(1+~^2\log 4a)\\ &= ~^3\log 2 + ^3\log 2 \cdot ^2\log 4a\\ &= ~^3\log 2 + ^3\log 4a\\ &= ~^3\log (2 \cdot 4a)\\ &= ~^3\log 8a\\ &= ~^3\log 8(b^{-2})\\ ^3\log b &= ~^3\log 8b^{-2}. \end{array}

    Jadi, diperoleh b=8b^{-2} \Leftrightarrow b^3 = 8 \Leftrightarrow b=2. Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai b=2 ke persamaan a=b^{-2}, diperoleh a=\dfrac{1}{4}. Jadi, diperoleh 4a+b = 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 2 = 3.

    JAWABAN : E

  8. Persamaan kuadrat px^2-qx+4=0 mempunyai akar positif \alpha dan \beta dengan \alpha = 4 \beta. Jika grafik fungsi f(x) = px^2-qx+4 mempunyai sumbu simetri x = \dfrac{5}{2}, maka nilai p dan q masing-masing adalah …

    A. \dfrac{1}{\sqrt{2}} dan \dfrac{5}{2}

    B. \dfrac{1}{2} dan \dfrac{5}{2}

    C. 1 dan 5

    D. \sqrt{2} dan 10

    E. 2 dan 20

    PEMBAHASAN.

    Persamaan kuadrat px^2-qx+4=0 mempunyai akar positif $\alpha$ dan \beta dengan \alpha = 4 \beta, artinya

    \begin{array}{rl} \alpha \cdot \beta &= \dfrac{c}{a}\\ 4\beta \cdot \beta &= \dfrac{4}{p}\\ p &= \dfrac{4}{4\beta^2} = \dfrac{1}{\beta^2}.\\ \alpha + \beta &= \dfrac{-b}{a}\\ 4\beta + \beta &= \dfrac{q}{p}\\ 5\beta &= \dfrac{q}{\dfrac{1}{\beta^2}}\\ q &= \dfrac{5}{\beta}. \end{array}

    Selanjutnya, sumbu simetri fungsi kuadrat adalah x = \dfrac{-b}{2a}. Didapat,

    \begin{array}{rl} \dfrac{q}{2p} &= \dfrac{5}{2}\\ \dfrac{\dfrac{5}{\beta}}{2 \cdot \dfrac{1}{\beta^2}} &= \dfrac{5}{2}\\ \dfrac{5 \beta}{2} &= \dfrac{5}{2}\\ \beta &= 1. \end{array}

    Oleh karena itu, didapat p = \dfrac{1}{\beta^2} = 1 dan q = \dfrac{5}{\beta} = 5.

    JAWABAN : C

Untuk pembahasan lengkapnya, silahkan download DISINI dan untuk Tes Potensi Akademik lengkapnya ada DISINI

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Kalian lagi persiapan untuk SBMPTN? Kalian tidak harus ikut bimbingan belajar, bisa belajar lewat video. Check it out ke Quipper Video

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

w

Connecting to %s