Jan 21 2018

Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2016 (Kode Soal 321) (1)


  1. Misalkan m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan x^2+ax-30=0, maka nilai a agar m+n maksimum adalah …

    A. 30

    B. 29

    C. 13

    D. -29

    E. -31

    PEMBAHASAN.

    Karena m dan n adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan x^2+ax-30=0, berakibat m+n = \dfrac{-b}{a}. Perhatikan,

    m+n = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-a}{1} = -a.

    Selanjutnya misal diberikan persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 dengan p dan q akar-akar persamaan kuadrat tersebut, maka c=p \cdot q dan b=p+q. Dengan kata lain p dan q adalah faktor dari c yang memenuhi b=p+q. Sehingga untuk persamaan kuadrat x^2+ax-30=0 memiliki beberapa kemungkinan faktor dari c=-30, sehingga terdapat beberapa kemungkinan nilai a. Perhatikan,Dari m+n=-a dan nilai a yang diperoleh pada tabel, sehingga agar m+n maksimum, haruslah a-nya bernilai negatif. Dengan kata lain a=-29.

    JAWABAN : D

  2. Jika A^{2x}=2, maka \dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} = \ldots.

    A. \dfrac{31}{18}

    B. \dfrac{31}{9}

    C. \dfrac{32}{18}

    D. \dfrac{33}{9}

    E. \dfrac{33}{18}

    PEMBAHASAN.

    \begin{array}{rl} \dfrac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}} &= \dfrac{A^{5x}-\dfrac{1}{A^{5x}}}{A^{3x}+\dfrac{1}{A^{3x}}}\\ &= \dfrac{\dfrac{A^{10x}}{A^{5x}} -\dfrac{1}{A^{5x}}}{\dfrac{A^{6x}}{A^{3x}} +\dfrac{1}{A^{3x}}}\\ &= \dfrac{\dfrac{A^{10x}+1}{A^{5x}}}{\dfrac{A^{6x}+1}{A^{3x}}}\\ &= \dfrac{A^{10x}+1}{A^{5x}} \times \dfrac{A^{3x}}{A^{6x}+1}\\ &= \dfrac{A^{10x}+1}{A^{2x}(A^{6x}+1)}\\ &= \dfrac{(A^{2x})^5+1}{A^{2x}((A^{2x})^3+1)}\\ &= \dfrac{2^5+1}{2(2^3+1)}\\ &= \dfrac{33}{2(9)} = \dfrac{33}{18}. \end{array}

    JAWABAN : E

  3. Suatu garis yang melalui titik (0,0) membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut (1,0), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah …

    A. \dfrac{1}{2}

    B. 1

    C. 2

    D. \dfrac{12}{5}

    E. 3

    PEMBAHASAN.

    Misal persegi panjang yang dimaksud adalah persegi panjang yang di arsir (perhatikan gambar). Selanjutnya agar persegi panjang tersebut bisa dibagi dua sama besar oleh garis yang melalui titik (0,0), maka diperluas persegi panjang yang melalui titik (0,0), (0,12), (6,0) dan (6,12). Sehingga dengan memperhatikan persegi panjang yang terbentuk, garis tersbut harus melalui titik (0,0) dan (6,12). Kemudian gradien suatu garis adalah perbandingan sumbu-x dan sumbu-y. Sehingga diperoleh gradien adalah \dfrac{x}{y} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}.

    JAWABAN : A

  4. Semua bilangan real x yang memenuhi \dfrac{8}{x}-\dfrac{15}{2x+1} \geq 1 adalah …

    A. -2 \leq x \leq 2

    B. x\leq 2 atau 0\leq x < 1

    C. -2 \leq x <\dfrac{1}{2} atau 0<x\leq 2

    D. -2\leq x < -\dfrac{1}{2} atau x \geq 2

    E. x\leq -2 atau x \geq 2

    PEMBAHASAN.

    \begin{array}{rl} \dfrac{8}{x}-\dfrac{15}{2x+1} &\geq 1\\ \dfrac{8(2x+1)-15x}{x(2x+1)} &\geq 1\\ \dfrac{16x+8-15x}{x(2x+1)} -1 &\geq 0\\ \dfrac{x+8}{x(2x+1)} -\dfrac{x(2x+1)}{x(2x+1)} &\geq 0\\ \dfrac{x+8}{x(2x+1)} -\dfrac{2x^2+x}{x(2x+1)} &\geq 0\\ \dfrac{-2x^2+8}{x(2x+1)} &\geq 0. \end{array}

    Oleh karena itu, untuk pembilang didapat

    \begin{array}{rl} -2x^2+8 &\geq 0\\ -2(x^2-4) &\geq 0\\ x^2-4 &\leq 0\\ (x-2)(x+2) &\leq 0. \end{array}

    Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh  -2 \leq x \leq 2

    Selanjutnya, karena penyebut tidak boleh sama dengan 0 (nol), sehingga untuk penyebut diperoleh,

    x(2x+1) > 0 \Leftrightarrow x=0 \text{ atau } x=-\dfrac{1}{2}.

