Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2016 (Kode Soal 321) (2)


  1. Jika \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} dan \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}, maka \det(P) = \ldots

    A. -3

    B. -2

    C. 1

    D. 2

    E. 3

    PEMBAHASAN.

    Misal P = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} dan A = \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix}, didapat

    A^{-1} = \dfrac{1}{1 \cdot 1-2 \cdot 1} \begin{pmatrix} 1&-1\\ -2&1 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1&-1\\ -2&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix}

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ A \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= A^{-1} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{array}

    Jadi diperoleh b=1 dan d=0. Dengan cara yang sama didapat,

    \begin{array}{rl} \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} &= A^{-1} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a+b\\ c+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} a+b\\ c+d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}\\ \end{array}

    Dari persamaan matriks tersebut, didapat a+b=-1 dan c+d=3. Selanjutnya dengan mensubstitusikan b=1 dan d=0, diperoleh a=-2 dan c=3. Kemudian didapat matriks P = \begin{pmatrix} -2&1\\ 3&0 \end{pmatrix}. Dengan demikian diperoleh

    \det(P) = -2 \cdot 0 -3\cdot 1 = -3.

    JAWABAN : A

  2. Misalkan U_k dan S_k berturut-turut menyatakan suku ke-k dan jumlah k suku pertama suatu barisan aritmetaika. Jika U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12} = 72, maka S_{13} = \ldots

    A. 81

    B. 144

    C. 156

    D. 194

    E. 312

    PEMBAHASAN.

    Ingat bahwa U_k = a+(k-1)b dan S_k = \dfrac{k}{2}(2a+(k-1)b). Perhatikan,

    \begin{array}{rl} U_2+U_4+U_6+U_8+U_{10}+U_{12} &= 72\\ 6a+36b &= 72\\ a+6b &= 12. \end{array}

    Selanjutnya didapat

    \begin{array}{rl} S_k &= \dfrac{k}{2}(2a+(k-1)b)\\ S_{13} &= \dfrac{13}{2}(2a+(13-1)b)\\ &= \dfrac{13}{2}(2a+12b)\\ &= 13(a+6b)\\ &= 13(12) = 156. \end{array}

    JAWABAN : C

  3. Titik X, Y, dan Z terletak pada segitiga ABC sehingga AZ = AY, BZ = BX, CX = CY seperti tampak pada gambar. Jika BC, CA, dan AB berturut-turut adalah a~cm, b~cm, dan c~cm, maka 2AY = \ldots cm.A. a+b+c

    B. a-b+c

    C. a+b-c

    D. -a-b+c

    E. b+c-a

    PEMBAHASAN.

    Misal AY = AZ = x, maka BX = BZ = c-x dan CX = CA = b-x. Selanjutnya perhatikan sisi BC

    \begin{array}{rl} BC &= BX + CX\\ a &= c-x+b-x\\ a &= b+c-2x\\ 2x &= b+c-a. \end{array}

    Karena x = AY, berakibat 2AY = b+c-a.

    JAWABAN : E

  4. Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar dari 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya maka nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak …

    A. 2

    B. 3

    C. 4

    D. 6

    E. 8

    PEMBAHASAN.

    Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Dari 5 nilai ujian yang didapatkan oleh siswa tersebut, apabila nilai tersebut diurutkan, maka didapatkan : 4, 5, 6, 7, 8. Oleh karena itu diperoleh Median dari 5 data tersebut adalah 6.

    Misalkan nilai ujian ke-6 adalah x. Jika x adalah 1 sampai dengan 5 maka dapat diurutkan sebagai berikut:

    x, 4, 5, 6, 7, 8

    Median dari 6 data tersebut berada di antara 5 dan 6, yaitu \dfrac{5+6}{2} = \dfrac{11}{2}. Sedangkan ketentuan pada soal adalah bahwa rata-rata dari 6 ujian lebih kecil dari Mediannya. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \dfrac{x+4+5+6+7+8}{6} &< \dfrac{11}{2}\\ x+30 &< 33\\ x &< 3 \end{array}

    Karena x<3, maka x yang mungkin adalah 1 dan 2.

    Jika x adalah 7 sampai 10 maka dapat diurutkan sebagai berikut:

    4, 5, 6, 7, 8, x

    Median dari ke-6 data tersebut berada di antara 6 dan 7, yaitu \dfrac{6+7}{2} = \dfrac{13}{2}. Dari ketentuan soal, didapat

    \begin{array}{rl} \dfrac{4+5+6+7+8+x}{6} &< \dfrac{13}{2}\\ 30+x &< 39\\ x &< 9 \end{array}

    Karena x<9, maka x yang mungkin adalah 7 dan 8. Oleh karena itu, nilai ulangan terakhir yang mungkin adalah 1, 2, 7, atau 8. Jadi, nilai ujian ke-6 yang mungkin ada sebanyak 4.

