Feb 2 2018

Pembahasan TKPA Matematika Dasar SBMPTN 2017 (Kode Soal 226) (1)


  1. Misalkan A^T adalah tranpose matriks A. Jika A = \begin{pmatrix} 2&x\\ 0&-2 \end{pmatrix} sehingga A^T A = \begin{pmatrix} 4&4\\ 4&8 \end{pmatrix}, maka nilai x^2-x adalah …

    A. 0

    B. 2

    C. 6

    D. 12

    E. 20

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} A^T A &= \begin{pmatrix} 4&4\\ 4&8 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 2&0\\ x&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&x\\ 0&-2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4&4\\ 4&8 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 4&2x\\ 2x&x^2+4 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4&4\\ 4&8 \end{pmatrix} \end{array}

    Dari persamaan terakhir matriks di atas, diperoleh 2x=4, yang berkibat x=2. Oleh karena, didapat

    x^2-x = 2^2-2 = 4-2 = 2.

    Jadi, x^2-x=2.

    JAWABAN : B

  2. Jika himpunan penyelesaian |2x-a|<5 adalah \{ x~|~-1<x<4 \}, maka nilai a adalah …

    A. -4

    B. -3

    C. -1

    D. 3

    E. 4

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} |2x-a| &< 5\\ (|2x-a|)^2 &<5^2\\ 4x^2-4ax+a^2 &< 25. \end{array}

    Selanjutnya dengan mensubstitusikan batas-batas nilai x, maka didapat

    untuk x=-1

    \begin{array}{rl} 4x^2-4ax+a^2 &= 25\\ 4(-1)^2-4a(-1)+a^2 &= 25\\ 4+4a+a^2 &= 25\\ a^2+4a-21 &= 0\\ (a-3)(a+7) &= 0\\ a=3 \text{ atau } a&=-7. \end{array}

    untuk x=4

    \begin{array}{rl} 4x^2-4ax+a^2 &= 25\\ 4(4)^2-4a(4)+a^2 &= 25\\ 64-16a+a^2 &= 25\\ a^2-16a+39 &= 0. \end{array}

    Karena persamaan terakhir ini tidak bisa difaktorkan secara sederhana dan dengan melihat jawaban yang ada pada pilihan ganda, maka dapat disimpulkan bahwa a=3.

    JAWABAN : D

  3. Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas \triangle ABC adalah x~cm^2, maka luas \triangle KMN adalah … cm^2

    A. \dfrac{x}{3}

    B. \dfrac{2x}{9}

    C. \dfrac{x}{9}

    D. \dfrac{x}{18}

    E. \dfrac{x}{36}

    PEMBAHASAN.

    Karena luas \triangle ABC adalah x~cm^2 dan \triangle ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki maka panjang AB= BC, sehingga diperoleh

    \begin{array}{rl} \text{Luas } &= \dfrac{1}{2} \times AB \times BC\\ x &= \dfrac{1}{2} \times AB \times AB\\ 2x &= AB^2\\ AB &= \sqrt{2x}. \end{array}

    Oleh karena itu, diperoleh panjang sisi \triangle ABC adalah \sqrt{2x}~cm. Selanjutnya karena masing-masing sisi segitiga dibagi tiga sama panjang (seperti pada gambar), diperoleh bahwa BM = MN = BL = LK = \dfrac{\sqrt{2x}}{3} dan BN = BK = \dfrac{2\sqrt{2x}}{3}. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \text{Luas } \triangle BNK &= \dfrac{1}{2} \times BN \times BK\\ &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2\sqrt{2x}}{3}\times \dfrac{2\sqrt{2x}}{3}\\ &= \dfrac{2(2x)}{9} = \dfrac{4x}{9}. \end{array}

    dan

    \begin{array}{rl} \text{Luas } \triangle BMK &= \dfrac{1}{2} \times BM \times BK\\ &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2x}}{3}\times \dfrac{2\sqrt{2x}}{3}\\ &= \dfrac{2x}{9}. \end{array}

    Oleh karena itu, diperoleh

    \begin{array}{rl} \text{Luas } \triangle KMN &= \text{Luas } \triangle KBN -\text{Luas } \triangle KBM\\ &= \dfrac{2x}{9}-\dfrac{2x}{9}\\ &= \dfrac{2x}{9}. \end{array}

    JAWABAN : E

  4. Jika f(x) = x^2-1 dan g(x) = \dfrac{x-2}{x+1}, maka daerah asal fungsi f \cdot g adalah …

    A. \{ x~|~ -\infty < x < \infty\}

    B. \{ x~|~ x \neq -1\}

    C. \{ x~|~ x \neq 2\}

    D. \{ x~|~ x < -1\}

    E. \{ x~|~ x \geq 2\}

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} f \cdot g &= (x^2-1)\left( \dfrac{x-2}{x+1} \right)\\ &= \dfrac{(x^2-1)(x-2)}{x+1}. \end{array}

    Dari persamaan terakhir ini bahwa terlihat fungsi f \cdot g merupakan fungsi pecahan. Agar fungsi f \cdot g terdefinisi, maka cukup diperhatikan penyebutnya saja, yaitu dengan syarat penyebut tidak sama dengan nol.

    x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1

    JAWABAN : B

  5. Diketahui median dan rata-rata berat badan balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari paling ringan ke paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah … kg

    A. 4

    B. \dfrac{9}{2}

    C. 5

    D. 6

    E. \dfrac{13}{2}

    PEMBAHASAN.