    Sehingga diperoleh garis bilangannya,

    x<-\dfrac{1}{2} atau x>0

    Oleh karena itu, dari kedua garis bilangan, didapat garis bilangan yang baru

    Jadi, didapat -2 \leq x <\dfrac{1}{2} atau 0<x\leq 2

    JAWABAN : C

  5. Jika grafik fungsi y=x^2-(9+a)x+9a diperoleh dari grafik fungsi y=x^2-2x-3 melalui pencerminan terhadap garis x=4, maka a=\ldots

    A. 7

    B. 5

    C. 3

    D. -5

    E. -7

    PEMBAHASAN.

    Pencerminan terhadap x=h, artinya

    \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2h\\ 0 \end{pmatrix}

    Oleh karena itu, pencerminan terhadap x=4 menghasilkan

    \begin{array}{rl} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \cdot 4\\ 0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8\\ 0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -x+8\\ y \end{pmatrix} \end{array}

    Sehingga didapat x'=-x+8 \Leftrightarrow x=8-x' dan y'=y. Dengan mensubstitusikan x dan y ke fungsi y, diperoleh

    \begin{array}{rl} y&=x^2-2x-3\\ y'&=(8-x')^2-2(8-x')-3\\ y'&=64-16x'+x'^2-16+2x'-3\\ y'&=x'^2-14x'+45\\ \end{array}

    Sehingga diperoleh fungsi bayangan dari y adalah y=x^2-14x+45. Selanjutnya karena y=x^2-(9+a)x+9a adalah bayangan dari fungsi y, maka dapat disimpulkan 9a=45 atau a=5.

    JAWABAN : B

  6. Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita berasal dari SMA “A”. Jika urutan tampilan diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA “A” tidak berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak …

    A. 144

    B. 108

    C. 72

    D. 36

    E. 35

    PEMBAHASAN.

    Misal :

    P : finalis pria

    W : finalis wanita

    P_A : finalis pria dari SMA “A”

    W_A : finalis wanita dari SMA “A”

    Finalis pria dan wanita tampil bergantian serta finalis dari SMA “A” tidak tampil berurutan. Susunan yang mungkin adalah :

    1. P_A~W~P~W_A~P~W~P

    2. P_A~W~P~W~P~W_A~P

    3. P~W~P_A~W~P~W_A~P

    4. P~W_A~P~W~P_A~W~P

    5. P~W_A~P~W~P~W~P_A

    6. P~W~P~W_A~P~W~P_A

    Selanjutnya perhatikan salah satu susunan tersebut, misal susunan yang pertama.

    P_A~W~P~W_A~P~W~P

    Dengan P_A dan W_A pada posisi yang tetap, maka 3 P (pria) dan 2 W (wanita) bisa dipertukarkan. Sehingga banyak urutan yang mungkin adalah:

    3! \times 2! = 1 \times 2 \times 3 \times 1 \times 2 = 12

    Demikian juga dengan 5 susunan yang lain dapat diberlakukan seperti di atas. Sehingga banyak seluruh urutan susunan adalah 6 \times 12 = 72.

    JAWABAN : C

  7. Diberikan fungsi f(x)= ax-b dan g(x) = cx+b dengan a,b, dan c adalah bilangan-bilangan real positif. Syarat agar f(g(x)) > g(f(x)) adalah …

    A. a+c>1

    B. a+c>b

    C. a+c>2

    D. a+c>2b

    E. a+c>4

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} f(g(x)) &> g(f(x))\\ a(g(x))-b &> c(f(x))+b\\ a(cx+b)-b &> c(ax-b)+b\\ acx+ab-b &> acx-bc+b\\ ab-b &> -bc+b\\ ab+bc &> b+b\\ (a+c)b &> 2b\\ a+c &> 2. \end{array}

    JAWABAN : C

  8. Jika fungsi f dan g mempunyai invers dan memenuhi f(2x)=g(x-3), maka f^{-1}(x) = \ldots

    A. g^{-1} \left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{3} \right)

    B. g^{-1} \left( \dfrac{x}{2} \right)-\dfrac{2}{3}

    C. g^{-1}(2x+6)

    D. 2g^{-1}(x)-6

    E. 2g^{-1}+6

    PEMBAHASAN.

    Misal f(x)=y maka f^{-1}(y) = x. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} y &= f(2x)\\ f^{-1}(y) &= 2x~~~\text{ (i)} \end{array}

    dan

    \begin{array}{rl} y &= g(x-3)\\ g^{-1}(y) &= x-3\\ x &= g^{-1}(y)+3.~~~\text{ (ii)} \end{array}

    Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (ii) ke persamaan (i), didapat

    \begin{array}{rl} f^{-1}(y) &= 2(g^{-1}(y)+3)\\ &= 2g^{-1}(y)+6. \end{array}

    JAWABAN : E

Untuk file PDF, silahkan download DISINI dan Tes Potensi Akademik lengkapnya ada DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

2 comments on “Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2016 (Kode Soal 321) (1)”

  1. Postingan yang sangat bermanfaat, Mas. O iya mas, saya mau tanya. Untuk menggambar garis bilangan seperti yang ada di postingan ini, mas menggunakan aplikasi/software apa ya? Terima kasih

    Balas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s