    JAWABAN : C

  5. Diketahui f(x) = x^2+ax+b. Jika f(b+1) = 0 dan \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x+b)}{x} = -1, maka a+2b = \ldots

    A. -2

    B. -1

    C. 0

    D. 1

    E. 2

    PEMBAHASAN.

    Karena \lim_{x \to 0} \dfrac{f(x+b)}{x} = -1, maka dapat memanfaatkan Dalil L’Holpital, sehingga diperoleh

    \lim_{x \to 0} \dfrac{f'(x+b)}{1} = -1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f'(x+b) = -1

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} f(x+b) &= (x+b)^2+a(x+b)+b\\ &= x^2+2bx+b^2+ax+ab+b\\ &= x^2+(a+2b)x+(b^2+ab+b)\\ f'(x+b) &= 2x + a+2b. \end{array}

    Selanjutnya, didapat

    \begin{array}{rl} \lim_{x \to 0} f'(x+b) &= -1\\ \lim_{x \to 0} 2x + a+2b &= -1\\ a+2b &= -1. \end{array}

    JAWABAN : B

  6. Jika 3x-2y = -1, -2x+3y = 4, 4x+by = 4b, dan ax+3y = 2a, maka a+b = \ldots

    A. 8

    B. 4

    C. 3

    D. -4

    E. -8

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} 3x-2y = -1 &~~~\text{ (i)}\\ -2x+3y = 4 &~~~\text{ (ii)}\\ 4x+by = 4b &~~~\text{ (iii)}\\ ax+3y = 2a &~~~\text{ (iv)} \end{array}

    Eliminasi persamaan (i) dan (ii)

    \begin{array}{ll} 3x-2y = -1 &(\times 2)\\ \underline{-2x+3y = 4} &(\times 3)\\ &\\ 6x-4y = -2 &\\ \underline{-6x+9y = 12}~~~+&\\ &\\ 5y = 10 & \\ y = 2 &. \end{array}

    Selanjutnya substitusi y = 2 ke persamaan (i), sehingga diperoleh

    \begin{array}{rl} 3x-2\left( 2 \right) &= -1\\ 3x-4 &= -1\\ 3x &= 3\\ x &= 1. \end{array}

    Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai x dan y ke persamaan (iii), didapat

    \begin{array}{rl} 4x+by &= 4b\\ 4(1) + b(2) &= 4b\\ 4 + 2b &= 4b\\ 4 &= 2b\\ 2 &= b. \end{array}

    Kemudian dengan mensubstitusikan nilai x dan y ke persamaan (iv), didapat

    \begin{array}{rl} ax+3y &= 2b\\ a(1) + 3(2) &= 2a\\ a + 6 &= 2a\\ 6 &= a. \end{array}

    Jadi, didapat a+b = 6+2 = 8.

    JAWABAN : A

  7. Semua bilangan real x yang memenuhi \dfrac{|x-2|+x}{2-|x-2|} \geq 1 adalah …

    A. x<0

    B. 0<x\leq 22

    C. 0<x<4

    D. 2\leq x<4

    E. x>4

    PEMBAHASAN.

    Sesuai dengan definisi nilai mutlak, diperoleh

    |x-2| = \begin{cases} x-2 & ,x \geq 2\\ -(x-2) & ,x<2. \end{cases}

    untuk kasus x \geq 2, perhatikan

    \begin{array}{rl} \dfrac{(x-2)+x}{2-(x-2)} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{2-x+2} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{4-x} &\geq 1\\ \dfrac{2x-2}{4-x} -1 &\geq 0\\ \dfrac{2x-2}{4-x} -\dfrac{4-x}{4-x} &\geq 0\\ \dfrac{3x-6}{4-x} &\geq 0, ~~~x \neq 4 ~~~\text{ (syarat penyebut)} \end{array}

    Sehingga didapat x=2 atau x=4. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh

    2 \leq x < 4

    untuk kasus x < 2, perhatikan

    \begin{array}{rl} \dfrac{-(x-2)+x}{2-(-(x-2))} &\geq 1\\ \dfrac{2}{x} &\geq 1\\ \dfrac{2}{x} -1 &\geq 0\\ \dfrac{2}{x} -\dfrac{x}{x} &\geq 0\\ \dfrac{2-x}{x} &\geq 0, ~~~x \neq 0 ~~~\text{ (syarat penyebut)} \end{array}

    Sehingga didapat x=2 atau x=0. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh0 < x \leq 2

    Dengan menggabungkan kedua garis bilangan, didapat

    0 < x < 4

    JAWABAN : C

Untuk file PDF, silahkan download DISINI dan Tes Potensi Akademik lengkapnya ada DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

2 comments on “Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2016 (Kode Soal 321) (2)

Tinggalkan Balasan ke Ayu Batalkan balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s