    Misalkan 5 data yang dimaksud adalah a,b,c,d,e. Sehingga median dari data tersebut adalah c. Karena median dan rata-ratanya sama, maka diperoleh

    \begin{array}{rl} \overline{x} &= \dfrac{a+b+c+d+e}{5}\\ c &= \dfrac{a+b+c+d+e}{5}\\ 5c &= a+b+c+d+e \end{array}

    Misal data yang ditambahkan adalah m, yang berakibat rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap, diperoleh

    \begin{array}{rl} \overline{x}+1 &= \dfrac{a+b+c+d+e+m}{6}\\ c + 1 &= \dfrac{5c+m}{6}\\ 6c+6 &= 5c+m\\ c-m &= -6\\ m-c&=6. \end{array}

    Karena m-c=6, berakibat c < m. Hal ini berarti bahwa m adalah data setelah data ke-3. Andaikan m adalah data ke-4, berakibat median dari 6 data berubah. Oleh karena itu, m bukanlah data ke-4, dengan kata lain, d adalah data ke-4. Selanjutnya agar median 6 data tersebut tetap, maka haruslah

    c = \dfrac{c+d}{2}

    Hal ini berakibat c=d. selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 adalah

    m-d = m-c = 6

    JAWABAN : D

  6. Suku ke-11 suatu barisan aritmetika sama dengan empat kali suku ke-16. Jika beda barisan tersebut adalah -3, maka empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke- …

    A. 1

    B. 3

    C. 5

    D. 7

    E. 9

    PEMBAHASAN.

    Diketahui u_{11} = 4 \times u_{16} dan b=-3. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} u_{11} &= 4 \times u_{16}\\ a+10b &= 4 \times (a+15b)\\ a+10b &= 4a+60b\\ 3a &= -50b\\ 3a &= -50(-3)\\ a &= 50. \end{array}

    dan

    \begin{array}{rl} 4 \times u_{14} &= 4(a+13b)\\ &= 4(50+13(-3))\\ &= 4(50-39)\\ &= 4(11) = 44. \end{array}

    Selanjutnya perhatikan,

    \begin{array}{rl} u_1 &= a =50\\ u_3 &= a+2b = 50+2(-3) = 44\\ u_5 &= a+4b = 50+4(-3) = 38\\ u_7 &= a+6b = 50+6(-3) = 32\\ u_9 &= a+8b = 50+8(-3) = 26. \end{array}

    Jadi, empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke-3.

    JAWABAN : B

  7. Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah (6-0,2x)~kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah … kg

    A. 400

    B. 420

    C. 435

    D. 450

    E. 465

    PEMBAHASAN.

    Materi ini merupakan materi tentang fungsi maksimum, yaitu aplikasi turunan. Oleh karena itu, bentuk fungsinya terlebih dahulu kemudian turunkan dan syaratnya adalah turunan pertama sama dengan nol. Perhatikan,

    \begin{array}{rl} f(x) &= (6-0,02x)x\\ &=6x-0,02x^2\\ f'(x) &= 6-0,04x. \end{array}

    Karena maksimum, maka syaratnya adalah f'(x)=0, sehingga diperoleh

    6-0,04x=0 \Leftrightarrow 6 = 0,04x \Leftrightarrow x=150.

    Oleh karena itu diperoleh jumlah ikan maksimumnya adalah 150 ikan. Jadi, total semua bobot ikan adalah

    \begin{array}{rl} f(x) &=6x-0,02x^2\\ &= 6(150)-0,02(150)^2\\ &= 900-0,02(22.500)\\ &= 900-450 = 450. \end{array}

    JAWABAN : D

  8. Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri adalah \dfrac{1}{32}. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah 15, maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut …

    A. 30

    B. 40

    C. 50

    D. 60

    E. 70

    PEMBAHASAN.

    Perhatikan,

    \begin{array}{rl} \dfrac{u_6}{u_1} &= \dfrac{1}{32}\\ \dfrac{ar^5}{a} &= \dfrac{1}{2^5}\\ r^5 &= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\ r&=\dfrac{1}{2}.\end{array}

    Selanjutnya perhatikan,

    \begin{array}{rl} u_3 + u_4 &= 15\\ ar^2+ar^3 &= 15\\ a\left( \dfrac{1}{2} \right)^2+a\left( \dfrac{1}{2} \right)^3 &= 15\\ \dfrac{1}{4}a + \dfrac{1}{8}a &= 15\\ \dfrac{2}{8}a + \dfrac{1}{8}a &= 15\\ \dfrac{3}{8}a &= 15\\ a &= 40. \end{array}

    Sehinga didapat

    \begin{array}{rl} u_1+u_2+u_3 &= 40+40\left( \dfrac{1}{2} \right)+40\left( \dfrac{1}{2} \right)^2\\ &= 40+20+10 = 70. \end{array}

    Jadi, jumlah 3 suku pertama barisan tersebut adalah 70.

    JAWABAN : E

Untuk file PDF, silahkan download DISINI dan Tes Potensi Akademik lengkapnya ada DISINI.

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s